作业题341质量为2kg的质点的运动学方程为单位米秒

3.4.1 质量为2kg的质点的运动学方程为

ˆ(3t23t1)ˆ， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向r(6t21)ij（单位：米，秒）

大小。

22ˆˆˆ12ˆ解：∵adr/dt12i6j, Fma24ij 为一与时间无关的恒矢量，∴

质点受恒力而运动。

F=(242+122)1/2=125N，力与x轴之间夹角为：

arctgFy/Fxarctg0.52634'

3.4.4 桌面上叠放着两块木板，质量各为m1 ,m2,如图所示，m2和桌面间的摩擦系数为μ2，m1和m2间的摩擦系数为μ1，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。

m1

m2

解：以地为参考系，隔离m1、m2，其受力与运动情况如图所示，

y N1 N2 f2 f1' aa1 2 F x f1 N1'

m2g m1g

其中，N1'=N1,f1'=f1=μ1N1,f2=μ2N2，选图示坐标系o-xy，对m1,m2分别应用牛顿二定律，有

1N1m1a1F1N12N2m2a2 a11gN1m1g0N2N1m2g0 解方程组，得

a2F1m1g2m1g2m2g/m2

要把木板从下面抽出来，必须满足a2a1，即

F1m1g2m1g2m2gm21gF12m1m2g

3.4.5 质量为m2的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为α,质量为m1的运动员与斜面之间亦无摩擦，求运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。

x' y 解：

m1 N2 N1 a2 x m2 a' f*=m1a2 α α y' α N1'=N1 α m2g m1g 1

以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系（非惯性系，设斜面相对地的加速度为a2），取m1为研究对象，其受力及运动情况如左图所示，其中N1为斜面对人的支撑力，f*为惯性力，a'即人对斜面的加速度，方向显然沿斜面向下，选如图所示的坐标系o'-x'y',应用牛顿第二定律建立方程：

N1m1gcosm1a2sin0(1)m1gsinm1a2cosm1a'(2)

再以地为参考系，取m2为研究对象，其受力及运动情况如右图所示，选图示坐标o-xy,

应用牛顿第二定律建立方程：

N1sinm2a2(3) （1）、（2）、（3）联立，即可求得：N2m2gN1cos0(4)Nm1m2)sin1m1m2cosm2ga'(2m1sinmm2g 21sin

3.4.11棒球质量为0.14kg，用棒击棒球的力随时间的变化如图所示，设棒球被击前后速度增量大小为70m/s，求力的最大值，打击时，不计重力。

解：由F—t图可知：

当0t0.05时，Ft0.05FmaxFF(N) max 当0.05t0.08时，F0.08t0.03Fmax

[斜截式方程y=kx+b，两点式方程 0 0.05 0.08 t(s) (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)]

0.080.050.08由动量定理：mvFdtFmax0.05tdtFmax0.030.08t)dt000.(05

可求得Fmax = 245N

3.4.13抛物线形弯管的表面光滑，沿铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y=ax2，a为正常数，小环套于弯管上。⑴弯管角速度多大，小环可在管上任一位置相对弯管静止？⑵若为圆形光滑弯管，情况如何？

解：以固定底座为参考系，设弯管的角速度为ω，小环受力及

y 运动情况如图示：α为小环处切线与x轴夹角，压力N与切线垂直，ω 加速度大小a=ω2x，方向垂直指向y轴。

N 在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式： a α Ncos(90)Nsinm2x①mg x Nsin(90)Ncosmg②

①/②得：tgα=ω2x/g ③；由数学知识：tgα=dy/dx=2ax； 所以，2ax2x/g,22ag,2ag

若弯管为半径为R的圆形，圆方程为：x2 + (R-y)2 = R2，即

2

(Ry)2R2x2,Ry(R2x2)1/2,yR(R2x2)1/2tgdy/dx(Rx)1222221/2(2x)x/Rx22

代入③中，得：x/Rxx/g,2g/R2x2

3.4.14北京设有供实验用的高速列车环形铁路，回转半径为9km，将要建设的京沪列车时速250km/h，若在环路上作此项列车实验且欲使铁轨不受侧压力，外轨应比内轨高多少？设轨距1.435m.

解：以地为参考系，把车厢视为质点，受力及运动情况如图示：

y 车厢速度v=250km/h=69.4m/s，加速度a=v2/R；设轨矩为l，外轨比内轨高h, 有cosx α N a mg l α h l2h2/l,sinh/l

选图示坐标o-xy，对车箱应用牛顿第二定律：

NcosNl2h2/lmg①，NsinNh/lmv2/R② ①/②得：l2h2/hgR/v2，两边平方并整理，可求得h：

hv2l/v4g2R269.421.435/69.449.8290002 0.0782m7.8cm

3.4.15汽车质量为1.2×10kN，在半径为100m的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15°，沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为s=0.5t3+20t (m)，自t=5s开始匀速运动，问公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？

解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示： v=ds/dt=1.5t2+20，v| t=5 =1.5×52+20=57.5m/s，an=v2/R=57.52/100=33

x 设摩擦力f方向指向外侧，取图示坐标o-xy，应用牛顿第二定律： α f NcosfsinmgN α Ncosmgfsin①an mg y

NsinfcosmanNsinmanfcos②α=15°

②/①得：tg(manfcos)/(mgfsin)

mgtgfsintgmanfcos,fm(gtgan)

cossintggtgan9.8tg153330.430,f0，说明摩擦力方向与我们事先假设方

向相反，指向内侧。

3.4.20 圆柱A重500N，半径RA=0.30m，圆柱B重1000N,半径RB=0.50m，都放置在宽度L=1.20m的槽内，各接触点都是光滑的，求A、B间的压力及A、B柱与槽壁和槽底间

3

的压力。 NAB A NA y

A α AB=RA+RB=0.8 NB' α B α

o x C mAg NB NBA B

α CB=L-RA-RB=0.4

L mBg

解：隔离A、B,其受力情况如图所示，选图示坐标，运用质点平衡方程，有

(!)NANABsin0(3)NABsinNB0N'mgNcos0(2)mAg0(4)BABBNABcos 通过对△ABC的

分析，可知，sinα=0.4/0.8=0.5 ∴α=30º, cosα=3/2,分别代入（1）、（2）、（3）、（4）中，即可求得：

NB = 288.5 N , NB'= 1500 N , NA = 288.5 N , NAB = 577 N.

3.5.2 升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为m1,m2且m1≠m2,若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a（方向向下）运动时，两物体的加速度各是多少？绳内的张力是多少？

m1 m2

解：以升降机为参考系,隔离m1,m2,受力及运动情况如图示,T为绳中张力，f1*=m1a,f2*=m2a, a1'=a2'=a'为m1、m2相对升降机的加速度.

以向下为正方向，由牛顿二定律，有：

(m1m2)a(m2m1)ga'm1gTm1am1a'm1m2解得： mgTmama'222T2mm(ga)/(mm)1212设m1、m2的加速度分别为a1、a2，根据相对运动的加速度公式，

a1a1'aa2a2'a 写成标量式：a1a'a,a2a'a，将a’代入，求得：

2m2a(m2m1)ga1m1m2 2ma(mm)g121a2m1m2)

3.5.3图示为柳比莫夫摆，框架上悬挂小球，将摆移开平衡位置而后放手，小球随即摆动起来。⑴当小球摆至最高位置时，释放框架使它沿轨道自由下落，如图a，问框架自由下

4

落时，摆锤相对于框架如何运动？⑵当小球摆至平衡位置时，释放框架，如图b，小球相对框架如何运动？小球质量比框架小得多。

解：以框架为参考系，小球在两种情况下的受力如图所示：设小球质量为m, 框架相对地自由落体的加速度为g，因此小球所受的惯性力f*=mg，方向向上，小球所受重力W=mg. 在两种情况下，对小球分别应用牛顿第二定律：

a b ⑴小球摆至最高位置时释放框架,小球相对框架速度v=0，所以

ˆ n法向加速度an=v2/l=0（l为摆长）；由于切向合力Fτ=Wsinθ-f*sinnˆ f* T θ=0，所以切向加速度aτ=0. 小球相对框架的速度为零，加速度为

f* T 零，因此小球相对框架静止。 ˆ

θ ⑵小球摆至平衡位置时释放框架，小球相对框架的速度不为零，ˆ W W

法向加速度an=v2/l≠0，T=man ；在切向方向小球不受外力作用，

所以切向加速度aτ=0，因此，小球速度的大小不变，即小球在拉力T的作用下相对框架做匀速圆周运动。

3.6.4 棒球质量为0.14kg,棒球沿水平方向以速率50m/s投来，经棒击球后，球沿水平成30º飞出，速率为80m/s，球与棒接触时间为0.02s，求棒击球的平均力。

v

解：以地为参考系，把球视为质点， 30º v0 由动量定理，Ftmvmv0，画出矢

量图，由余弦定理，代入数据，可求得F=881N.Ft(m2v2m2v02m2v0vcos30)1/2，由正弦定理 mv FΔt mv/sinFt/sin30，代入数据， 30º α 2,1832' mv0 求得sin0.3179

3.7.1 质量为1500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s,问缆绳作用与

驳船的平均力有多大？（分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解）

x 解：（1）用质点系动量定理解：

m1 以岸为参考系，把车、船当作质点 F m2 系，该系在水平方向只受缆绳的拉 力F的作用， 应用质点系动量定

理，有FΔt=m1v∴F=m1v/Δt=1500×5/5=1500N

（2）用质心运动定理解：F=(m1+m2)ac ,据质心定义式，有： (m1+m2)ac=m1a1+m2a2 ， a1为车对岸的加速度，a1=(v-0)/Δt=v/Δt， a2为船对地的加速度，据题意a2=0，∴ac=a1m1/(m1+m2)，代入a1， ac=m1v/[(m1+m2)Δt] ，∴F=m1v/Δt=1500N

（3）用牛顿定律解： a2=0 a1

分别分析车、船两个质点的 F f f

m2 m1 受力与运动情况：其中f为

静摩擦力，a1=v/Δt，对两个质点分别应用牛顿二定律：

fm1a1m1v/t1500N

Ff0Ff1500N

5

3.7.3气球下悬软梯，总质量为M，软梯上站一质量为m的人，共同在气球所受浮力F作用下加速上升，当人以相对于软梯的加速度am上升时，气球的加速度如何？

解：由质心定理：F- (m+M)g = (m+M)aC ①

设人相对地的加速度为a1，气球相对地的加速度为a2，由相对运动公式：x a1=am+a2，由质心定义式可知：

（m+M）aC = ma1+Ma2=m(am+a2)+Ma2 ②

①②联立，可求得：a2

3.7.5 70kg重的人和210kg重的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头匀速走了3.2m停下来，问人向哪个方向运动，移动了几米？不计船所受的阻力。

解：以地为参考系，选图示坐标o-x,设人的质量为m1=70kgm1 ，

x 人相对地的速度为v1，相对船的速度为v1’，它们的方向显然与x

轴同向；设船的质量为m2=210kg，船相对地的速度为v2，（方向

m2 显然与x轴相反）；据相对运动的速度变换公式，人对地的速度v1=v1’+v2.

由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系动量守恒，有：m1v1+m2 v2=0，即 m1(v1’+ v2)+m2 v2=0 ，可求得 v2= - v1’m1/(m1+m2)，将上式两边同时乘上相互作用时间Δt，v2Δt=s2为船相对地的位移，v1’Δt=s1’=3.2m，即

s2 = - s1’m1/(m1+m2) = - 3.2×70/(70+210) = - 0.8m

3.8.3 三只质量均为M的小船鱼贯而行，速度都是v，中间一船同时以水平速度u(相对于此船)把两质量均为m的物体抛到前后两只船上，问当两物体落入船后，三只船的速度各如何？

解：以岸为参考系， M v M v M v 以船前进的方向为坐标

的正方向；设物体抛出 M+m v3 M-2m v2 M+m v1 后，前边船、中间船、 后边船的速度变为v1、

v2、v3，船的质量与速度变化情况如上图所示；在物体抛出的过程中，这个系统的总动量是守恒的，因此：

前边船的动量变化应该等于中间船抛过来的物体的动量，即

(M+m)v1-Mv=m(u+v)，其中(u+v)是向前抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v1=v+um/(m+M)，说明前边船速度变快。

同样，后边船的动量变化也应该等于中间船抛过来的物体的动量，即 (M+m)v3-Mv=m(-u+v)=m(v-u)，其中（v-u）是向后抛出物相对岸的速度，由此式可求得：v3=v-um/(m+M)，说明后边船速度变慢。

中间船的动量变化应该等于抛出物的动量之和，即

(M-2m)v2-Mv=m(u+v)+m(v-u)，由此式可求得：v2=v，说明中间船的速度没有发生变化。

Fmamg

mM 6