最新重庆市2019-2020年八年级下期末数学试卷含答案解析

八年级（下）期末数学试卷

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将各小题所选答案的代号填入题后的表格内. 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是（ ） A．6x2﹣8x=x（6x﹣8）

B．a2+4b2﹣4ab=（a﹣2b）2

C．8xyz﹣6x2y2

=2xyz（4﹣3xy）

D．4a2

﹣b2

=（4a﹣b）（4a+b）

2．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3．如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的相似比为（ ） A．1：16

B．1：8 C．1：4 D．1：2

4．用配方法解方程x2

﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（ ） A．（x+1）2=0

B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2

D．（x﹣1）2=2

5．下列函数中，y是x的反比例函数的为（ ） A．y=2x+1 B．

C．

D．y=2x

6．若分式的值为0，则x的值为（ ）

A．1

B．﹣1 C．0

D．±1

7．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（

A．15° B．20° C．25° D．30°

8．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（ ）

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）

A． B． C． D．

9．重庆一中初二年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式下列矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成，其中，第①个矩形的周长为6，第②个矩形的周长为10，第③个矩形的周长为16，…则第⑥个矩形的周长为（ ）

A．42 B．46 C．68 D．72

11．若关于x的方程4x2﹣（2k2+k﹣6）x+4k﹣1=0的两根互为相反数，则k的值为（ ） A．

B．﹣2 C．﹣2或 D．2或

12．如图，反比例函数y=经过Rt△ABO斜边AO的中点C，且与另一直角边AB交于点D，连接OD、CD，△ACD的面积为，则k的值为（ ）

A．4

B．5 C．6 D．7

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将每小题的正确答案填在上面表格内．

13．方程x=5x的根是 ．

14．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA= 度．

2

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15．关于x的方程kx﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是 ．

16．若点（﹣1、y1），（2、y2），（5、y3）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 （用“＜”连接）． 17．已知关于x的方程

=﹣1的根大于0，则a的取值范围是 ．

2

18．如图，已知正方形纸片ABCD，E为CB延长线上一点，F为边CD上一点，将纸片沿EF翻折，点C恰好落在AD边上的点H，连接BD，CH，CG．CH交BD于点N，EF、CG、BD恰好交于一点M．若DH=2，BG=3，则线段MN的长度为 ．

三、解答题：（本题共2小题，19题8分，20题6分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19．解方程

（1）x2+4x﹣9=0 （2）

+1=

．

20．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF，求证：AF=CE．

四、解答题：（本题共4小题，每题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推

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理步骤．

21．先化简，再求值：（a﹣

）÷

﹣a，其中a是方程x﹣x﹣3=0的解．

2

2

22．如图，已知反比例函数y=（k＜0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2． （1）求k和m的值；

（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴的交点为点C，试求出△ABC的面积．

23．某商场准备从厂家进购A、B两种商品定价后直接销售，已知A商品的进价比B商品的进价多15元，已知同样花600元进购的A商品件数是B商品的一半． （1）求A商品的进价．

（2）根据市场调查，当A商品售价为40元/件时，每月将售出A商品600件，若售价每涨2元，每月就会少售出15件A商品，该公司要每月在A商品的销售中获得10500元利润的同时，尽可能的减少A商品的库存，则每件A商品售价应定为多少元？

24．对于任意一个多位数，如果他的各位数字之和除以一个正整数n所得的余数与他自身除以这个正整数n所得余数相同，我们就称这个多位数是n的“同余数”，例如：对于多位数1345，1345÷3=448…1，且（1+3+4+5）÷3=4…1，则1345是3的“同余数”． （1）判断四位数2476是否是7的“同余数”，并说明理由．

（2）小明同学在研究“同余数”时发现，对于任意一个四位数如果是5的“同余数”，则一定满足千位、百位、十位这三位上数字之和是5的倍数．若有一个四位数，其千位上的数字是十位的上数字的两倍，百位上的数字比十位上的数字大1，并且该四位数是5的“同余数”，且余数是3，求这个四位数．

五、解答题：（本大题2个小题，每题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或

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推理步骤.

25．如图，等腰直角三角形ABC，过点A在AB左侧作AE⊥AB，并构造正方形AEDB，点F是AC上一点，且AB=AF，过点A作AG平分∠BAC，AH⊥EF，分别交EF于点G，H，连接DG． （1）若AF=2

，求CF的长．

EG．

（2）求证：DG+AG=

（3）如图，在等腰直角三角形ABC中，若过点A在AB右侧作AN⊥AB，AM⊥CN，连接BM，直接写出

的值．

26．如图，在平面直角坐标系中，直线lAB：y=﹣x+相垂直且交于点A（数y=﹣

与x轴交于点B，且与过原点的直线lOA互

，m），正方形CDEF的其中一个顶点C与原点重合，另一顶点E在反比例函

上，正方形CDEF从现在位置出发，在射线OB上以每秒1个单位长度的速度向右平移，

运动时间为t．

（1）当D落在线段AO上时t= ，当D落在线段AB上时t= ．

（2）记△ABO与正方形CDEF重叠面积为S，当0≤t≤7时，请直接写出S与t的函数关系式以及t的取值范围．

（3）在正方形CDEF从图1位置开始向右移动的同时，另一动点P在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从B点运动到A点，当0≤t≤8时，请求出使得△CAP是以AC为腰的等腰三角形的t的值．

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2015-2016学年重庆一中八年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将各小题所选答案的代号填入题后的表格内. 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是（ ） A．6x2﹣8x=x（6x﹣8）

B．a2+4b2﹣4ab=（a﹣2b）2

D．4a2﹣b2=（4a﹣b）（4a+b）

C．8xyz﹣6x2y2=2xyz（4﹣3xy）

【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】探究型．

【分析】把各个选项中的式子因式分解然后对照，即可得到哪个选项是正确的． 【解答】解：6x2﹣8x=2x（3x﹣4），故选项A错误； a+4b﹣4ab=（a﹣2b），故选项B正确； 8xyz﹣6x2y2=2xy（4z﹣3xy），故选项C错误； 4a﹣b=（2a+b）（2a﹣b），故选项D错误； 故选B．

【点评】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是明确因式分解的方法．

2．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

2

2

2

2

2

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．

【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；

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D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误． 故选B．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念即可，属于基础题．

3．如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的相似比为（ ） A．1：16

B．1：8 C．1：4 D．1：2

【考点】相似三角形的性质．

【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到它们的相似比=【解答】解：∵两个相似三角形面积的比为1：4， ∴它们的相似比=故选D．

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．

4．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（ ） A．（x+1）2=0

B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2

D．（x﹣1）2=2

=．

，然后化简即可．

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方． 【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1 配方得（x﹣1）=2． 故选D．

【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

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2

5．下列函数中，y是x的反比例函数的为（ ） A．y=2x+1 B．

C．

D．y=2x

【考点】反比例函数的定义．

【分析】根据反比例函数的定义和一次函数的定义对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故本选项错误； B、自变量x的指数是2，不是反比例函数，故本选项错误； C、y是x的反比例函数，故本选项正确； D、y=2x是正比例函数，故本选项错误． 故选C．

【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟记一般式y=（k≠0）是解题的关键． 6．若分式A．1

的值为0，则x的值为（ ）

D．±1

B．﹣1 C．0

【考点】分式的混合运算；分式的值为零的条件．

【分析】根据分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可，据此可以解答本题即可． 【解答】解：∵

=0，

∴

∵x﹣1≠0， ∴x+1=0， ∴x=﹣1； 故选B．

=0，

【点评】此题考查了分式的值为0的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．

7．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）

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A．15° B．20° C．25° D．30° 【考点】旋转的性质． 【专题】压轴题．

【分析】先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF的度数，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA的度数．

【解答】解：∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF， ∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF， ∴∠OFA=（180°﹣130°）÷2=25°． 故选：C．

【点评】考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．同时考查了正方形的性质和等腰三角形的性质．

8．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象． 【专题】数形结合．

【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．

【解答】解：A、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确； B、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，故B选项错误； C、由函数y=的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，故C选项错误； D、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误． 故选：A．

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【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

9．重庆一中初二年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（2014•重庆校级模拟）下列矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成，其中，第①个矩形的周长为6，第②个矩形的周长为10，第③个矩形的周长为16，…则第⑥个矩形的周长为（ ）

A．42 B．46 C．68 D．72 【考点】规律型：图形的变化类． 【专题】压轴题．

【分析】观察图形发现规律，用穷举法写出结果即可． 【解答】解：观察图形得：

第①个矩形的周长为：2×（1+2）=2×3=6； 第②个矩形的周长为：2×（2+3）=2×5=10； 第③个矩形的周长为：2×（3+5）=2×8=16； 第④个矩形的周长为：2×（5+8）=2×13=26； 第⑤个矩形的周长为：2×（8+13）=2×21=42； 第⑥个矩形的周长为：2×（13+21）=2×34=68； 故选C．

【点评】本题考查了图形的变化类问题，解答此类题目可以采用穷举法和通项公式法．

11．若关于x的方程4x2﹣（2k2+k﹣6）x+4k﹣1=0的两根互为相反数，则k的值为（ ） A．

B．﹣2 C．﹣2或 D．2或

【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系得到2k2+k﹣6=0，解得k的值，然后根据根的判别式确定满足条件的k的值．

【解答】解：根据题意得2k2+k﹣6=0，

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解得k=﹣2或，

当k=时，原方程变形为4x+5=0，△=0﹣4×4×5＜0，此方程没有实数解， 所以k的值为﹣2． 故选B．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

12．如图，反比例函数y=经过Rt△ABO斜边AO的中点C，且与另一直角边AB交于点D，连接OD、CD，△ACD的面积为，则k的值为（ ）

2

2

A．4 B．5 C．6 D．7

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【分析】设点A的坐标为（m，n），则点C（m， n），点B（m，0），由点C在反比例函数图象上即可得出k=mn，由此即可找出点D的坐标，再结合△ACD的面积为，可求出S△AOB=mn=12，将mn当成整体即可求出k值．

【解答】解：设点A的坐标为（m，n），则点C（m， n），点B（m，0）， ∵反比例函数y=经过点C， ∴k=m×n=mn，

∵点D在反比例函数y=的图象上， ∴点D（m， n）， ∵△ACD的面积为，

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∴S△AOB=mn=S△ACD=12， ∴k=mn=6． 故选C．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，解题的关键是找出mn的值．本题属于中档题，解决该题时，设出点A的坐标，用点A的坐标去表示其它点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出k是关键．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将每小题的正确答案填在上面表格内．

13．方程x2=5x的根是 x1=0，x2=5 ． 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【专题】计算题．

【分析】先把方程变形为x﹣5x=0，把方程左边因式分解得x（x﹣5）=0，则有x=0或x﹣5=0，然后解一元一次方程即可． 【解答】解：x﹣5x=0， ∴x（x﹣5）=0， ∴x=0或x﹣5=0， ∴x1=0，x2=5． 故答案为x1=0，x2=5．

【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后把方程左边因式分解，这样就把方程转化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．

14．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA= 25 度．

2

2

第12页（共30页）

【考点】菱形的性质． 【专题】计算题．

【分析】根据∠BAD和菱形邻角和为180°的性质可以求∠ABC的值，根据菱形对角线即角平分线的性质可以求得∠ABO的值，又由BE=BO可得∠BEO=∠BOE，根据∠BOE和菱形对角线互相垂直的性质可以求得∠EOA的大小．

【解答】解：∵∠BAD=80°，菱形邻角和为180° ∴∠ABC=100°， ∵菱形对角线即角平分线 ∴∠ABO=50°， ∵BE=BO ∴∠BEO=∠BOE=∵菱形对角线互相垂直 ∴∠AOB=90°，

∴∠AOE=90°﹣65°=25°， 故答案为 25．

【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分且平分一组对角的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中正确的计算∠BEO=∠BOE=65°是解题的关键．

15．关于x的方程kx﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣6 ． 【考点】根的判别式；一元一次方程的解．

【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．

【解答】解：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣， 当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程， 根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0， 解得k≥﹣6，k≠0， 综上k≥﹣6， 故答案为k≥﹣6．

第13页（共30页）

2

=65°，

【点评】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．

16．若点（﹣1、y1），（2、y2），（5、y3）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 y2＜y3＜y1 （用“＜”连接）． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据点在反比例函数图象上可用含k的代数式表示出y1、y2、y3的值，再根据k＜0，即可得出结论．

【解答】解：∵点（﹣1、y1），（2、y2），（5、y3）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上， ∴y1=﹣k，y2=，y3=， ∵k＜0，

∴＜＜0＜﹣k， 即y2＜y3＜y1． 故答案为：y2＜y3＜y1．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是用含k的代数式表示出y1、y2、y3的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点在反比例函数图象上，找出点的横纵坐标之间的关系是关键．

17．已知关于x的方程【考点】分式方程的解． 【专题】计算题．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，令其解大于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围． 【解答】解：分式方程去分母得：x+a=﹣x+2， 解得：x=根据题意得：

，

＞0且

≠2，

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=﹣1的根大于0，则a的取值范围是 a＜2且a≠﹣2 ．

解得：a＜2，a≠﹣2． 故答案为：a＜2，a≠﹣2．

【点评】此题考查了分式方程的解，弄清题意是解本题的关键．

18．如图，已知正方形纸片ABCD，E为CB延长线上一点，F为边CD上一点，将纸片沿EF翻折，点C恰好落在AD边上的点H，连接BD，CH，CG．CH交BD于点N，EF、CG、BD恰好交于一点M．若DH=2，BG=3，则线段MN的长度为

．

【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．

【分析】作CP⊥HG于P，首先证明DH=HP，GP=BG，推出GH=5，设正方形边长为a，在Rt△AHG中利用勾股定理求出a，再由BG∥CD，得即可解决问题．

【解答】解：作CP⊥HG于P，

=

==，由DH∥CB，得

=

=，分别求出BM、DN

∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=BC，AD∥BC，∠CDA=90°， ∴∠DHC=∠HCE，

由翻折性质可知，∠ECH=∠EHC， ∴∠DHC=∠CHE， ∵CD⊥HD，CP⊥HE， ∴CP=CD=BC，

第15页（共30页）

∴△CHD≌△CHP，△CGP≌△CGB， ∴DH=HP=2，PG=GB=3， ∴HG=2+3=5，

设正方形边长为a，在Rt△AHG中，∵HG=AH+AG， ∴5=（a﹣2）+（a﹣3）， ∴a=6或﹣1（舍弃）， ∴CD=BC=6，BD=6∵BG∥CD， ∴

=

==， ，

，

2

2

2

2

2

2

∴BM=2

∵DH∥CB， ∴

=

=， ，

．

∴DN=

∴MN=BD﹣DN﹣BM=故答案为

．

【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题：（本题共2小题，19题8分，20题6分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19．解方程

（1）x2+4x﹣9=0 （2）

+1=

．

【考点】解分式方程；解一元二次方程-配方法．

【专题】计算题；一次方程（组）及应用；分式方程及应用． 【分析】（1）方程移项配方后，开方即可求出解；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的

第16页（共30页）

解．

【解答】解：（1）方程移项得：x2+4x=9， 配方得：x2+4x+4=13，即（x+2）2=13， 开方得：x+2=±解得：x1=﹣2+

， ，x2=﹣2﹣

；

（2）去分母得：2+2x﹣2=﹣1， 解得：x=﹣，

经检验x=﹣是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

20．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF，求证：AF=CE．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【专题】证明题．

【分析】先证∠ACB=∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出CE=AF． 【解答】证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC， ∴∠ACB=∠CAD． 又BE∥DF， ∴∠BEC=∠DFA， ∴△BEC≌△DFA， ∴CE=AF．

【点评】本题利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．

四、解答题：（本题共4小题，每题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．

21．先化简，再求值：（a﹣

）÷

﹣a2，其中a是方程x2﹣x﹣3=0的解．

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【考点】分式的化简求值． 【专题】探究型．

【分析】先对原式化简，再根据a是方程x2﹣x﹣3=0的解，可以求得出a的值，代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：（a﹣

）÷

﹣a2

=

=﹣a

2

==a﹣a，

2

﹣a

2

∵x2﹣x﹣3=0， 解得，x=

∵a是方程x2﹣x﹣3=0的解， ∴a=∴当a=当a=

， 时，原式=时，原式=

=﹣3， =﹣3，

=

，

即原式=﹣3．

【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法．

22．如图，已知反比例函数y=（k＜0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2． （1）求k和m的值；

（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴的交点为点C，试求出△ABC的面积．

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【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）根据题意，利用点A的横坐标和△AOB的面积，可得出k的值以及得出m的值； （2）将A点的坐标代入直线方程中，可得出a的值，即得直线方程，令y=0，可得出C的坐标，即可得出BC的长，又△ABC的底边BC对应的高为点A的纵坐标，利用三角形的面积公式即可得出△ABC的面积．

【解答】解：（1）∵△AOB的面积为2，k＜0， ∴k=﹣4， 则m=

（2）由（1）得：A（﹣2，2）， 故2=﹣2a+1， 解得：a=﹣， 则y=﹣x+1， 当y=0，解得：x=2， 故BC=2+2=4，

则△ABC的面积为：×2×4=4．

【点评】本题主要考查了反比例函数解析式的确定以及和一次函数的综合应用，正确得出A点坐标是解题关键．

23．某商场准备从厂家进购A、B两种商品定价后直接销售，已知A商品的进价比B商品的进价多15元，已知同样花600元进购的A商品件数是B商品的一半． （1）求A商品的进价．

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=2；

（2）根据市场调查，当A商品售价为40元/件时，每月将售出A商品600件，若售价每涨2元，每月就会少售出15件A商品，该公司要每月在A商品的销售中获得10500元利润的同时，尽可能的减少A商品的库存，则每件A商品售价应定为多少元？ 【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．

【分析】（1）设A商品的进价为x元/件，则B商品的进价为（x﹣15）元/件，由同样花600元进购的A商品件数是B商品的一半可列出关于x的分式方程，解方程即可得出结论； （2）设每件A商品售价为m（m＞40，且m为偶数）元，则每月的销售量为（600﹣

×15）件，

由总利润=单件利润×销售数量即可列出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值，取其中较小的数，此题得解．

【解答】解：（1）设A商品的进价为x元/件，则B商品的进价为（x﹣15）元/件， 依题意得：解得：x=30， 经检验x=30是方程

=•

的解．

=•

，

答：A商品的进价为30元/件．

（2）设每件A商品售价为m（m＞40，且m为偶数）元，则每月的销售量为（600﹣依题意得：（m﹣30）×（600﹣解得：m=50，或m=100， ∵尽可能的减少A商品的库存， 故：每件A商品售价应定为50元．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出分式方程；（2）根据数量关系列出一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．

24．（10分）（2016春•重庆校级期末）对于任意一个多位数，如果他的各位数字之和除以一个正整数n所得的余数与他自身除以这个正整数n所得余数相同，我们就称这个多位数是n的“同余数”，例如：对于多位数1345，1345÷3=448…1，且（1+3+4+5）÷3=4…1，则1345是3的“同余数”．

（1）判断四位数2476是否是7的“同余数”，并说明理由．

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×15）件，

×15）=10500，

（2）小明同学在研究“同余数”时发现，对于任意一个四位数如果是5的“同余数”，则一定满足千位、百位、十位这三位上数字之和是5的倍数．若有一个四位数，其千位上的数字是十位的上数字的两倍，百位上的数字比十位上的数字大1，并且该四位数是5的“同余数”，且余数是3，求这个四位数．

【考点】因式分解的应用．

【分析】（1）用2476除以7找出其余数，再将2476各数字相加除以7找出其余数，比较后即可得出结论； （2）设该四位数为

（a、b、c、d均为非0的一位正整数），根据各位数字之间的关系可列出

关于a、b、c、d的四元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）2476是7的“同余数”，理由如下： ∵2476÷7=353…5，（2+4+7+6）÷7=2…5， ∴2476是7的“同余数”． （2）设该四位数为

（a、b、c、d均为非0的一位正整数），

根据题意得：或，

解得：或，

∴该四位数为2213或2218．

【点评】本题考查了因式分解的应用，读懂题意弄明白“同余数”的概念是解题的关键．

五、解答题：（本大题2个小题，每题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

25．（12分）（2016春•重庆校级期末）如图，等腰直角三角形ABC，过点A在AB左侧作AE⊥AB，并构造正方形AEDB，点F是AC上一点，且AB=AF，过点A作AG平分∠BAC，AH⊥EF，分别交EF于点G，H，连接DG． （1）若AF=2

，求CF的长．

EG．

（2）求证：DG+AG=

（3）如图，在等腰直角三角形ABC中，若过点A在AB右侧作AN⊥AB，AM⊥CN，连接BM，直接写出

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的值．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据勾股定理得出AC的长度，再根据边与边之间的关系即可得出结论；

（2）过点D作DM⊥EF于点M，利用相等的边角关系证出△DEM≌△EAH（AAS），由此即可得出DM=EH，EM=AH，再通过角的计算找出△AHG、△DMG均为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边与直角边的关系即可证出DG+AG=

EG；

（3）以AC为直径作圆，延长MN到Q，使得MQ=AM，连接AQ，根据∠AMC=∠ABC=90°，可得出点B、M在圆上，根据圆周角定理即可得出∠AMB=∠ACB=45°，由∠AMN=90°，AM=MQ可得出△AMQ为等腰直角三角形，进而得出∠AQM=45°=∠AMB，再通过角的计算得出∠BAM=∠CAQ，由此即可得出△BAM∽△CAQ，根据相似三角形的性质即可得出

=

．

，

【解答】（1）解：∵等腰直角三角形ABC中，AB=AF=2∴AC=

=4，

；

∴CF=AC﹣AF=4﹣2

（2）证明：如图1，过点D作DM⊥EF于点M， 则∠EDM+∠DEM=90°， ∵∠DEM+∠AEH=90°， ∴∠EDM=∠AEH， ∵AH⊥EF，

∴∠AHE=∠DME=90°，∠FAH=∠EAF=×（90°+45°）=67.5°， 在△DEM和△EAH中，

，

∴△DEM≌△EAH（AAS）， ∴DM=EH，EM=AH，

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∵AG平分∠BAC，

∴∠FAG=∠BAC=22.5°， ∴∠HAG=∠FAH﹣∠FAG=45°， ∴△AHG是等腰直角三角形， ∴AH=HG，AG=∴EM=HG， ∴EH=GM， ∴DM=MG，

即△DMG是等腰直角三角形， ∴DG=

MG， GM+

EM=

（GM+EM）=

EG；

AH=

EM，

∴DG+AG=

（3）解：如图2，以AC为直径作圆，延长MN到Q，使得MQ=AM，连接AQ． ∵AM⊥CN，△ABC为等腰直角三角形， ∴∠AMC=∠AMN=90°，∠ABC=90°， ∴点B、M在圆上， ∴∠AMB=∠ACB=45°． ∵∠AMN=90°，AM=MQ， ∴△AMQ为等腰直角三角形， ∴∠AQM=45°=∠AMB．

又∵∠BAM=∠BAC+∠CAM=45°+∠CAM，∠CAQ=∠CAM+∠MAQ=∠CAM+45°， ∴∠BAM=∠CAQ， ∴△BAM∽△CAQ， ∴

=

．

∵CQ=CM+MQ=CM+AM， ∴

=

．

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【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据勾股定理算出AC的长度；（2）根据等腰直角三角形的性质找出DG+AG=

GM+

EM=

（GM+EM）=

EG；（3）根据相似三角形的性质找出比例关系式．本题属于

难题，考到较多的知识点，解决该题型题目时，构建等腰直角三角形以及圆，利用等腰直角三角形的性质找出边与边的关系以及利用圆周角定理找出相等的角是关键．

26．如图，在平面直角坐标系中，直线lAB：y=﹣x+相垂直且交于点A（数y=﹣

与x轴交于点B，且与过原点的直线lOA互

，m），正方形CDEF的其中一个顶点C与原点重合，另一顶点E在反比例函

上，正方形CDEF从现在位置出发，在射线OB上以每秒1个单位长度的速度向右平移，

运动时间为t．

（1）当D落在线段AO上时t= 3 ，当D落在线段AB上时t=

．

（2）记△ABO与正方形CDEF重叠面积为S，当0≤t≤7时，请直接写出S与t的函数关系式以及t的取值范围．

（3）在正方形CDEF从图1位置开始向右移动的同时，另一动点P在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从B点运动到A点，当0≤t≤8时，请求出使得△CAP是以AC为腰的等腰三角形的t的值．

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【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）先求点A的坐标，并求直线lOA的解析式；根据正方形CDEF的一点E在反比例函数y=﹣

上，则边长为4，平移得，点D的纵坐标总是4，横坐标为其速度t，因此点D在哪条直线上，

就代入哪个解析式即可；

（2）分三种情况讨论：①当0≤t≤3时，如图2，重叠面积为△OCG的面积，利用面积公式求得；②当3＜t≤③当

时，如图3，过G作GM⊥x轴于M，重叠面积为正方形CDEF面积减去△EGH的面积；

＜t≤7，如图4，重叠面积S=16﹣S△EGH﹣S△DMN；

（3）如图5，先求点P的坐标，分两种情况：如图6，当|AC|=|AP|时，根据图形构建两个直角三角形，利用勾股定理列方程解出t的值；如图7，当|AC|=|PC|时，同理可得t的值． 【解答】解：（1）当x=∴A（

，

），

时，y=﹣×

+

=

，

设lOA的解析式为：y=kx， 把A（k=，

∴lOA的解析式为：y=x，

由正方形CDEF的一点E在反比例函数y=﹣则正方形边长为4， 设D（t，4），

上，

，

）代入得：

=

k，

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当D落在线段AO上时，4=t，t=3， 当D落在线段AB上时，4=﹣t+故答案为：3，

；

，t=

，

（2）①当0≤t≤3时，如图2， ∵OC=t，则CG=t，

∴S=CG•OC=×t×=t， ②当3＜t≤∴tan∠GOM=

时，如图3，过G作GM⊥x轴于M，则tan∠GOM=，OF=t﹣4， ，

∴FH=（t﹣4）， ∴EH=4﹣（t﹣4）， ∵EG=FM=3﹣（t﹣4）=7﹣t，

∴S=16﹣S△EGH=16﹣×EH×EG=16﹣ [4﹣（t﹣4）]（7﹣t）=﹣t+③当

＜t≤7，如图4，

=0，x=10，

，

，BQ=10﹣

=

，

2

t﹣；

当y=0，﹣ x+∵HM=

﹣3=，DM=OC﹣OQ=t﹣

过M作MQ⊥x轴于Q，则MQ=4，OQ=

∴tan∠MBQ=∵ED∥FC，

==，

∴∠DMN=∠MBQ， ∴tan∠DMN=， ∴

=，

），

∴ND=（t﹣

∴S=16﹣S△EGH﹣S△DMN，

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=﹣t+=﹣

+

2

t﹣t﹣

﹣（t﹣

；

），

（3）如图5，过P作PQ⊥x轴于Q， 由（2）得：tan∠PBQ=， ∵BP=t， ∴PQ=

，BQ=

，

， ），

∴OQ=OB﹣BQ=10﹣∴P（10﹣

，

如图6，当|AC|=|AP|时，过A作AG⊥x轴，过P作PH⊥x轴，作PQ⊥x轴，垂足分别为G、H、Q， 在Rt△ACG和Rt△AHP中，得 解得：t=

，

=

，

如图7，当|AC|=|PC|时，同理构建Rt△ACG和Rt△PCQ， 得：

解得：t1=8（舍）或t2=

=，

或

．

，

综上所述：使得△CAP是以AC为腰的等腰三角形的t的值为

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【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式；对于求两图形重叠部分的面积，要先确定其特殊位置时t的值，弄清运动过程中形成的重叠部分图形的形状分几类，从而确定分几种情况进行讨论；再求t的值时，与方程相结合，利用勾股定理列方程．

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