第２６卷第４期 ２Ｏ１Ｏ年８月 大 学 数 学 Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．２６，№．４ Ａｕｇ．２０１０ 奇异线性模型参数估计的相对效率 刘谢进 （淮南师范学院数学与计算机科学系，安徽淮南２３２００１） ［摘要］提出了奇异线性模型中参数口的最佳线性无偏估计（ＢＬＵＥ）：ｔ￣ｌ对于最小二乘估计（ＬＳＥ）的一 种新的相对效率，并给出了该相对效率的下界，最后讨论了该相对效率与广义相关系数的关系． ［关键词］奇异线性模型；相对效率；广义相关系数 ［中图分类号］Ｏ２１２．１ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１０）０４—００７２—０４ １ 引 言 考虑Ｇａｕｓｓ－Ｍａｒｋｏｖ模型 Ｙ＝Ｘ，ｇ＋ｓ， Ｅ（占）一０， Ｃｏｖ（￡）￣－－０． ， （１） 其中ｙ是ｎ Ｘ １的观测向量，ｘ是 ｘＰ的设计阵，ｒ（ｘ）一ｒ≤户， 为Ｐ ｘ １的未知参数向量，ｓ为 ×１的 随机误差向量， 。＞Ｏ为未知参数， 为 × 的半正定阵，记为 ≥０． 对于ｒ—Ｐ， 为正定阵的情况，参数 的最佳线性无偏估计（ＢＬＵＥ）相对于最小二乘估计（ＬＥＳ）的 几种相对效率常用 一④一 一ｃ ｌ ｉ 等刻划，此处ｆＡｆ表示矩阵Ａ的行列式，ｔｒ（Ａ）表示矩阵Ａ的迹． 文献［１－７３分别讨论了 的最小二乘估计（ＬＳＥ）相对于最佳线性无偏估计（ＢＬＵＥ）的几种相对效 率的下界。当ｔ＇－￣－Ｐ，｝ Ｉ一０时，则称该模型为奇异线性模型．文献［５３给出了 （ ）的下界，文献ｉ－６３给出 了 （ ）的上界和下界，文献［７］给出了 （ ）中当ｑ一２的下界，并讨论了它与广义相关系数的关系． 根据Ｒａｏ Ｃ Ｒ于１９７１年建立起来的最小二乘统一理论，我们可以得到 的ＢＬＵＥ为 一（ Ｔ Ｘ）一Ｘ Ｔ～Ｙ， （２） 其中矩阵 ＝ ＋ ＵＸ＂，Ｕ≥ｏ且满足ｒ（ ）一ｒ（ ），Ｔ一为 的任一广义逆． 的协方差为 Ｃｏｖ（ｐ ）一 。（Ｘ／Ｔ—Ｘ）一ＸＩＴ—ＥＴ—Ｘ（Ｘ Ｔ—Ｘ）一． （３） 的一种简单取法为Ｕ＝ｄ Ｉ，其中ｄ 满足：若Ｍ（ｘ） Ｍ（ ），则ｄ ≠０，若Ｍ（ｘ）ｃＭ（ ），则ｄ 一０， Ｍ（ ）表示矩阵 的列向量张成的子空间，此时 一 ＋ ＸＸＩ，易知Ｍ（ｘ）ＣＭ（ ），Ｍ（ ）ＣＭ（Ｔ），从 而 — ， ｒ— ， Ｔ—ＥＴ—ｘ均与广义逆Ｔ一的选择无关，故可将ｒ用Ｔ＋代替，即 Ｃｏｖ（￣ ）一０．２（Ｘ Ｔ Ｘ） Ｔ Ｔ叶Ｘ（ Ｔ Ｘ）一， （４） 而 的ＬＳＥ为 ＝（ｘ ）ＸＩＹ，则 Ｃｏｖ（Ｏ）一０．２（ ｘ）一Ｘ＇２１Ｘ（ｘ ｘ）． （５） 由Ｇａｕｓｓ—Ｍａｒｋｏｖ定理知ｃｏｖ（房）≥Ｃｏｖ（ｐ ）．在实际应用中较常见的情形是 未知或者不够清楚，因此 常用最小二乘估计 来代替 ，但由此将给估计精度带来一些损失，相对效率就是度量用声代替 。所 ［收稿日期］２００７～１２～２７ ［基金项目］安徽省省级教学研究项目（２００７ｊｙｘｍ４００）；淮南师范学院科研基金资助计划项目（２ｏ０７１ｋｐｏ３ｚｄ） 第４期 刘谢进：奇异线性模型参数估计的相对效率 ７３ 造成的损失的一种重要方法，本文引入一种新的相对效率 （Ｃｏｙ（Ｂ ）） ｅ４‘ ， （６） 其中 （Ａ）表示矩阵Ａ的最大特征值． 易得ｏ≤ｅ （ ）≤１，相对效率越大，说明用 代替 所带来的损失越小；反之，说明损失越大，因此 研究这种损失的大小就显得很有必要．在估计效率的研究中，我们感兴趣的是相对效率 （ ）的下界，文 中第二部分对我们提出的这种新效率给出了一个下界，第三部分建立 （ ）与张尧庭在Ｅ８］中提出的一 种广义相关系数的联系． ２ 几个引理 为研究关系式（６）定义的相对效率，先引入如下几个引理 引理１ｌ９ 设Ａ，Ｂ为 阶对称矩阵，且Ｂ＞ｊｏ，则有 （Ｂ） （Ａ。）≤ （ＡＢＡ）≤ １（ ） （Ａ ）， ｉ一１，２，…，咒． （７） 引理２ （Ｐｏｉｎｃａｒｅ分离定理） 设Ａ为 阶对称矩阵，Ｐ为咒×尼的列正交阵，即ｅ＇Ｐ—Ｉ ，则 ＋ （Ａ）≤ ，（ ＡＰ）≤ （Ａ）， ｉ一１，２，…，忌． （８） 引理３＿９ 设Ａ，Ｂ为 阶半正定矩阵，则 （Ａ） （Ｂ）≤ （ＡＢ）≤ ｌ（Ａ） （Ｂ）， ｉ一１，２，…， ； （９） （Ａ） （Ｂ）≤ （ＡＢ）≤ （Ａ） （Ｂ）， ｉ一１，２，…， ． （１０） 引理４ｌ１ 设Ａ为 阶正定矩阵，则 （Ａ ）一 （Ａ）， （Ａ ）一 汁１（Ａ）， 一１，２，…， ． （１１） 引理５Ｅ 若Ａ为 × 实矩阵，Ｂ为ｍ× 实矩阵，ｒ（ＡＢ）一ｒ，则 （ＡＢ）一 （ＢＡ），ｉ一１，２，…，ｒ， （１２） 式中， （Ａ）表示Ａ的第ｉ个顺序特征根． ３相对效率的下界 足理１在模型（１）Ｆ，看ｒ（Ｘ）一Ｐ，则 ）≥戆， （１３） 其中 ≥ ｚ≥…≥ ＞０和ｙ ≥），ｚ≥…≥ ＞Ｏ分别为Ｔ和 的非零特征根， —ｒ（Ｔ）． 证 因为 ≥。，ｘｘ ≥。，则Ｔ一 ＋ＸＵＸ ≥。，从而存在 阶正交阵Ｑ，使得ＱＴＱ ＝＝＝（ ），其中 Ｍ＝＝：ｄｉａｇ（／￣ ， ｚ，…， ）， ≥ ２≥…≥ ＞Ｏ为Ｔ的非零特征根．由于Ｍ（ｘ）ＣＭ（Ｔ），则存在７ｚ×Ｐ矩 阵Ｈ，使得ｘ—ＴＨ，从而 Ｑｘ—Ｑ删一 ＱＨ＝（Ｍ三）ＱＨ一（ … 其中Ｗ为 ×Ｐ矩阵，ｒ（ｗ）一ｒ（ｘ）＝＝＝ ≤ｍ． 易得ｘ Ｔ ｘ—ｗ Ｍ一 ｗ，而Ｑ 一 ＋ Ｑｘｘ Ｑ ，所以 Ｑ ，＿ ０一０）－ｄＺ（ 三）＝＝（ Ｏ。１一 Ｏ ｏｏ）， 其中 一Ｍ— ｗ ． 所以 ，，Ｔ ｒ Ｘ—ｘ Ｑ ・ＱＴ Ｑ ・（ Ｑ ・ＱＴ＋Ｑ ・Ｑｘ 一 （、、Ｍ－ ０ ）０，（＼ ｏｏ ０ ０ｌ（Ｍ ０。），（＼ｗ ，０） 一Ｗ Ｍ ∑＊Ｍ＿。Ｗ． （１６） ７４ 则 大 学 数 学 第２６卷 Ｃｏｖ（＃ ）一 。（ＸｆＴ ）一ＸｆＴ ＥＴ Ｘ（Ｘ Ｔ Ｘ）一 一 ［（ｗ Ｍ ｗ） ＷＩＭ 三 Ｍ Ｗ（Ｗ＇Ｍ ｗ） ］． （１７） 对于 ×Ｐ矩阵ｗ，存在ｍ×Ｐ列正交阵Ｐ和Ｐ阶正交阵Ｒ，使得ｗ—Ｐ△Ｒ ，其中Ａ—ｄｉａｇ（￣ ， ，…， ）， ，≥ ｚ≥…≥ ＞Ｏ为ｘ的奇异值，则 Ｃｏｖ（￣ ）一 ［Ｒ厶 （Ｐ，Ｍ～ Ｐ） Ｐ ｌＭ Ｍ一 Ｐ（Ｐ Ｍ一 Ｐ） Ａ一 Ｒ ］一 （ＲＡ一 ＡＢＡＡ一 Ｒ ），（１８） 其中Ａ一（ Ｍ ，Ｂ一 Ｍ Ｍ—Ｐ． 由引理１和引理４，得 （ｃｏＶ（ ））／ａ 一 （ｚｌ ＡＢＡＡ一 ）≥ （ＡＢＡ） １（△。）≥ ｐ（Ｂ） ｐ（Ａ ） （△）＝＝＝ ｐ（Ｂ） ；（Ａ） 。（△）． （１９） 先由引理２，再由引理１和引理４，得 ｐ（ ）一 （Ｐ，Ｍ Ｍ＿１Ｐ）≥ （Ｍ Ｍ ）≥ （ ） （Ｍ～ ）一 （ ） （Ｍ）． （２０） 由（１５）式，得 （ ）＝＝＝ （ ）一 （ ）． （２１） 所以 （Ｂ）≥ （ ） （Ｍ）， （２２） （Ａ）＝＝＝ （（Ｐ，Ｍ一 Ｐ）一 ）一 （Ｐ Ｍ一 Ｐ）≥ （＾ 一 ）一 （Ｍ）． （２３） 综合（１９）一（２３）式，得 ｌ（ＣｏＶ（ ））／ ≥ （ ） （Ｍ） （Ｍ） （厶）一ｙ 。 ２ ０ －ｐ ． （２４） 类似地有 Ｃｏｖ（￣一 。Ｒｄ Ｐ， ＰＡ Ｒ ， （２５） ２１（ＣｏＶ（ ））／ 。一 －（ＲＡ ．Ｐ， Ｒ ）≤ ｌ（ ） １（厶一 ）≤ １（ ） （厶）一ｙ１ ． （２６） 所以 ≥ 一戆． （２７） 推论在模型（１）下，若ｒ（ｘ）一Ｐ，Ｍ（ｘ）（＝＝Ｍ（ ），则 Ａ１ ０Ｖｐ ， ≥等１． （２８） 证若ｒ（ｘ）一户，Ｍ（ｘ）（二二Ｍ（ ），取ｄ 一Ｏ，则Ｔ＝Ｉ／，）， 一 ， １，２，…， ，易得上式成立． ４相对效率与广义相关系数的关系 在模型（１）下，若ｒ（ｘ）一Ｐ，则 的ＢＬＵＥ 相对于ＬＥＳ 的协方差为 Ｃｏｙ（＃ ，蟊）一 （ｘ Ｔ ｘ）一ｘ。Ｔ ｘ（ｘ。ｘ）一；＝＝ Ｃ． （２９） 记Ｃｏｖ（￣ ）一口 Ｄ，Ｃｏｖ（￣ｚＯ－ Ｅ，则 与 的协方差阵为 ｃ。ｖ ） ）． （３Ｏ） 设 为 与 的典型相关系数，则 满足 ｆＥ Ｄ ｃ一 Ｉ ｌ一０或 『Ｄ ＣＥ 一ｐ Ｊ ｌ一０． 文献［８］定义了五种广义相关系数，其中一种为 ＝ｍａｘｐ 一Ａｊ（Ｅ。。Ｃ＇Ｏ’。ｃ）一 Ｉ（Ｄ ＣＥ Ｃ，）． （３１） 关于ｅ （ ）与ｐ ’，有 定理２在模型（１）下，若ｒ（ｘ）一Ｐ，ｒ（ ）＝ ≥声，则 麓≤ ． （３２） 第４期 刘谢进：奇异线性模型参数估计的相对效率 ７５ 证 由ｒ（Ｘ）一Ｐ，ｒ（ ）一 ≥Ｐ，则Ｄ，Ｅ为非奇异的，且ｒ（１１）一ｒ（ ），由引理３、引理４和引理５，得 ０Ｊ 一 （Ｅ一 Ｃ＇Ｄ一 Ｃ）￣２７ （Ｅ） ｌ（Ｃｏ～ Ｃ）＝ＡＴ （Ｅ） １（Ｄ一 Ｃ，Ｃ） ≥ （ ｌ（Ｄ） （ 一 （ ） ， （３３） 所以 ≤ ． （３４） 由（３３）式，同理可得 ２ １（Ｄ）≥ ． （３５） 符号表示与定理１相同，与定理ｌ的证明相类似，可得 Ａｌ（Ｂ）≤ １（ ） （Ｍ）一ｙｌ 。， （３６） １（Ａ）≤ １（Ｍ）＝／２１， （３７） 于是 （Ｄ）一 （ＲＡ ＡＢＡＡ Ｒ ）≤ （Ｂ） （Ａ）Ａ７ （△）≤），１ ：。 。． （３８） 由（２９）式，可得 Ｃｃ一［（ｘ Ｔ ｘ）一ｘ，Ｔ ｘ（ｘ ｘ）］ （ｘ Ｔ。。ｘ）ｘ Ｔ Ｙ，Ｘ（Ｘ ｘ）一 ＝ＲＡ一 Ｐ 三 Ｍ一 Ｐ（Ｐ ＭＰ）一 Ａ一。（Ｐ ＭＰ）一 Ｐ Ｍ 三 ＰＡ Ｒ ． （３９） 于是 １（ ｃ）≥２１ （＾ ） （ ） （Ｍ） （△）一 ｉ 。），２ ２ ． （４０） 综合（２６），（３４），（３５），（３８），（４０）式，可得 ≤ 一 ， （４１） ≥ 一篇． （４２） ［参 考 文 献］ 刘爱义，王松桂．线性模型中最小二乘估计的一种新的相对效率ＥＪ２．应用概率统计，１９８９，５（２）：９７—１０４． 黄元亮，陈桂景．线性模型中参数估计的相对效率［Ｊ］．应用概率统计，ｌ９９８，１４（２）：１５９—１６４． 王洁，王炜ｌ圻，王成名，张军舰．奇异线性模型最小二乘估计的相对效率［Ｊ］．数学研究，２００２，３５（１）：１０４—１０８ 候景臣．奇异线性模型中最小二乘估计效率的一个注记［Ｊ］．辽宁石油化工大学学报，２００４，ｌ２（２）：９２—９４． 朱鹏，陈玮玮，丁杰．奇异线性模型相对效率的下界估计［Ｊ］．扬州大学学报（自然科学版），２００３，６（４）：２１—２３ 王娜娜，林建华．广义Ｇ—Ｍ模型参数估计的一种相对效率［Ｊ］．数学研究，２００７，４０（３）：３１９—３２４． 黄元亮，陈桂景，韦来生．广义Ｇ—Ｍ模型参数估计的相对效率［Ｊ］．数学研究与评论，２０００，２０（１）：１０３—１０８． 张尧庭，方开泰．多元统计分析引论［Ｍ］．北京：北京科学技术出版社，１９９７． 王松桂．线性模型引论［Ｍ］．北京：科学出版社，２００４． ］王松桂，贾忠贞．矩阵论中不等式［Ｍ］．合肥：安徽教育出版社，１９９４． Ｔｈｅ Ｒｅｌａｔｉｖｅ Ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ Ｐａｒａｍｅｔｅｒ Ｅｓｔｉｍａｔｅ ｉｎ Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｌｉｎｅａｒ Ｍｏｄｅｌ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｎｅｗ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｉｓ ｄｉｓｕｓｓｅｄ ｉｎ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ，ａｎｄ ｉｔｓ ｌｏｗｅｒ ｂｏｕｎｄ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｉｍｅ，ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｓ ａｌｓｏ ｂｕｉｌｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｉｎｇｕｌａｒ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ；ｒｅｌａｔｉｖｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｅｙ ｏｆ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ