第３３卷 第６期 ２０１３定 高师理科学刊 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏｌ＿３３ Ｎｏ．６ １１月 ＮＯＶ． ２Ｏ１３ 文章编号：１００７—９８３ １（２０１３）０６－００８７—０３ 线性代数教学中的几点思考 黄莉 （武汉商学院信息工程系，湖北武汉４３００５６） 摘要：结合线性代数课程内容的特点和教学实践，提出了理清课程主线，用问题驱动法激发学生 的学习兴趣，结合实例加深对概念的理解等教学改革措施．这些措施有助于激发学生学习的兴趣 和积极性，从而提高线性代数的教学效果． 关键词：线性代数；线性方程组；数学教学 中图分类号：０１５１．２：Ｇ６４２．０ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１３．０６．０２７ Ｓｏｍｅ ｏｐｉｎｉｏｎｓ ｏｎ ｔｈｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ａｌｇｅｂｒａ ＨＵＡＮＧＬｉ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｗｕｈａｎ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ ４３００５６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔａｃｔ：Ｂａｓｉｒｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ ｔｈｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｐｒａｃｔｉｃｅｓ，ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｓｏｍｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｒｅｆｏｒｍ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｃｌａｒｉｆｙｉｎｇ ｔｈｅ ｍａｉｎｌｉｎｅ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｃｏｕｒｓｅ，ｓｔｉｍｕｌａｔｉｎｇ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ－ｄｒｉｖｅｎ ｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄ ｄｅｅｐｅｎｉｎｇ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｕｓｅｆｕｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｔｈｅｓｅ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｈｅｌｐ ｔｏ ｉｎｓｐｉｒｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ａｎｄ ｐｏｓｉｔｉｖｉｔｙ，ｔｈｅｎ ｉｆｎａｌｌｙ ｔｏ ｅｎｈａｎｃｅ ｔｈｅ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ａｌｇｅｂｒａ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒ ａｌｇｅｂｒａ；ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｔｅａｃｈｉｎｇ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ 线性代数是一门比较抽象，逻辑Ｉ生很强的学科，课程中概念、符号、定理和运算法则较多．这就导致 在教学中，学生不清楚概念之间的内在联系，理论和应用相脱离，单纯地死记硬背，缺乏对线性代数课程 的学习兴趣．本文结合线性代数课程内容的特点和教学实践，提出了理清课程主线，用问题驱动法激发学 生的学习兴趣，结合实例加深对概念的理解等教学改革措施，以期让学生真正地学好这门课程，培养其逻 辑思维能力，提高其数学素养． １理清课程主线 线性代数的内容主要包括：行列式、矩阵、向量空间、线性变换、线性方程组和二次型，这门课程虽 然内容繁杂，但实际上有一条主线一直贯穿其始终，这条主线就是线性方程组．解线性方程组在中学就学 过，学生相对熟悉，因此在讲解每一章中，都可以从解线性方程组人手． 如在引出行列式概念时，可以让学生先解线性方程组｛ ＋＋ ａｌ２ｘ２ 三 ．利用消元法易知，在Ｄ＝ａｌＩ ：一 ｋ－－２］—’ｌ。一ｚ２ ２ ２ 口 ≠０时，方程组的唯一解为 ： 丝Ｉ二盟， ： ［ ，ｑ】 ２一ｑ２ａ２】 １ａ２２一ｑ２ａ２１ 为了便于记忆，引入记号１ ａ一１２Ｉ： ｌｕ２１ Ｕ２２ｌ 收稿日期：２０１３－０４—２０ 基金项目：武汉市教育科学规划课题（２０１２Ｃ１７２） 作者简介：黄莉（１９８４一），女，湖北武汉人，讲师，硕士，从事矩阵分析及其应用研究 高师理科学刊 第３３卷 口丝一 。，称为二阶行列式，利用二阶行列式，方程组的解可以写成 ＝ ｂｌ Ｉ Ｉ’ ａ２２ｌ 这样用行列式表示解，形式简便，容易记忆…． 类似地再来求解三个未知量ｘ ，ｘ２，ｘ３的线性方程组，同样消元法得到三元线性方程组的解，为了便于 记忆，又引入三阶行列式．这样有了二阶、三阶行列式，就可以将二元、三元线性方程组的解很简单地表 示出来．在解ｎ个未知量的线性方程组时，自然会想到它的解是否能用 阶行列式来表达．这时可以启发 学生研究二阶、三阶行列式的结构，找出共同规律，根据这些规律定义／＇－／阶行列式，最终引出行列式理论． 有了行列式就可以给出求线性方程组的一个重要法则——克拉默法则，克拉默法则要求方程的个数和 未知量的个数相等，而且系数行列式不为零，因此对于不能同时满足这两个条件的一般线性方程组，只有 行列式这个工具是不够用的，需要引入向量和矩阵等概念．具体而言，为了给出一般线性方程组的求解方 法，需要引人矩阵秩的概念和矩阵的初等变换，通过对增广矩阵施行初等行变换得到方程组的通解，并利 用矩阵的秩的定义给出线性方程组有解的充要条件．对任何一个有解的线性方程组，都能利用矩阵的初等 变换求出它的全部解．在线性方程组的解不唯一甚至无穷多的情况下，要讨论这些解之间的关系，就需要 再引人向量组线性相关性的有关理论，从而最终完善线性方程组的理论．至于二次型的问题则完全可以看 作是矩阵理论的应用伫 ．由此可见，线性方程组这条主线将行列式、矩阵、向量组和二次型合理地联系了 起来． 通过理清课程主线，可以使学生掌握线性代数的整个脉络，理清每个概念之间的关系．同时还可以让 学生体会到数学是产生于需要的，从而认识到数学的实用性． ２用问题驱动法激发学生的学习兴趣 问题是数学概念、定理和公式产生的根源，问题解决是推动数学学科发展的动力ｐ ．因此，在线性代 数的教学中可以采用问题驱动法，即在开始每一章新内容时给学生提出几个有代表性的问题，让学生以问 题为导向去探究性学习，把学生注意力吸引到教学内容上来，激发学生学习的兴趣，变被动学习为主动学 习．如在学习线性方程组这一章时，可以给学生提出三个问题：线性方程组是否总有解，如果不是，那么 它有解的条件是什么；假如有解，解的个数是多少，如何求解；线性方程组不只有一个解时，解与解之间 有何关系． 提出的问题应起到承上启下的作用，知识的衔接和过渡要自然连贯，要符合学生的认知规律，要逐层 递进，问题要有启发性，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力． ３结合实例加深对概念的理解 理清课程主线可以让学生对线性代数有个宏观的认识，克服学习的恐惧心理，而问题驱动法则可激发 学生的学习兴趣．但毕竟线性代数这门课概念和运算法则较多，因此具体到每个概念和运算法则时，还需 要多结合一些实例来加深学生对这些概念和运算法则的理解．如很多学生对向量的线性相关和线性无关这 两个概念的理解不是很清晰，可以在引入这两个概念之前引人一个解线性方程组的例子｛２毫一３ ＋ ＝０．【 ４ ＋Ｘ２一Ｘ３＝０ ｆ ＋２ｘ２一Ｘ３＝０ 容易看出，用２乘第一个方程加到第二个方程上就是第三个方程，因而第三个方程是多余的，这样求解 此方程组时就可以简化了．普遍性是蕴藏在特殊性之中的，因此对于一般的齐次线性方程组，也可以找到 多余的方程，去掉这些多余的方程将极大地简化计算过程．把每一个线性方程看作是一个向量，去掉多余 的方程，就相当于在向量组中，把能用其余向量表示为线性组合的向量删去，使剩下的每个向量不能再表 示为其余向量的线性组合．这样再引人线性相关和线性无关就不那么突兀了．同时在具体讲解这两个概念 时，还可以把数学化的概念转化为像文献［５】那样用一种简单、形象的语言来进行描述．这样处理之后，教 学效果更好，更有利于学生的理解和记忆． 第６期 黄莉：线性代数教学中的几点思考 参考文献： …１ 熊全淹，叶明训．线性代数【Ｍ】．３版．北京：高等教育出版社，１９９７ 【２】 何立国，施武杰．以线性方程组为中心展开线性代数课程的教学［Ｊ】．大学数学，２００９，２５（６）：２０３—２０６ ［３ ３］范爱华．关于大学数学课程教学的几点思考ｆＪ］．安徽工业大学学报，２０１ １，２８（４）：１０６—１０７ 【４］ 杨小远，李尚志．大学一年级学生创新能力培养探索与实践［Ｊ］．大学数学，２０１２，２８（４）：１３—２１ 【５】 朱春钢．向量组线性相关性的教学方法与技巧［Ｊ】．高等数学研究，２０１０，１３（４）：１ １９—１２１ 数学建模思想融人高等数学教学的理论与实践 何俊杰，王娟 高等数学是大学数学类主干课程，其目的是通过教学活动让学生掌握数学的基本理论、思想和方法，培养学生的数学应 用意识，提高学生运用数学知识分析解决其他学科问题或生产、生活实际问题的能力”‘．而数学建模作为一项数学教学活动， 为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条新的途径 ．很多学校和教师开始思考高等数学教学和数学 建模教学之间的联系” ，在高等数学教学中逐步开展了融人数学建模思想和进行数学建模思维训练的尝试． １ 数学建模对高等数学课程教学改革的推动作用 １．１促进高等数学教学内容的改革由于受到前苏联教育体系的影响，我国高等数学教学过于偏重理论分析和解题技巧训 练，但却忽视了概念产生的实际背景和数学方法的实际应用．在实际高等数教学过程中，可以增加部分概念的现实背景材料 和贴近实际生活或现代科技的应用案例，使学生认识数学概念、原理和方法的形成过程，体会数学思维的美妙，提高学习数 学的兴趣．同时适当地介绍有关运筹优化、统计与数据建模、决策分析和大规模科学计算等方面的知识与技术，使学生了解 现代应用数学和数学技术的思想和方法．这些教学内容的改革，可以使数学来源于实际的本质得到充分体现． １．２促进高等数学教学方法与手段的改革 自电子计算机、投影仪等电化设备进入课堂后，很多教师将传统的黑板板书方 式与多媒体教学结合，将一些抽象难懂的概念、定理等以图表、图像和动画等多媒体形式生动地表现出来，从而让学生对这 些概念和定理有一个直观的印象，便于理解和掌握．随着数学建模活动的开展，所遇到的很多问题都具有数据量庞大，模型 求解难度大甚至不存在解析解等特点．这些问题的出现给数学课程的教学提出了新的要求，这时就需要将计算机编程与数学 软件引入到高等数学的教学中．在高等数学教学中引入数学建模，丰富了高等数学课程的教学方法和手段，促进了高等数学 教学方法与手段的改革． ２数学建模思想融入高等数学教学的途径 ２．１在概念引入时渗透数学建模思想高等数学教学过程中要注重概念的形成过程，通过用学生熟知的、贴近生活的实际 问题引入概念，让学生从多方面、多角度了解数学概念的背景与来源，体会数学概念是从客观事物的数量关系中抽象出来的 数学模型，是与实际生活和科学发展密切相关的．如引入导数概念时，为了让学生领会导数的本质就是相对变化率的极限， 可以多结合实际问题，如经济模型中的成本变化率，需求量对价格的弹性，人口模型中的出生率、死亡率等，建立相应的数 学模型，使学生加深对概念本质的理解． ２．２在数学应用时体现数学建模思想在每章学完之后，适当选择一些与本章内容相关的实际应用问题，引导学生进行分 析，通过合理的简化和假设，建立数学模型并求解，进而解决实际问题．对这些实际问题的研究，不仅能使学生初步地掌握 数学建模的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，还可以使学生感受高等数学在各个领域中应用的广泛性，深刻地体 会数学的魅力和价值． ２．３在课程大作业中突出数学建模思想在高等数学的教学中引入课程大作业的实践环节，可以弥补高等数学教学课时的 不足．课程大作业主要包括与现实生活密切相关的综合性应用问题以及数学方法的计算机实现等．这些实际上就是建立数学 模型和求解数学模型的过程，目的是为了进一步培养学生综合分析问题和解决问题的能力，增强学生应用数学的意识． 高等数学作为高校理工科甚至部分文科专业的基础课程，在培养学生数学素质和创新能力上起着重要作用．作为一种重 要的数学思想和方法，数学建模在数学理论与实际应用之间建立了沟通的桥梁．将数学建模融人高等数学的教学实践中，可 以有效地提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，增强学生应用数学的意识，激发学生的创造欲望和创新精神． 参考文献： ［１】１ 连坡．高等数学课堂教学的思考与探索【Ｊ】＿高等数学研究，２０１１，１４（２）：４５—４６ 【２ ２１【３ ３】李大潜．数学建模与素质教育叫．中国大学教学，２００２（１０）：４１．４３ 谭永基．将数学建模思想融入通识教育数学核心课程【Ｊ】＿高等数学研究，２００９，１２（２）：８－１２ （作者单位：信阳师范学院数学与信息科学学院，河南信阳４６４０００） 基金项目：河南省教育厅教师教育课程改革研究项目（２０１３一ＪＳＪＹＺＤ－０２０）
