山东大学数学分析

a12a2Lnan，其中limana. 2nn122.求极限xlimex(1)x. x一、1.求极限limn3.证明区间（0，1）和(0,)具有相同的基数（势）。 4.计算积分：D1dxdy,其中D是由x0,y1,yx所围成的区域。 y2x5.计算：ICydxxdy22,C:x2y1方向为逆时针。 22xy6.设a0,b0,证明：(a1b1a)()b. b1b[a,b]二、设f(x)为[a,b]上的有界可测函数且

[a,b]上几乎处处为零。

f2(x)dx0,证明: f(x)在

三、设f(x)在(0,)内连续且有界，试讨论f(x)在(0,)内的一致连续性。

x2y22,xy042四、设f(x,y)xy，讨论f(x,y)在原点的连续性，偏导

220,xy0数存在性及可微性。 五、设

f(x)在

(a,b)内二次可微，求证：

ab(ba)2(a,b),s..tf(b)2f()f(a)f().

24六、

f(x)在Rx上二次可导，xR,f(x)0,又

xx0R,f(x0)0,limf(x)0,limf(x)0.证明：f(x)在R上恰有

两个零点。

七、设f(x)和g(x)在[a,b]内可积，证明：对[a,b]的任意分割

1 / 2

:ax0x1x2Lxnb,i,i[xi,xi1],i0,1,2,Ln1.有

limf(i)g(i)xif(x)g(x)dx.

0i0an1b八、求级数：(1)nn01. 3n12222九、试讨论函数项级数x[n2enx(n1)2e(n1)x]在区间(0,1)和(1,)n1上的一致收敛性。

十、计算I(x2dydzy2dzdxz2dxdy),其中为圆锥曲面x2y2z2被平面z0与z2所接部分的外侧。

十一、设f(x)在[0,1]上单调增加，且f(0)0,f(1)1.证明：

[0,1],s.t.f()3.

十二、设f(x)在[0,)上连续，

n00(x)dx绝对收敛，证明：

limnxf()(x)dxf(1)(x)dx. 0n1)aninf1时，级数an收敛。 十三、设an0,证明：当下极限limnlnnn1ln(1)ansup1时，级数an发散。 当上极限limnlnnn1ln(

2 / 2