2017.4
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 行列式中，元素5的代数余子式的值为 2. 设实数，若函数的最小正周期为，则 3. 已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为 4. 设向量，向量，若与夹角为钝角，则实数的取值范围为 5. 集合，集合，若，则实数 6. 设、是方程的两根，则 7. 设是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解为 8. 若变量、满足约束条件，则的最小值为 9. 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则
小明掷出的点数不
大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为 10. 设是椭圆上的动点，点的坐标为，若满足的点有且仅有两个，则实数的取值范围为 11. 已知，，当取到最小值时， 12. 设函数，当在实数范围内变化时，在圆盘内，且不在任一的图像上的点的全体组成的图形的面积为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设且，“是纯虚数”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 设等差数列的公差为，，若的前10项之和大于其前21项之和，则（ ）
A. B. C. D.
15. 如图，、是球直径的两个端点，圆是经过和点的大圆，圆和圆分别是所在平面与垂直的大圆和小圆，圆和交于点、，圆和交于点、，设、、分别表示圆上劣弧的弧长、圆上半圆弧的弧长、圆上半圆弧的弧长，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D.
16. 对于定义在上的函数，若存在正常数、，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”，在以下四个函数中：① ；② ；③ ；④ .
是“控制增长函数”的有（ ）
A. ②③ B. ③④ C. ②③④ D. ①②④
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，正方体中，，、分别是棱与的中点.（1）求异面直线和所成角的大小；
（2）求以、、、四点为四个顶点的四面体的体积.
18. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）若不等式有解，求的取值范围.
19. 如图，扇形是一块半径为2千米，圆心角为的风景区，点在弧上，现欲
在风景区中规划三条商业街道，要求街道与垂直，街道与垂直，线段表示第三条街道.
（1）如果位于弧的中点，求三条街道的总长度；
（2）由于环境的原因，三条街道、、每年能产生的经济效益分别为每千米300
万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？
（精确到1万元）
20. 设数列满足，其中、是两个确定的实数，.（1）若，求的前项之和；（2）证明：不是等比数列；
（3）若，数列中除去开始的两项之外，是否还有相等的两项？证明你的结论.
21. 设双曲线的方程为，过其右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于、
两点，直线的方程为， 、在直线上的射影分别为、.（1）当垂直于轴，时，求四边形的面积；
（2）当，的斜率为正实数，在第一象限，在第四象限时，试比较和1的大小，并说明理由；
（3）是否存在实数，使得对满足题意的任意直线，直线和直线的交点总在轴上，若存在，求出所有的的值和此时直线与交点的位置；若不存在，说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. 2. 2 3. 4. 5. 2 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
二. 选择题
13. A 14. C 15. D 16. C
三. 解答题
17.（1）；（2）.
18.（1）奇函数；（2）.19.（1）；（2）.
20.（1）；（2）反证法；（3）没有，证明时递增.21.（1）24；（2）；（3），.
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