推荐-数学建模-最小二乘法 精品

最 小 二 乘 法

设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能\"最好\"的反映出这组数据的变化。 对个别观察值来说，它可能是正的，也可能是负的。为了不使它们相加彼此抵消，故\"最好\"应该是 n [yi(bxia)]2最小.i1n令 Q[y(bx222(bx2iia)][y1(bx1a)][y2(bx2a)][ynna)]i1  na2 nnn - 2ayi - 2bxi yi2abx2ibi1i1i1nx2ii12nnnn na- 2(y22i- bxi)a  (bi-2bi)  (1)i1i1xi1xi yi1将 b 看成参数,Q即是a 的二次函数,nnyib 当 ai1xii1nybx 时,Q才可能最小,其中y和x分别表示y与x的观察值的算数平均数. 将a代入 (1)式得,2nnn Qb[-1n(x2x21n1ni)i] - 2b [i1xi yi-i1xi1yi] -(i1nyi)2ni1nii1可将Q 看作 b 的二次函数,要求它的最小值,只有nn2[xy1nnnni i- bi1nxiyi]n xi yi - i1i1i1xii1yi]i1nnnn 2[-1(x2i)2xi]nx2i - (1i1i1x2ni)ii1 y  bx a 称为线性回归方程.

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最 小 二 乘 法

设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能\"最好\"的反映出这组数据的变化。 对个别观察值来说，它可能是正的，也可能是负的。为了不使它们相加彼此抵消，故\"最好\"应该是

n [yi(bxia)]2最小.i1n令 Q[yi(bxia)]2[y1(bx1a)]2[y2(bx2a)]2[yn(bxna)]2i1  na2 nnn - 2ayi - 2bxi yi2ab21i1xibii1nx2ii12nnnn na- 2(y22i- bxi)a  (bi-2b yi)  (1)i1i1xi1xii1将 b 看成参数,Q即是a 的二次函数,nnyib 当 ai1xii1nybx 时,Q才可能最小,其中y和x分别表示y与x的观察值的算数平均数. 将a代入 (1)式得, Qb2[-1nnnn(x22-1nn1ni)1xi] - 2b [i1xi yii1nxii1yi] -(i1nyi)2ii1可将Q 看作 b 的二次函数,要求它的最小值,只有nx1nnnnn2[i yi- bi1nxiyi]n xi yi - 1i1xii1yi]i1ii1n 2[-1nnn(xi)2x2i]nx22ni - (i1xi)i1i1i1 y  bx a 称为线性回归方程.

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