打人逃跑后的法律责任,关键还是要看打人所造成的后果,经鉴定达到轻伤以上的,构成故意伤害罪,依法是三年以下有期徒刑、拘役或者管制的量刑。达不到刑事立案标准的,会按治安案件处理。
法律依据：
《中华人民共和国刑法》
第二百三十三条 过失致人死亡的，处三年以上七年以下有期徒刑；情节较轻的，处三年以下有期徒刑。本法另有规定的，依照规定。
第二百三十四条 故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。
犯前款罪，致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑;致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的，依照规定。
第二百三十五条 过失伤害他人致人重伤的，处三年以下有期徒刑或者拘役。本法另有规定的，依照规定。