湖南省2020年高考数学 第17题优美解

试题

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1至4件 顾客数（人） x 结算时间（分钟/人） 1 5至8件 30 1.5 9至12件 25 2 13至16件 y 2.5 17件及以上 10 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％. （Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；

（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率） 解法

（1）由已知,得25y1055,xy35,所以x15,y20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得

153303251,p(X1.5),p(X2), 10020100101004201101 p(X2.5),p(X3).

100510010X的分布为

p(X1) X 1 P X的数学期望为 E(X)11.5 2 2.5 3 33111 20104510331111.522.531.9. 20104510（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则

P(A)P(X11且X21)P(X11且X21.5)P(X11.5且X21). 由于顾客的结算相互独立，且X1,X2的分布列都与X的分布列相同，所以

P(A)P(X11)P(X21)P(X11)P(X21.5)P(X11.5)P(X21) 3333339. 202020101020809. 80故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为

试题或解法赏析

本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知

25y1010055%,xy35,从而解得x,y，计算每一个变量对应的概率，从而求

得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.