《相似三角形的判定》教案

《相似三角形的判定》教案

课标要求

1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

2．了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似；

3．了解相似三角形判定定理的证明．

教学目标

知识与技能:

1．了解相似三角形及相似比的概念;

2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论;

3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法； 4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题． 过程与方法:

类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法．

情感、态度与价值观：

发展学生的探究能力，渗透类比思想，体会特殊与一般的关系．

教学重点

掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似．

教学难点

探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题．

教学流程

一、知识迁移

类比相似多边形的相关知识回答下面的问题：

1．对应角相等 ，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 2．相似三角形的 对应角相等 ，对应边成比例．

师介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，2题可以用符号表示为 ∵△ABC∽△DEF，

∴A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F;如何判断两个三角形相似呢？ 反过来

∵A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F;∴△ABC∽△DEF．

ABACBC． DEDFEFABACBCk DEDFEF师介绍:△ABC与△DEF的相似比为k,△DEF与△ABC的相似比为追问：当k＝1，这两个三角形有怎样的关系?

1． k引出课题：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外,还有判定的简便方法（SSS，SAS,ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时,是不是也存在简便的判定方法呢？

二、探究归纳

（一)平行线分线段成比例

探究1:如图,任意画两条直线l1,l2，再画三条与l1,l2都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3,l4,l5在l1上截得的两条线段AB ,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度，相等吗？任意平移l5．

ABDE与BCEFABDE与还相等吗？ BCEF

当l3//l4//l5时, 有

ABDEBCEFABDEBCEF，,，等． BCEFABDEACDFACDF基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 迁移：将基本事实应用到三角形中，

当DE//BC时，有

ADAEBDCEADAEBDCE，，,等． BDCEADAEABACABAC结论:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

应用：如图AB//CD//EF ，AF与BE相交于点G，AG＝2,GD＝1，DF＝5，求值．

BC的CE

(二）相似三角形的判定

思考：如图1，在△ABC中，DE∥BC,且DE 分别交AB，AC于点D，E,△ADE 与△ABC 有什么关系？

图1 图2

分析：用定义证明△ADE∽△ABC,需要具备的条件：角：∠A=∠A,∠ADE=∠B，∠AED=∠C；边：

ADAEDE． ABACBCAEDE呢？ ACBC如何证明

判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似．

变式：如图2，DE∥BC，且DE 分别交BA，CA 的延长线于点D,E,△ABC 与△ADE相似吗?

符号语言： ∵DE//BC ∴△ABC∽△ADE

应用:如图,在△ABC中，DE∥BC,且AD＝3，DB＝2．写出图中的相似三角形，并指出其相似比．

探究2：任意画一个三角形，再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍．度量这两个三角形的角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下,看看是否有同样的结论．

在△ABC 与△A′B′C′中,如果满足

ABBCAC，求证:△ABC∽△A′B′C′． ABBCAC

判定三角形相似的定理一：三边成比例的两个三角形相似． 符号语言：

ABBCAC ABBCACABC∽ABC

类比：对于在△ABC 与△A′B′C′中，如果形一定相似吗？

ABAC,AA，这两个三角ABAC

判定三角形相似的定理二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言:

ABAC,AA ABACABC∽ABC

思考：对于在△ABC 与△A′B′C′中，如果定相似吗？试着画画看．

ABAC,BB，这两个三角形一ABAC

应用:例1根据下列条件，判断△ABC 和△A′B′C′是否相似,并说明理由： （1）AB=4 cm，BC=6 cm，AC=8 cm，A′B′=12 cm,B′C′=18 cm，A′C′=24 cm． （2)∠A=120°,AB=7 cm，AC=14 cm,∠A′=120°,A′B′=3 cm,A′C′=6 cm． 追问:这两个三角形的相似比是多少？

练习:判断图中的两个三角形是否相似．为什么?

探究3：观察两副三角尺，其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，它们相似吗?试着说说理由．

迁移:对于在△ABC 与△A′B′C′中,如果AA,BB,这两个三角形一定相似吗?

判定三角形相似的定理三:两角分别相等的两个三角形相似． 符号语言：

AA,BB

ABC∽ABC

应用：例2如图，Rt△ABC 中,∠C=90°，AB=10，AC=8．E 是AC 上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D．求AD 的长．

问题：根据三角形相似的条件,判定两个直角三角形相似有哪些方法呢？

思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL\"来判定．那么，满足斜边和一条直

角边成比例的两个直角三角形相似吗？

判定直角三角形相似定理:斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．

练习：如图,在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，求证：（1）△ACD∽△ABC；(2)△CBD∽△ABC．

三、应用提高

1．如图,△ABC 中，DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形．

第1题图 第2题图

2．有一块三角形的草地,它们一条边长为25m．在图纸上，这条边长为5cm,其他两条边的长都为4cm，求其他两条边的实际长度．

3．底角相等的两个等腰三角形是否相似?顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．

四、体验收获 说一说你的收获． 1．三角形相似的定义；

2．平行线分线段成比例的基本事实、推论及在三角形中的运用; 3．三角形相似的判定方法． 五、拓展提升

1．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4cm，5cm和6cm，另一个三角形框架的一边长为2cm，它的另外两条边长应当是多少?说出你的制作方案．

2．如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证△ADE∽△EFC;

六、课内检测

1．根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由：

（1）∠A=40°,AB=8 cm,AC=15 cm，∠A′=40°，A′B′=16cm ,A′C′=30 cm． （2）AB=10 cm，BC=8 cm，AC=16 cm,A′B′=16cm ,B′C′=12。8cm ，A′C′=25.6cm． 2．如果Rt△ABC 中的两条直角边分别为3和4，那么以3k和4k(k为正整数）为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC 相似吗？为什么?

七、布置作业

必做题:教材42页习题27.2第2、3、7题． 选做题:教材44页习题27。2第13题． 附：板书设计

§ 27．2．1 相似三角形的判定 一：相似三角形 二：平行线分线段成比例基本事实 1．推论 2．在三角形中的应用 三：相似三角形的判定定理 教学反思：

例题板演学生板演