2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)

期期末数学试题

一、单选题

1．幂函数yfx的图象经过点3，3，则fx是（ ）

上是增函数 A．偶函数，且在0，上是减函数 C．奇函数，且在0，函数 【答案】D

上是减函数 B．偶函数，且在0，上是增D．非奇非偶函数，且在0，a【解析】设f(x)=x，代入已知点坐标，求出解析式，再确定奇偶性和单调性．

【详解】

11设f(x)=x，∴33，a，即f(x)x2，它既不是奇函数也不是偶函数，但

2aa在定义域[0,)上是增函数． 故选：D． 【点睛】

本题考查幂函数的解析式，考查幂函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 2．若函数f(x)(3a)x3,x7单调递增,则实数a的取值范围是( ) x6a,x7B．,3

A．9,3 494C．1,3 D．2,3

【答案】B

【解析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】

解：Q函数f(x)(3a)x3,x„7单调递增， x6a,x73a09a1解得a3

43a73a第 1 页 共 12 页

9

a所以实数的取值范围是,3．

4

故选：B． 【点睛】

本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 3．定义在R上的函数fx有反函数f1x，若有fxfx2恒成立，则

f12020xf1x2018的值为（ ）

A．0 【答案】A

1【解析】由已知可得f(x)图像关于(0,1)，可得fx关于(1,0)对称，根据对称性，

B．2 C．-2 D．不能确定

即可求解. 【详解】

定义在R上的函数fx有fxfx2恒成立， f(x)图像关于(0,1)对称，f1x关于(1,0)对称，

2020xx20182,f12020xf1x20180.

故选:A, 【点睛】

本题考查互为反函数图像间的关系，利用对称性求函数值，解题的关键要掌握对称性的代数式表示，属于中档题.

4．已知函数fx的定义域为0,1,2，值域为0,1，则满足条件的函数fx的个数为（ ） A．1个 【答案】B

【解析】根据已知条件定义域0,1,2中有两个元素和{0,1}的一个元素对应，第三个元素与{0,1}另一个元素对应，即可求解. 【详解】

满足条件的函数fx有：f(0)0,f(1)1,f(2)1；

B．6个

C．8个

D．无数个

f(0)1,f(1)0,f(2)0；f(1)0,f(0)1,f(2)1；

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f(1)1,f(0)0,f(2)0；f(2)0,f(0)1,f(1)1；

f(2)1,f(0)0,f(1)0，满足条件的函数有6个.

故选:B. 【点睛】

本题考查函数定义，属于基础题.

二、填空题

5．若实数ab，则下列说法正确的是__________． （1）acbc；（2）acbc；（3）【答案】（1）

【解析】根据不等式的性质逐个判断，即可得到结论. 【详解】

根据不等式的性质（1）正确； （2）中如果c0时不成立，故错误； （3）若a1,b1时，

11

；（4）a2b2 ab

11不成立，故错误； ab（4）若a1,b1，a2b2不成立，故错误. 故答案为:（1） 【点睛】

本题考查不等式的性质，对于常用的不等式成立的条件要熟记，属于基础题. 6．函数f(x)kxbk0是奇函数的充要条件是__________． 【答案】b0

【解析】根据奇函数的定义，即可求解. 【详解】

f(x)kxbk0为奇函数，

则f(x)kxbf(x)kxb,b0. 故答案为:b0. 【点睛】

本题考查函数的奇偶性求参数，注意奇偶性的定义应用，属于基础题. 7．函数fxmm1x2m27m11是幂函数，则m__________．

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【答案】2或-1

【解析】根据幂函数的定义，即可求解. 【详解】

fxm2m1xm27m11是幂函数，

m2m11,m2m20，解得m2，或m1.

故答案为: 2或-1.

8．a,bR,ab1，则(a1)(b1)的最大值为________. 【答案】

9 42ab结合所求代入公式，即可求解.

【解析】根据基本不等式ab2【详解】

9a1b1由题意a,bR,ab1，则(a1)(b1)， 242当且仅当a1b1，即ab即(a1)(b1)的最大值为故答案为【点睛】

1时等号成立， 29. 49 4本题主要考查基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件.

9．不等式x1x213的解集为__________． 【答案】7,6

【解析】对x分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】

x1x213化为

x12x1x2或或， 2x1133132x113解得1x6或-2?x所以7x6.

1或7x2，

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故答案为:7,6. 【点睛】

本题考查绝对值不等式的解，考查分类讨论思想，属于基础题. 10．“若xy1，则x1且y0”的逆否命题是__________． 【答案】若x1或y0，则xy1. 【解析】根据逆否命题的形式，即可得出结论. 【详解】

“若xy1，则x1且y0”的逆否命题是” “若x1或y0，则xy1.” 故答案为: 若x1或y0，则xy1. 【点睛】

本题考查命题的形式，要注意连接词的变化，属于基础题. 11．已知函数fx则g19]，gxfxfx2的反函数是g1x，x1，x[1，x的定义域为__________．

【答案】2,210

【解析】根据互为反函数的关系，即求g(x)的值域 【详解】

fxx1,x[1,9],gxx1x21,x[1,3], g(x)在[1,3]为增函数，g(x)的值域为2,210，

即为g1x的定义域.

故答案为:2,210.

【点睛】

本题考查互为反函数之间的关系，求函数的值域，要注意复合函数的定义域，是解题的易错点，属于中档题.

x24x312．函数fx的值域为__________．

x6【答案】,1667U1667,

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【解析】设x6t，将f(x)关于t的函数，利用基本不等式，即可求出值域. 【详解】

t216t6363设x6t,xt6,g(t)t16，

tt当t0时，g(t)6716，

当且仅当t37,x376时等号成立； 同理当t0时，g(t)6716，

当且仅当t37,x376时等号成立；

所以函数的值域为,1667U1667,. 故答案为: ,1667U1667,.

【点睛】

本题考查函数的值域，注意基本不等式的应用，属于基础题.

13．已知a，b为非零实数，且3a12b6ab，则ab的值为__________． 【答案】2

【解析】根据指对数的关系，将已知等式转化为对数形式，即可求解. 【详解】

3a12b6ab,alog36abablog36,a0,b同理alog612,ablog6362. 故答案为:2. 【点睛】

1log63， log36本题考查指对数之间的关系，考查简单的对数运算，以及换底公式的应用，属于基础题.

x2xkx1x14．已知函数fx1，gxalnx22aR，若

logxx1x1123对任意的均有x1，x2xxR,x2，均有fx1gx2，则实数k的取值范围是__________． 【答案】,

43第 6 页 共 12 页

【解析】若对任意的均有x1，x2xxR,x2，均有fx1gx2，只需满足

f(x)maxg(x)min，分别求出f(x)max,g(x)min，即可得出结论.

【详解】

当2x1fxxxk(x)k22121， 4k6f(x)1k， 411log1x， 223当x1,fxgxalnx2设yx， x21x，当x0,y0， 2x1x111x0,y2,0y当x1x122，

x当x1时，等号成立 同理当2x0时，1y0， 2yx11[,]， 2x122若对任意的均有x1，x2xxR,x2， 均有fx1gx2，只需f(x)maxg(x)min， 当x2时，ln(x2)R， 若a0,x2,g(x)， 若a0,x,g(x) 所以a0，g(x)f(x)maxx1,g(x)， min2x12113g(x)min成立须，k,k，

4243实数k的取值范围是,.

4故答案为;,.

43【点睛】

本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析

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问题解决问题能力，属于中档题.

三、解答题

15．已知函数fx是定义在R上的偶函数，且当x0时，fxx2x.

2（1）求f0及ff1的值；

（2）1,0 f11；

（2）若关于x的方程fxm0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围. 【答案】（1）f00，f【解析】（1）根据函数的解析式，以及函数的对称性，即可求解； （2）由已知只需x0时，fxm有两个解的即可. 【详解】

（1）fx是定义在R上的偶函数， 且当x0时，fxx2x，

2f(0)0,ff1f(1)f(1)1；

（2）函数fx是定义在R上的偶函数， 关于x的方程fxm0有四个不同的实数解， 只需x0时，fxm有两个解， 当x0时，fxx2x(x1)1，

22所以1m0 【点睛】

本题考查函数奇偶性的应用，以及由方程根的个数求参数，熟练掌握二次函数图像与性质是解题的关键，属于基础题.

16．某城市居民每月自来水使用量x与水费fx之间满足函数

C0xAfx，当使用4m3时，缴费4元，当使用27m3时，缴费14

CBxAxA元；当使用35m3'时，缴费19元. （1）求实数A、B、C的值；

（2）若某居民使用29m3水，应该缴水费多少元？

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【答案】（1）A11，B51，C4；（2）15元

48【解析】（1）由已知判断A的范围，用待定系数法求出A,B； （2）根据解析式，即可求解. 【详解】 （1）依题意得

f(27)f(4)f(35)f(27),4A27，

2743527f(27)4B(27A)145C4,，解得B,A11，

8f(35)4B(35A)195A11,B,C4.

85（2）f(29)4(2911)11.25（元），

8答：某居民若使用29m3水，应该缴水费11.25元. 【点睛】

本题考查求函数解析式的应用问题，以及求函数值，属于基础题. 17．已知函数f(x)log1（1）求a的值； （2）当x(1,)时，（3）若关于x的方程

1ax的图象关于原点对称，其中a为常数. x12f(x)log1(x1)m恒成立，求实数m的取值范围；

2f(x)log1(xk)在[2,3]上有解，求的取值范围.

k2【答案】(1) a1 (2) m1 (3) k?[1,1]

【解析】试题分析：（1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）求出f（x）+=log1（1+x）（x﹣1），根据函数的单调性求出m的范围即可；（3）问题转化为k=

2log122x1﹣x+1在[2，3]上有解，即g（x）=

2﹣x+1在[2，3]上递减，根据函数的单调性求x1出g（x）的值域，从而求出k的范围即可． 解析：

（1）∵函数fx的图象关于原点对称，∴函数fx为奇函数， ∴fxfx， 即log121ax1axx1log1log1，解得a1或a1（舍）. x1x11ax22第 9 页 共 12 页

（2）fxlog1x1log121xlog1x1log11x 1x222当x1时，log11x1，

2∵当x1,时，fxlog1x1m恒成立，

2∴m1.

x1log1xk，即（3）由（1）知，fxlog1xk，即fxlog122x12x12xk即kx1在2,3上有解， x1x12gxx1在2,3上单调递减

x1gx的值域为1,1，

∴k1,1

点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，如果是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。

x,xPfx18．已知函数2，其中P，M是非空数集且PM.设

x2x,xMfPyyfx,xP，fMyyfx,xM.

4，求fPUfM； （1）若P,0，M0，2a3？（2）是否存在实数a3，使得PUM3,a，且fPUfM3，若存在，求出所有满足条件的a；若不存在，说明理由；

（3）若PMR且0M，1P，fx单调递增，求集合P，M.

【答案】（1）8,；（2）存在，3；（3）P0,tU1,，M,0Ut,1，其中0t1或P0,tU1,，M,0Ut,1，其中0t1或

P1,，M,1，或P0,，M,0

【解析】（1）依题意f(P),f(M)分别表示xP,xM时f(x)的值域，结合y|x|的图像和性质和二次函数的图像和性质分别求出此分段函数两支上的值域，即可得出结

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论；

（2）抓住线索3PUM，逐层深入，先判断3P，得a的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定a的值；

（3）根据函数的单调性，可得(,0)M,(1,)P，再证明在(0,1)上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合P,M. 【详解】

（1）QP,0,f(P){y|y|x|,x,0}0,，

QM0，4,f(M){y|yx22x,x0，4}[8,1]， fPUfM[8,)；

（2）若3M则f(3)15[3,2a3]，不合题意，

3P从而f(3)3,Qf(3)3[3,2a3]， 2a33，得a3.

22若a3，则2a33(x1)1x2x，

QPIM,2a3的原象x0P且3x0a，

x02a3a,a3，矛盾.

a3，此时可取P[3,1)U[0,3],M[1,0)，满足题意.

（3）Qf(x)是单调递增函数，对任意x0,f(x)f(0)0，

xM,(,0)M，同理可得：(1,)P.

2若存在0x01，使得x0M,则1f(x0)x02x0x0， 222于是[x0,x02x0]M，记x1x02x0(0,1),x2x12x1,L，

2[x0,x1]M，同理可知[x1,x2]M,L，由xn1xn2xn， 22得1xn11xn2xn(1xn)，

2n1xn(1xn1)2(1xn2)2L(1x0)2，

对于任意x[x0,1)，取[log2log(1x0)(1x)1,log2log(1x0)(1x)] 中的自然数nx，则x[xnx,xnx1]M,[x0,1)M

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综上所述，满足条件的P,M必有如下表示：

P0,tU1,,M,0Ut,1，其中0t1，

或P0,tU1,,M,0Ut,1，其中0t1， 或P1,,M,1，或P0,,M,0. 【点睛】

本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力，分析问题和解决问题的能力，属于较难题.

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