向量数量积教案

向量数量积教案

【篇一：向量数量积教案】

平面向量数量积的教学设计及反思 教学目的： 1.了解平面向量数量积的物理背景及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 3． 理解掌握数量积的性质和运算律， 并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算； 教学重难点： 重点： 1.平面向量数量数量积的概念和性质 2． 平面向量数量数量积的运算律的探究和应用 难点： 平面向量数量数量积的定义及对运算律的探究 平面向量数量数量积的应用 课时安排： 2 课时 教学过程 一． 导入 ??的作用下产生位移 s??， 那么力 f一个物体在力 f??所做的功： coss??fw??=，即功的大小是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积。

f??是力的大小， 是数量也就是物理上的标量， s??是位移的大小是标量， cos是力与位移夹角的余弦值， 也是标量， 所以w 是一个标量， 它是由力和位移这两个向量决定的。

这给我们一个启示： 功是否是两个向量的某种运算的结果呢？ 二． 新授 1． 平面向量数量积（内积） 的定义： 已知两个非零向量 a??与 b??， 它们的夹角是 ，则数量| a??| | b??| cos 叫 a??与 b??的数量积（ 内 积）， 记作 a?? b??， 即 a?? b?? = | a??| | b??| cos ， (0) ， 前面所说的功就是力与位移的数量积。

并规定 0??与任何向量的数量积为 0 注意： （1） 不能省略， 也不能用 代替。

(2 ) 00a =,而不是00a?? =。

2． 牛刀小试： 例 1. 已知| a??|=5， |b??|=4，（1） a??与 b??的夹角是 60 ；（2） a??

与 b??的夹角是 120 ； （3） a??与 b??垂直； （4） a??与 b??平行， 求 a?? b?? 解： (1) a?? b??=| a??||b??|cos60 =10 (2) a?? b??=| a??||b??|cos120 =-10 (3) a?? b??=| a??||b??|cos90 =0 （4） a??与 b??同向时a?? b??=| a??||b??|cos0 =20 a??与 b??反向时a?? b??=| a??||b??|cos180 =-20 3． 投影（也叫射影） 的概念及数量积的几何意义： ?? = | a??||b由数量积定义 a?? b??|cos 可知影响数量积大小的因素有| a??|， |b??|， cos ， 投影的定义： 我们把│ b │ cos （│ a │ cos ） 叫做向量b 在 a 方向上（ a 在b方向上） 的投影， 记做： ob1=│ b │ cos （投影的几何图形） b??在 a??方向上的投影： （1） 投影│ b │ cos 是一个数量， 不是向量。

coss??fw??=中， 就是力 f??在s??方向上的投影 cosf??对物体做功。

（2） 当 为锐角时， 投影为正值， 数量积为正值； 当 为钝角时， 投影为负值， 数量积为负值； 当 为直角时， 投影为 0， 数量积为 0； 当 = 0 时， a??与 b??同向时， 投影为 | b??| ，ba??ba= ， 当 = 180 时， a??与 b??反向时， 投影为 | b??| ，ba??ba= ， 可见数量积ba?? ??的几何意义： 向量a??与 b??的数量积 a?? b??等于 a??的长度 a??与b??在 a??的方向上的投影 cosb??的积． 请判断： 角 的范围 0 90 =90 0 180 a b 的符号 + 0 - 即数量积的符号由 4． 归纳数量积的性质： cos的符号决定， 即由两向量的夹角决定。

① 0= ba??ba??（力垂直与物体移动方向时， 力对物体不做功） ②当 a??与 b??同向时， a?? b??=| a??||b??|，（此时 a?? b??最大， 力对物体做功最大）；当 a??与 b??反向时， a?? b??=| a??||b??|， （ 此 时 a?? b??最小， 力对物体做功最小）。

特别地2a??a??a??= ③ba??ba 下面考察向量数量积的运算律： 数量积是向量间的一个新的运算， 自然要对它的运算律进行讨论， 看它的运算律与实数的运算律有什么联

系 是任意向量 设 , , ,a b c 是任意实数，, ,a b c实数的运算律 向量数量积的运算律 ( )()( )( )??()( ??)()()abbaa b ??b a ??a bababa??ba b ??a??bab cacbcabc??a c + ?? ??b c ==== =??= +=++ = 证明第三个即交换律成立 a??b+??（即 ob??） c??方向上的投影等于 , a b在c??方向上的投影和， 即 | ab+| cos = | a??| cos 1 + | b??| cos 2 | c??| | ab+| cos =| c??| | a??| cos 1 + | c??| | b??| cos 2， c ?? ( ab+) = c ac b+ ?? ???? ?? 即： ()a??bc??a c + ?? ??b c+ =?? 注意： （1） 在实数中， 满足结合律(a b) c = a(b c) ， 向量运算有吗？ 没有！ 即 ()()a b ??c??a??b c 这是因为两个向量数量积结果是一个实数，左端是与 c??共线的向量， 而右端是与 a??共线的向量， 而一般a??与c??不共线. 数量积运算不满足结合律。

解题过程参见课本 例 4 已知｜ a ｜ =3， ｜ b ｜ =4, 且a 与 b 不共线， k 为何值时， 向量a +kb 与 a -kb 互相垂直？ 分析： 两向量相互垂直时， 它们的数量积为 0. 解题过程参见课本 四． 小结： （1） 本节课主要学习了向量的数量积和投影； （2） 类比功， 得到了向量的重要性质； （3） 类比实属运算律， 得到了向量数量积的运算律， 但注意， 有些实数具备的运算律， 向量的数量积却不具备。

五． 作业： 反思： 数量积在几何证明中有重要的应用， 特别是2a??a??a??= ，看着很平常， 但有很重要的作用。

比如今年陕西高考题中的余弦定理的证明， 实际就是这些性质的应用。

这些性质应要 求学生熟练掌握。

【篇二：向量数量积教案】

本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在学习随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的 。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些简单事件的概率，有利于解释生活中的一些现象与问题。

二、学情分析 学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，这为学习正弦定理打下了良好的基础。但本节内容涉及代数推理，定理的推导和证明中可能涉及多方面的知识方法，综合性强，因此学生在学习过程中难免会有困难。四、教学重点、难点教学重点： 1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用 教学难点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.五、教学过程（一）创设情境、引入新课我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系的准确量化呢？【师生活动】教师指出在一个中，如果已知。。。，我们要研究。。。由此，引出本节课的主题——正弦定理。特殊入手，探究证明直角三角形中角与边的等式关系：【师生活动】教师引导学生根据正弦函数的定义，得到三边与对应的角的正弦值的关系。推广拓展，探究证明 锐角三角形中角与边的等式关系：问题1：在锐角三角形abc中，如何构造、表示 “a与sina、 b与sinb”的关系呢？追问：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？【学情预设】此处，学生可能出现以下答案情形。学生对直角三角形中证明定理的方法记忆犹新，可能通过以下两种方法构造直角三角形。生1：过 c作bc边上的线cd，交ba的延长线于d，得到直角三角形dbc。生2：过a作bc边上的高线ad，化归为两个直角三角形问题。【师生活动】可由个别学生回答，教师根据学生的回答进行板书证明。问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？【师生活动】教师引导学生对于钝角三角形的情况，类别锐角三角形，构造直角三角形，留给学生课后回去思考。正弦定理的理解正弦定理：问题4：定理从结构上看有什么特征？有哪些变形式？【师生活动】教师引导学生观察定理的结构，用方程的观点看问题，每个方程含有四个量，知三求一。【结论】（1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。

3、学习目标 知识与技能目标：经历观察、操作、推理、交流等活动，探索并掌握平行线的三个判定方法，并会正确识别图中的同位角、内错角和同旁内角。

能力与方法目标：经历探索直线平行的条件的过程，发展空间观念和有条理的表达能力。

情感与态度目标：在自己思考的基础上，积极参与小组活动对直线平行条件的讨论，敢于表达自已的观点，并从中受益。

重点难点分析：本节的重点是：平行线的判定公理及两个判定定理．一般的定义与第一个判定定理是等价的．都可以做判定的方法．但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交．这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定．因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了．它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习平行线的性质打下了基础．本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的过程．学生刚刚接触演绎推理方法，对几何说理还不太理解．有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明．这些都使几何的入门教学困难重重．因此，教学中要有直观的演示和操作，也要有严格推理板书示范．创设情境，不断渗透，使学生初步理解说理的步骤和基本方法．教材分析：这节课是九年制义务教育初级中学教材浙教版八年级第二章第六节《探索勾股定理》第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起到重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

八年级学生已经具有了一定的几何图形的观察能力，同时他们的抽象思维能力、逻辑推理能力也有了一定的发展。学生已经学过了三角形，全等三角形，等腰三角形以及简单多边形的相关性质，对本节课的学习有很大帮助。本节内容思维量较大，对思维的严谨、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。多边形的内角和一、教材分析： 从教材的编排上，

本节课作为第三章的第三节。从三角形的内角和到四边形的内角和至多边形的内角和，环环相扣。同时，对今后学习的镶嵌，正多边形和圆等都是非常重要的。知识的联系性比较强。因此，本节课具在承上启下的作用，符合学生的认知规律。再从本节的教学理念看，编者从简单的几何图形入手，蕴含了把复杂问题转化为简单问题，化未知为已知的思想。充分体现了人人学有价值的数学，这一新课程标准精神。

二、学情分析： 学生刚学完三角形的内角和，对内角和的问题有了一定的认识，加上七年级的学生具有好奇心，求知欲强，互相评价，互相提问的积极性高。因此对于学习本节课内容的知识条件已经成熟。学生参加探索活动的热情已经具备。因此把这节课设计成一节探索活动课是必要的。

三、教学目标的确定： 新课程标准注重教学内容与现实生活的联系，注重学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。根据学生现有的知识水平，依据课程标准的要求，我确定了以下的教学目标。

知识技能：掌握多边形的内角和公式 数学思考：1、通过动手实践，自主探索，交流互 动，能够将多边形的问题转化为三角形的问题。从而深刻理解多边形的内角和，并会加以应用。

2、通过活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动经验，在探索中学会交流自己的思想和方法。

3、通过探索多边形内角和公式，让学生逐步从实验几何过渡到论证几何。

解决问题：通过探索多边形的内角和公式，使学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法并能有效的解决问题。

情感态度：让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感。在解题中感受数学就在我们身边。