城东区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

城东区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知点M的球坐标为（1，A．（1，

，

）

B．（，

，

），则它的直角坐标为（ ）

C．（，，）

D．（

，，

）

，则

，）

2． 已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（ ） A．a=3 与

（ ）

B．a=﹣3

B．同向平行

C．a=±3

=2

D．a=5或a=±3 ，

=2

，

=2

3． 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且A．互相垂直 C．反向平行

D．既不平行也不垂直

4． 某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ）

A．36种 B．18种 C．27种 D．24种 5． 下面是关于复数p1：|z|=2， p2：z2=2i，

p3：z的共轭复数为﹣1+i， p4：z的虚部为1． 其中真命题为（ ） A．p2，p3

B．p1，p2

C．p2，p4

D．p3，p4

≤0}，则 N∩M（ ）

的四个命题：

6． 若集合M={y|y=2x，x≤1}，N={x|

A．（1﹣1，] B．（0，1] C．[﹣1，1] D．（﹣1，2]

7． 已知，[,]，则“||||”是“||||coscos”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.

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8． 已知x，y满足A．4

B．﹣4 C．0

时，z=x﹣y的最大值为（ ） D．2

x2y29． 椭圆C:1的左右顶点分别为A1,A2，点P是C上异于A1,A2的任意一点，且直线PA1斜率的

43取值范围是1,2，那么直线PA2斜率的取值范围是（ ）

A．, B．, C．,1 D．,1

244248313313【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．

2222210．已知a2，若圆O1：xy2x2ay8a150，圆O2：xy2ax2aya4a40恒有公共点，则a的取值范围为（ ）.

A．(2,1][3,) B．(,1)(3,) C．[,1][3,) D．(2,1)(3,) 11．已知向量=（1，2），=（m，1），如果向量与平行，则m的值为（ ） A．

B．

C．2

D．﹣2

+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），若x1，x0，x2成等

535312．已知函数f（x）=2x﹣

差数列，f′（x）是f（x）的导函数，则（ ） A．f′（x0）＜0 C．f′（x0）＞0

B．f′（x0）=0

D．f′（x0）的符号无法确定

二、填空题

13．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为圆的方程为 ．

14．函数f(x)x22(a1)x2在区间(,4]上递减，则实数的取值范围是 ． 15．已知函数

16．方程22x﹣1=的解x= ．

，则

__________；

的最小值为__________．

，则

17．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方 法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为

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________．

1818 0792 44 1716 5809 7983 8619 6 206 7650 0310 5523 05 0526 6238

【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想． 18．已知f（x）=

，则f[f（0）]= ．

三、解答题

19．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M． （1）求M；

（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

20．如图，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）． （I）若∠AOB=α，求cosα+sinα的值； （II）设点P为单位圆上的一个动点，点Q满足的最大值．

=

+

．若∠AOP=2θ，

表示|

|，并求|

|

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21．已知函数

（1）求f（x）的周期． （2）当

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD外接于圆，AC是圆周角BAD的角平分线，过点C的切线与AD延长线交于点E，AC交BD于点F． （1）求证：BD

．

时，求f（x）的最大值、最小值及对应的x值．

CE；

（2）若AB是圆的直径，AB4，DE1，求AD长

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23．已知函数f（x）=2cos2ωx+2（Ⅰ）当（Ⅱ）若

24．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角C,AC边长为BC边长的aa1倍，三角形ABC的面积为S（千米2）. 试用和a表示S；

（2）若恰好当60时，S取得最大值，求a的值.

sinωxcosωx﹣1，且f（x）的周期为2．

时，求f（x）的最值； ，求

的值．

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城东区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】B

=

【解析】解：设点M的直角坐标为（x，y，z）， ∵点M的球坐标为（1，∴x=sin

cos

=，y=sin

，sin

）， =

，z=cos

∴M的直角坐标为（，故选：B．

，）．

【点评】假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影．这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，φ，θ的变化范围为r∈[0，+∞），φ∈[0，2π]，θ∈[0，π]，

2． 【答案】B

2

∴2a﹣1=9或a=9，

2

【解析】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，

当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；

2

当a=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；

∴a=﹣3． 故选：B．

【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．

3． 【答案】D

【解析】解：如图所示， △ABC中，

=2

，

=2

，

=2

，

，

根据定比分点的向量式，得 ==

+

=，

+ = ， +

以上三式相加，得

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+所以，

+=﹣， 与

反向共线．

【点评】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题，是基础题目．

4． 【答案】 C

【解析】

排列、组合及简单计数问题． 【专题】计算题；分类讨论．

【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：分4种情况讨论，

①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，

②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，

③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况， ④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况， 则共有6+12+6+3=27种乘船方法， 故选C． 组合公式． 5． 【答案】C

【解析】解：p1：|z|=

=

，故命题为假；

【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、

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p2：z2=

==2i，故命题为真；

，∴z的共轭复数为1﹣i，故命题p3为假；

∵

，∴p4：z的虚部为1，故命题为真．

故真命题为p2，p4 故选：C．

【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．

6． 【答案】B

【解析】解：由M中y=2，x≤1，得到0＜y≤2，即M=（0，2]，

x

由N中不等式变形得：（x﹣1）（x+1）≤0，且x+1≠0， 解得：﹣1＜x≤1，即N=（﹣1，1]， 则M∩N=（0，1]， 故选：B．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

7． 【答案】A.

【解析】||||coscos||cos||cos，设f(x)|x|cosx，x[,]， 显然f(x)是偶函数，且在[0,]上单调递增，故f(x)在[,0]上单调递减，∴f()f()||||，故是充分必要条件，故选A. 8． 【答案】A

【解析】解：由约束条件

作出可行域如图，

联立，得A（6，2），

化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，

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由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4． 故选：A．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

9． 【答案】B

10．【答案】C

222O(x1)(ya)(a4)1【解析】由已知，圆的标准方程为，圆O2的标准方程为 222(xa)(ya)(a2) a2，要使两圆恒有公共点，则2|O1O2|2a6，即 ，∵

5a12|a1|2a6，解得a3或3，故答案选C

11．【答案】B 【解析】解：向量可得2m=﹣1． 解得m=﹣． 故选：B．

12．【答案】 A

【解析】解：∵函数f（x）=2x﹣∴

'

，向量与平行，

+cosx，设x1，x2∈（0，π）（x1≠x2），且f（x1）=f（x2），

，

∴存在x1＜a＜x2，f（a）=0， ∴

，∴

，解得a=

，

假设x1，x2在a的邻域内，即x2﹣x1≈0．

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∵∴

，

，

∴f（x）的图象在a的邻域内的斜率不断减少小，斜率的导数为正， ∴x0＞a，

又∵x＞x0，又∵x＞x0时，f（x）递减，

''

∴故选：A．

．

【点评】本题考查导数的性质的应用，是难题，解题时要认真审题，注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运用．

二、填空题

13．【答案】 （x﹣1）2+（y+1）2=5 ．

【解析】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r， ∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上， ∴圆心（a，b）在直线x+y=0上， ∴a+b=0，①

222

且（2﹣a）+（1﹣b）=r；②

又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，

=

，

且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d=

22

根据垂径定理得：r﹣d=

，

即r﹣（

22

）=③；

由方程①②③组成方程组，解得；

22

∴所求圆的方程为（x﹣1）+（y+1）=5． 22

故答案为：（x﹣1）+（y+1）=5．

14．【答案】a3

【解析】

试题分析：函数fx图象开口向上，对称轴为x1a，函数在区间(,4]上递减，所以1a4,a3.

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考点：二次函数图象与性质． 15．【答案】

【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】当当故

时，时，的最小值为

故答案为：

16．【答案】 ﹣ ．

【解析】解：2∴2x﹣1=﹣2， 解得x=﹣， 故答案为：﹣

2x﹣1

=

=2﹣2，

【点评】本题考查了指数方程的解法，属于基础题．

17．【答案】19

【解析】由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第6个个体编号为19． 18．【答案】 1 ．

【解析】解：f（0）=0﹣1=﹣1， f[f（0）]=f（﹣1）=2﹣1=1， 故答案为：1．

【点评】本题考查了分段函数的简单应用．

三、解答题

19．【答案】

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【解析】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1； 当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4； 当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2． 所以M=（﹣2，2）．…

（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，

22222222

∵4（a+b）﹣（4+ab）=4（a+2ab+b）﹣（16+8ab+ab）=（a﹣4）（4﹣b）＜0， 22

∴4（a+b）＜（4+ab），

∴2|a+b|＜|4+ab|．…

【点评】本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．

20．【答案】

【解析】

解：（Ⅰ）点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）． 可得sinα=，cosα=

，∴cosα+sinα=

． =

=（1+cos2θ，sin2θ）， =2|cosθ|，因为

，

（Ⅱ）因为P（cos2θ，sin2θ），A（1，0）所以所以所以|

==2|cosθ|∈

．

，

=

|的最大值

【点评】本题考查三角函数的定义的应用，三角函数最值的求法，考查计算能力．

21．【答案】 【解析】解：（1）∵函数∴函数f（x）=2sin（2x+∴f（x）的周期T=即T=π （2）∵

=π

）．

．

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∴

∴﹣1≤sin（2x+最大值2，2x最小值﹣1，2x

， ）≤2 ==，此时 此时

，

【点评】本题简单的考察了三角函数的性质，单调性，周期性，熟练化为一个角的三角函数形式即可．

22．【答案】

【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．

DEDCBC2，则BCABDE4，∴BC2． BCBAAB1∴在RtABC中，BCAB，∴BAC30，∴BAD60，

21∴在RtABD中，ABD30，所以ADAB2．

2∴

23．【答案】

【解析】（本题满分为13分） 解：（Ⅰ）∵∵T=2，∴∴

，…

，…

=

，…

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∵，

∴， ∴，… ∴，…

当时，f（x）有最小值

，当

时，f（x）有最大值2．…

（Ⅱ）由，

所以，

所以，…

而，…

所以，…

即．…

24．【答案】（1）S12asin1a22acos （2）a23 【解析】解析：

（1）设边BCx，则ACax， 在三角形ABC中，由余弦定理得：

1x2ax22ax2cos，

所以x211a22acos，

所以S12axxsin1asin21a22acos， （2）因为S1acos1a22acos2asinasin2， 1a22acos2第 14 页，共 15 页

试题

精选高中模拟试卷

221acos1a2a， 21a22acos22a, 1a22a且当0时，cos0，S0， 21a2a当0时，cos0，S0， 21a令S0，得cos0所以当0时，面积S最大，此时0600，所以解得a23， 因为a1，则a23. 点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

2a1， 21a2第 15 页，共 15 页