高中数学数列知识点总结(经典)

高中数列知识点总结

1. 等差数列的定义与性质

定义：an1and（d为常数），ana1n1d 等差中项：x，A，y成等差数列2Axy 前n项和Sna1annna21nn12d

性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数列，Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等差数列，公差为n2d；

（3）若三个成等差数列，可设为ad，a，ad （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m1 bmT2m1（5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界

项，

an0a0，d0即：当1，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值.

an10an0当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值.

a0n1(6)项数为偶数2n的等差数列an，

有

S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1为中间两项) S偶S奇nd，

S奇S偶an. an1（7）项数为奇数2n1的等差数列an

1

，

有

S2n1(2n1)an(an为中间项)，

S奇S偶an，

S奇Sn偶n1. 2. 等比数列的定义与性质

定义：

an1q（q为常数，q0），a1ana1qn

n.等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy.

na1(q前n项和：S1)na11qn（要注意！）1q(q1)

性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则am·anap·aq （2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？

n1时，a1S1；

n2时，anSnSn1.

3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法

如：数列a111n，2a122a2……2nan2n5，求an

解 n1时，12a1215，∴a114 n2时，12a12112a2……2n1an12n15 ①—②得：1n114(n1)2nan2，∴an2，∴an2n1(n2)

［练习］数列a5n满足SnSn13an1，a14，求an

注意到aSn1n1Sn1Sn，代入得

S4又S14，∴Sn是等比数列，n；

2

①

②

Sn4n

·4n1 n2时，anSnSn1……3（2）叠乘法

an 如：数列an中，a13，n1，求an

ann1解

aa1a2a312n13，∴n又a13，∴an·……n·……a1na1a2an123nn.

（3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

a3a2f(3)n2时，两边相加得ana1f(2)f(3)……f(n)

…………anan1f(n)a2a1f(2)∴ana0f(2)f(3)……f(n) ［练习］数列an中，a11，an3（4）等比型递推公式

ancan1d（c、d为常数，c0，c1，d0）

n1an1n2，求an（

an1n312）

可转化为等比数列，设anxcan1xancan1c1x 令(c1)xd，∴xddd，∴an，c为公比的等比数列 是首项为a1c1c1c1∴anddn1dn1d，∴ a1·caacn1c1c1c1c1（5）倒数法 如：a11，an12an，求an an2由已知得：

a2111111n，∴ an12an2anan1an2111111·n1， ∴为等差数列，1，公差为，∴1n1a1an222an

3

∴an( 附：

2n1

公式法、利用

anS1(n1)SnSn1(n2)、累加法、累乘法.构造等差或等比

an1panq或an1panf(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、

换元法

)

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：an是公差为d的等差数列，求1

k1akak1n解：由

n11111d0

ak·ak1akakddakak1n11111111111……∴ ak1da1a2a2a3k1akak1k1dakanan1111 da1an1［练习］求和：1111 ……12123123……n1 an…………，Sn2n1（2）错位相减法

若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项和，可由

SnqSn，求Sn，其中q为bn的公比.

如：Sn12x3x24x3……nxn1

①

x·Snx2x23x34x4……n1xn1nxn

②

①—②1xSn1xx2……xn1nxn

4

x1时，Sn1xnxnn1x21x，x1时，Sn123……nnn12

（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

Sna1a2……an1an相加2Sna1ana2an1…a1an…

Snanan1……a2a1x2［练习］已知f(x)，则 21x1f(1)f(2)ff(3)21ff(4)321f 41x2x21x11由f(x)f2222x1x1x1x11x ∴原式f(1)f(2)1ff(3)21ff(4)3111f1113

242)

5