数学试卷
1. 若代数式A.
有意义，则a的取值范围是( )
B. C. D.
2. 下列二次根式中是最简二次根式的是( )A.
B.
C.
D.
3. 下列计算正确的是( )A. C.
4. 下列条件中，不能判断A. C.
A. 全等三角形的对应角相等C. 两条直线平行，内错角相等A. C.
，，，
，
B. D.
为直角三角形的是( )
B. AB：BC：D. B. 若
：
：
：3：4：2：3
5. 下列命题的逆命题是真命题的是( )
，则
D. 若两个实数相等，则它们的绝对值相等B. D.
，，
6. 在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
7. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的
体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈一丈
尺一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，
抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是( )
A.
尺
B.
尺
C.
，对角线
尺
D.
，若
尺
8. 如图，在菱形ABCD中，
过点C作
，垂足为E，则CE的长为( )
A. B. 7C. 14D.
第1页，共22页
9. 如图，阴影部分表示以
成的两个新月形，面积分别记作则
的周长是( )
和
的各边为直径的三个半圆所组
若
，
，
A. 26
，
B. 43C. 30D. 28
，
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边与坐标轴重合，
将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转
则第2023次旋转结束时，点B的坐标是( )
A. 11. 化简
B.
的结果是______.
C. D.
12. 小明从A地向正东方向走80m后，又向正北方向走了60m到达B处，则AB两地
相距______
13. ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点E，
______ .
且F为AB的中点，则
14. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的
对角线，点E在AC上，
，
，则
的大小是______.
15. 在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且
，；②
，CE交BD于F，下列结论：①CD平分；③
______ .：1，其中正确的是
；④CF：
16. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，
将
沿射线BD的方向平移，得到
的最小值为______ .
ED，FC，则
，
，连接EC，
第2页，共22页
17. 计算：
；
将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使18. 如图，
求证：四边形AECF是平行四边形．
19. 已知
，；
，求下列各式的值：
20. 如图，在四边形ABCD中，
平分
，过点C作
求证：BD垂直平分AC；若
，
，，对角线AC，BD交于点O，AC
交AB的延长线于点E，连接
，求OE的长.
21. 在
，
并回答问题：
的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为，
，
仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，
四边形OABC是______ 线段
，且
请从中选择：平行四边形，矩形，菱形，请在网格中画出对应线段CD；
保留画图过程的痕迹；
在线段AB上画点E，使
连接AC，画点E关于直线AC的对称点
第3页，共22页
22. 某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为
一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东
若过点P作
于点C，则PC：
海里的圆形海域内有暗礁，的方向上，当海监船行驶
方向上.
______ ；
求A，P两点之间的距离AP；
若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？请直接写出海监船由B处开始沿南偏东至多______ 的方向航行能安全通过这一海域.
23.
探究：
如图
如图，在▱ABCD中，，，垂足分别为E、F，求证：
，在▱ABCD中，AC、BD是两条对角线，则，请
探究这个结论的正确性.迁移：
如图
，AD是
的中线，若
，
，
，直接写出边长
______ .
第4页，共22页
24. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别为
，
，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB方向移动，作
，设点P的运动时间为时.
关于直线PO的对称
当
，
①矩形的顶点B的坐标是______ ；②如图
当点
落在OB上时，显然与直线BC相交于点M，且当
是直角三角形，求此时
时，
的坐标；问：当
时，
若直线
的大小是否发生变化，若不变，请说明理由.
第5页，共22页
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得，
故选：
根据二次根式有意义的条件被开方数大于或等于
解决此题．
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解决本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A选项，B选项，C选项，D选项，故选：
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键，
被开方数不含分母；
，不符合题意；
是最简二次根式，符合题意；，不符合题意；
，不符合题意；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
3.【答案】D
【解析】解：A、原式B、
与
，所以A选项的计算错误；
不能合并，所以B选项的计算错误；
，所以C选项的计算错误．，所以D选项的计算正确；
C、原式D、原式故选：
利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的乘法与除法法则是解决问题的关键．
4.【答案】B
第6页，共22页
【解析】解：A、B、因为AB：BC：
，符合勾股定理的逆定理故成立，不符合题意；：3：4，所以设
，故不为直角三角形，符合题意；
，
，
，则
C、因为意；D、因为
：
：
，，则，故为直角三角形，不符合题
：2：3，所以设
，
，则，
，，故
，故此三角形是直
，解得
角三角形，不符合题意．故选：
根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为180度进行判定即可．
此题考查了直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、全等三角形的对应角相等，逆命题是：对应角相等的三角形全等，是假命题，不符合题意；B、若
，则
，逆命题是：若
，则
，是假命题，不符合题意；
C、两条直线平行，内错角相等，逆命题是：内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；D、若两个实数相等，则它们的绝对值相等，逆命题是：若两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等，是假命题，不符合题意；故选：
根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、二次根式的性质、平行线的判定、绝对值的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.【答案】D
【解析】解；A、由不符合题意；B、由C、由D、如图，
，
，，，
，
，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；，
，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A
第7页，共22页
，
，
四边形ABCD为平行四边形，故选项D符合题意；故选：
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为根据勾股定理得：解得：
，
尺，
尺，
折断处离地面的高度为故选：
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为定理解题即可．
尺，利用勾股
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
8.【答案】A
【解析】解：连接AC交BD于O，如图所示：四边形ABCD是菱形，
，，
，
，
菱形的面积即解得：故选：
连接AC交BD于O，由菱形的性质得出
，
，
，
，
，
，
，
第8页，共22页
由勾股定理求出OA，得出AC，再由菱形面积的两种计算方法，即可求出CE的长．
本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，由菱形面积的两种计算方法得出结果是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：设由图可得，
，，，，，
，
，，，
即
，或
不合题意，舍去，，
即故选：
根据题意和图形，利用等面积法，可以得到可得到
的值，然后即可求得
的面积和的周长．
的关系，再根据勾股定理即
的周长是30，
，，
，
，
，
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】D
【解析】解：由题可知，将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转
，
每旋转4次则回到原位置，
，
第2023次旋转结束后，图形顺时针旋转了
，，
，
，
第9页，共22页
第2023次旋转结束时，点B的坐标是故选：
，
作出旋转后的图象，再根据B点的坐标即可求出旋转后点B的坐标．
本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，点的坐标，确定旋转后的位置是解此题的关键．
11.【答案】3
【解析】解：故答案为：
利用二次根式的性质“
”和积的乘方可得结果．
”是解决本题的关键．
本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质“
12.【答案】100
【解析】解：根据勾股定理得，AB两地相距故答案为：
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
，
13.【答案】2
【解析】解：
，
为AC的中点，为AB的中点，是
的中位线，
，
故答案为：
由▱ABCD的对角线AC，BD相交于点E，根据“平行四边形的对角线互相平分”得证明E为AC的中点，而F为AB的中点，
，则
，于是得到问题的答案．
，
▱ABCD的对角线AC，BD相交于点E，
此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，根据平行四边形的对角线互相平分证明E是AC的中点是解题的关键．
14.【答案】
所以
，
，
【解析】解：因为四边形ABCD是平行四边形，
第10页，共22页
因为所以所以因为所以所以所以故答案为：
，
，，，
，，
，
，
根据平行四边形的性质得到
，
形的内角和定理即可得到结论．
，，根据等腰三角形的性质得到
，由三角
，根据三角形外角的性质得到
本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
15.【答案】①②③
【解析】解：延长ED交CG的延长线于K，作
，
，
，
点D是AG的中点，
，
又
≌，，，
又
，
，
平分
，≌
，，，
，
，故①正确；
，
，
，，
，
，
于
第11页，共22页
，故②正确；
，
，
，
，
又
，，，
，
又
≌
，
设
，
，
，
，，
，故③正确，
，
故④错误，故答案为：①②③．由“ASA”可证
≌
，可得
，由等腰直角三角形的性质可证CD平分
，可求
，
，则
，
，，
，
，
，故①正确；由等腰三角形的性质可求
故②正确；分别计算出CD，DE，AE的长，即可判断④⑤，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
16.【答案】
，
，
【解析】解：连接AC，与BD交于点P，在边长为4的菱形ABCD中，
，，
，
第12页，共22页
，
由勾股定理得：
，
，
将
沿射线BD的方向平移得到
，
四边形ABCD是菱形，
，
，，
，，
，
，
，
四边形EFCD是平行四边形，
，的最小值
的最小值，
点E在过点A且平行于BD的定直线AE上，
作点D关于定直线AE的对称点M，连接CM交BG于O，
的长度即为
，
，
，M关于AH对称，
，
，，
，
，
，
，≌
，
则故答案为：根据菱形的性质得到EFCD是平行四边形，得到
，
，根据平移的性质得到
，于是得到
的最小值
，推出四边形的最小值，根
的最小值为
，
的最小值，
，
据平移的性质得到点E在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连
第13页，共22页
接CM交定直线于AE，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，解题的关键是四边形EFCD是平行四边形、作点D关于定直线AE的对称点M，将
的最小值转化为CM的长．
17.【答案】解：
；原式
原式
【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；根据二次根式的乘除法则运算即可．
18.【答案】证明：连接AC，设AC与BD交于点
四边形ABCD是平行四边形，
，
又
，
，
如图所示：
四边形AECF是平行四边形．
【解析】由四边形ABCD是平行四边形易知得出结论．
此题考查了平行四边形的性质和判定，解题时要注意选择适宜的判定方法．
，
，再证得
，即可
19.【答案】解：
原式
；原式
第14页，共22页
【解析】根据完全平方公式计算即可；
根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的分母有理化；主要根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．
20.【答案】
平分
证明：，，，，，
，
，，，
四边形ABCD是平行四边形，
，
四边形ABCD是菱形，
垂直平分AC；解：在菱形ABCD中，
，，，
根据勾股定理，得
，
解得
，，
，或
舍去，，
，，
，
【解析】
根据
，可得
，从而可得
，根据AC平分，可知
，可得
，根据
，进一步可知
，可知四边形ABCD是平行四边形，再根据
根据菱形的性质即可得证；
根据菱形的性质可知
，
，可得
，可知四边形ABCD是菱形，
，根据勾股定理，可得OB的
长，进一步可得OA的长，根据直角三角形斜边的中线的性质可得
第15页，共22页
本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，涉及角平分线的定义，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
21.【答案】菱形
【解析】解：
，
，
四边形OABC是菱形；故答案为：菱形；
如图，把CB绕C点逆时针旋转则CD为所作；
如图，先确定BD的中点P，延长CP交AB于E点，则E点为所作；
得到CD，
，
，，
，，
，
，
如图，作则F点为所作．
先通过计算得到
交OA于F点，
，于是可判断四边形OABC是菱形；
得到CD，根据旋转的性质得到
，
如图，利用网格特点把CB绕C点逆时针旋转且
；
如图，先利用网格特点确定BD的中点P，延长CP交AB于E点，由于三角形，CP平分
，则
；
，利用网格特点作
≌
，所以
为等腰直角
如图，利用菱形的性质得到
，于是可证明
对称．
，则
，所以E点与F点关于AC的
本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点
也考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和
第16页，共22页
矩形的性质．
22.【答案】
【解析】解：
：3 75
于点C，
是直角三角形，
由题可知
：
：
故答案为：
过点P作点C，由题意得，设在
海里，则中，
，
，
海里，
答：A，P之间的距离AP为
因为
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作当P到BD的距离有
，
，
，
因此，要小于
才安全通过，
的方向航行能安全通过这一海域．海里时，
，
，垂足为E，
海里；
，
，海里，
，
海里，
：3；
，交AB的延长线于，
答：海监船由B处开始沿南偏东小于故答案为：
根据正切的定义确定PC：AC的值；
通过作垂线构造直角三角形，求出小岛P到航线AB的最低距离PC，与暗礁的半径比较即可得出答案；
第17页，共22页
规划新航线BD，使小岛P到新航线的距离PE等于暗礁的半径，进而求出出
，确定方向角．
，进而求
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出小岛到航线的最短距离是得出正确答案的关键．
23.【答案】
【解析】
，，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，垂足分别为E、F，，
证明：
在和中，，
≌，
解：如图2，作交BA的延长线于点E，作，
于点F，则
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
在
和
中，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
这个结论是正确的．
如图3，延长AD到点E，使
，连接BE、CE，
，
，
第18页，共22页
是
，
的中线，
四边形ABEC是平行四边形，
，
，，
由
得
，
解得故答案为：
由平行四边形的性质得
，即可证明
作
，
交BA的延长线于点E，作
，所以
，
明
这个结论是正确的；
延长AD到点E，使
则四边形ABEC是平行四边形，由
，即可求得
，连接BE、CE，由AD是
，
，
的中线，得，得
，，所以
，所以
，
≌
，由
，得于点F，可证明
，
；
≌
，得
得
或
不符合题意，舍去，，，
，由勾股定理得
，即可证
，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、乘法公式、一元二次方程的解法、二次根式的化简等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
24.【答案】
【解析】解：
，，，
，
①
，
，，
，，
矩形的顶点B的坐标是故答案为：
；
②如图2中，四边形OABC是矩形，
，
，
第19页，共22页
由翻折可知：
，
在
中，
，
，
如图2，过点
作
，
，，
，
于点D，
，∽
，，，，
的坐标为当当
时，时，如图
，；
的大小不发生变化，理由如下：中，
，，
，
第20页，共22页
又关于直线PO的对称，
，
，
≌
，
四边形OABC是正方形，
，
，
又，
当时，如图中，
设，
，，，
，
，
，
关于直线PO的对称
，
，
，
，
，
，
当
时，
的大小不发生变化．
，
，可得
，结合
，可得矩形的顶点B
，
①根据二次根式的非负性求出的坐标是
；
②根据矩形的性质和勾股定理求出，如图2，过点作于点D，得∽
第21页，共22页
，可得如图
，求出，，可得的坐标；
中，首先证明四边形ABCD是正方形，如图中，利用全等三角形的性质，翻
折不变性即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
第22页，共22页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容