有关磁偏转问题中确定圆心的五种常用方法

一、由两速度的垂线定圆心

M

v0

N

θ

x

例1：(2008 天津)在平面直角坐标系xOy 中，第I 象限存在沿y 轴负方

向的匀强电场，第IV 象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强

O

度为B．一质量为m，电荷量为q 的带正电的粒子从y 轴正半轴上的M 点

以速度v0 垂直于y 轴射入电场，经x 轴上的N 点与x 轴正方向成60º 角射

⑴M、N 两点间的电势差UMN；

P

B

⑵粒子在磁场中运动的轨道半径r；

⑶粒子从M 点运动到P 点的总时间t．

图1

解析：（1）粒子进入电场后作类平抛运动，设粒子过N 点的速度为v，有
v 0cos，所以v＝2v0 粒子从M 点到N 点的过程，有qU  1 m v 1 m v 0，解得： U MN 3 m v 0
⑵粒子在磁场中做匀速圆周运动，解题的关键时先找到圆心，在画出轨迹。题目中给出了进入磁场的速度方向，
还给出了出磁场的速度方向，作两速度方向的垂线，取交点O′就是圆心（如图所示）半径为O′N，有
v 2 q

r2m v 0
qB
N
x⑶由几何关系得：ON ＝rsinθ O θ

设粒子在电场中运动的时间为t1，有

θ

ON ＝v0t1

O΄

t



3m

P

B

1

qB

解得：

t



(3 3



2π)

m

3 qB

例2：在真空中，半径为r=3×10-2m 的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场

a

···
B
·····V0
·····

b

的磁感应强度为B=0.2T，方向如图3 所示，一带正电粒子，以初速度

v0=106m/s 的速度从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知该粒子荷质

比为q/m=108C/kg，不计粒子重力，则若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，

·····

其入射时粒子的方向应如何（以v0 与ab 的夹角θ表示）？最大偏转角多大？

·····

解析：带电粒子进入磁场后，洛仑兹力作向心力

qv

B



m

v

2 0

···

0

R

图3

R



mv

0



5



10

2

m

a

···
B
····· V0
·····

b

Bq

粒子轨迹是半径为5cm 的圆弧，要使转角最大，要求圆弧所对的弦最长，即为圆形磁场的直径，作速度的垂线，再作ab的垂直平分线取交点，即为粒子

·············

轨迹的圆心

O



，如图4 所示。

由几何关系

图4

sin

sin

r



0 . 6。

37

R

最大偏转角





2



74

长为L=
3
3
d 三、速度垂线与切线角分线确定圆心

形匀强磁场（图中未画出），其左边界和下边界分别与MN、AA´重合。现有一带电粒子以

Q

v

初速度v0 沿两板OO´射入，并恰好从下极板边缘射出，又经过在矩形有界磁场

中的偏转，最终垂直于MN 从A 点向左水平射出。已知A 点与下极板右端的距离为

d。不计带电粒子重力。求：⑴粒子从下极板边缘射出时的速度；⑵矩形有界磁场的最

小面积。

图5

解析：（1）粒子在极板间作类平抛运动，水平方向：

L



v

0

t

，竖直方向：

A A´

N

d 2 v

2 y t，解得：v y 


3 3 v 0，合速度为vv 0 2v y 2 v 0速度方
P
M
平分线。与MN 的交点就是圆心，由圆心画出轨迹可以看出带点粒子是先做
匀速直线一段，之后进入磁场做圆周运动的。由几何关系和角度可知：
d
四、速度垂线与已知半径定圆心
例4：如图7 所示，在xOy 平面上，一个以原点O 为圆心，半径为4R 3 r。磁场的最小面积如图6 所示，宽是3r/2，而r=d/3 最小面积为d2/6。


N A v v y 3
向：tanv 0 
3
，所以速度与水平方向成300角斜向下，
O O´
粒子出电场后最终垂直MN 射出磁场，应先找到圆周运动的圆心，将出电场
的速度方向延长，与AA`交于一点，这就是两速度切线的交点，再做此角的角

A´

电子在磁场中的运动半径分别为

r 和c r e

，则由动量守恒定律有：

m

c

v

c



m

e

v

e

对反冲核，由洛伦兹力提供向

心力有，

q

c

Bv

c



m c

v

2 c

，解得

r c

m

c

v

c

，同理，有

r c

m

e

v

e

而

6 e

r c

q

c

B

eB

qc



解得：

r e



6

r c

=6R，接下来的关键问题就是确定圆心，画出轨迹，找到几何关系。过A 点

作速度的垂线，即为x 轴，结合半径re=6R，带电粒子轨迹的圆心就使磁场圆与x 正半轴

B

θ

O1

的交点，坐标为（4R，0）。设正电子轨迹与磁场边缘交点为P（如图8 所示），

cos

O

1

P



6

R



3

P

BO 1

8

R

4

图8

所以：

arccos

3

4

例5：在地面附近，坐标系xoy 在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直纸面向里五、速度垂线与圆心角定圆心
向下的直线运动，
的区域内加一匀强电场，场强为 3 E，若油滴做圆周运动通过x 轴上的N 点，且
的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，
场强为E，

示）沿直线做匀速运动，由平衡条件有：

qv B

sin

30

0



qE

所以

匀速运动的速度为

v



2

E

，如图进入y 轴右侧场后做匀速圆周

B

运动，应先找到圆心。先做速度方向的垂线，再连接PN，可知弦切

角为600，所以圆心角为1200，而此时∠P O′N=1200，所以O′即为圆

t



P O

N



T



2R



2

3E

2

2

3600

3 v

3

gB

3)

E

全过程所经历的时间为

t



t



t



( 9



1

2

3

gB