空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算

一．知识回顾：

（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.

①令a=(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)，则

ab(a1b1,a2b2,a3b3)

a(a1,a2,a3)(R)aba1b1a2b2a3b3 a∥

ba1b1,a2b2,a3b3(R)

a1a2a3b1b2b3

aba1b1a2b2a3b30

aaaa12a22a32

(用到常用的向量模与向量之间的转化：a2aaaaa)

abcosa,b|a||b|a1b1a2b2a3b322222a1a2a3b12b2b3

②空间两点的距离公式：

d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

.

（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一

|ABn|条射线，其中A，则点B到平面的距离为

|n|. ②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角l中平面,的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，

n1,n2反方，则为其夹角）.

③证直线和平面平行定理：已知直线a平面，ABa,CD，且CDE三点不共线，

ABCDCE则a∥的充要条件是存在有序实数对使ABCDCE（常设.求解,若,存在即证毕，若,不存在，则直线AB与平面相交）.

An▲BBCA▲n1CDEn2