法律分析：私人诊所医疗纠纷可以向当地的卫生局投诉。除此之外，医患双方还可以通过下列途径解决医疗纠纷：
（一）双方自愿协商；
（二）申请人民调解；
（三）申请行政调解；
（四）向人民法院提起诉讼；
（五）法律、法规规定的其他途径。
法律依据：
《民法典》第一千二百一十八条
患者在诊疗活动中受到损害，医疗机构或者其医务人员有过错的，由医疗机构承担赔偿责任。
《医疗纠纷预防和处理条例》第四条
处理医疗纠纷，应当遵循公平、公正、及时的原则，实事求是，依法处理。
第二十二条
发生医疗纠纷，医患双方可以通过下列途径解决：
（一）双方自愿协商；
（二）申请人民调解；
（三）申请行政调解；
（四）向人民法院提起诉讼；
（五）法律、法规规定的其他途径。医疗纠纷可以去卫生局投诉，并申请医疗事故鉴定。医疗纠纷的当事人需要及时收集各种证据，然后与对方协商解决，或者请求相关部门调解，也可以直接向人民法院提起诉讼。
法律依据：《医疗纠纷预防和处理条例》第二十二条发生医疗纠纷，医患双方可以通过下列途径解决：（一）双方自愿协商；（二）申请人民调解；（三）申请行政调解；（四）向人民法院提起诉讼；（五）法律、法规规定的其他途径。《医疗事故处理条例》第二条本条例所称医疗事故，是指医疗机构及其医务人员在医疗活动中，违反医疗卫生管理法律、行政法规、部门规章和诊疗护理规范、常规，过失造成患者人身损害的事故。
对于私人诊所医疗纠纷向哪个部门投诉的问题的答案，上述文章内容中已经作出了详细的解答，在日常生活中我们也是需要对相关的法律知识进行了解的，这样才能够维护自己的合法权益。
法律依据：《民法典》第一千二百一十八条
患者在诊疗活动中受到损害，医疗机构或者其医务人员有过错的，由医疗机构承担赔偿责任。
《医疗纠纷预防和处理条例》第四条
处理医疗纠纷，应当遵循公平、公正、及时的原则，实事求是，依法处理。
第二十二条
发生医疗纠纷，医患双方可以通过下列途径解决：
（一）双方自愿协商；
（二）申请人民调解；
（三）申请行政调解；
（四）向人民法院提起诉讼；
（五）法律、法规规定的其他途径。医疗纠纷可以去卫生局投诉，并申请医疗事故鉴定。医疗纠纷的当事人需要及时收集各种证据，然后与对方协商解决，或者请求相关部门调解，也可以直接向人民法院提起诉讼。