高考数学千锤百炼 (6)

题1：已知a0，函数f(x)ax3x，若f(x)存在极小值点m，且f(m)f(n)，且mn，则

13n_____.m题2：如图，在ABC中，AD11AB，AEAC，CD与BE交于点P，23AP1，BC4，APBC2，则ABAC的值为________.

题3：已知数列{an}满足a13,且3an1anan4(nN).

2()试用数学归纳法证明：an3(nN);()证明：an1an(nN);

11

}的前n项和为Sn,证明：Sn1(nN)()设数列{41an题1解析：

解法一：

1解：f(x)ax3x (a0)，f'(x)ax213即：方程x3且m令f'(x)0，则x1,2当xaa32ax20有m,n两根，aaaa和x时，f'(x)0，则f(x)aaaa和naaa为二重根aa2)(xn)0a单调递增

aa当时，f'(x)0，则f(x)单调xaa易知：xm方程转化为交点式：(x递减

xa时，f(x)取极小值aaa展开：x3(n2a22a1n)x(n)x0aaaaf(x)存在极小值点m，mf(m)f(a1a3a2a)a()a3aa3af(m)f(n)且mn12a有m,n两根方程ax3x33a2a0na132a2ann对比系数得：aaaa2ana2aman，2.am【解法二】1f(x)ax3x (a0)，f'(x)ax213a1m2令f'(x)0，则x1,2当xaa11f(m)f(n) (mn)，即：am3man3n331a(m3n3)mn3a(mn)(m2mnn2)3(mn)a1，mnm2aa和x时，f'(x)0，则f(x)aa单调递增当递减

xa时，f(x)取极小值aaaaax时，f'(x)0，则f(x)单调aam2mnn23m2，即：n2mn2m20nnnn()220，(1)(2)0mmmmnnn1（舍）或2，即2.mmmf(x)存在极小值点m，m题2解析：

解：D,P,C三点共线，APxAD(1x)ACAD1xAPAB(1x)AC----①AB，22即：2ABACABAC10221AP(ABAC)25522414ABACABAC125252522B,P,E三点共线，APyAB(1y)AEAE11yAPyABAC，AC------②33即：4ABAC4ABAC25BC4BC(ACAB)ABAC2ABAC162222224xxy25由①②得：1y21xy35AP21ABAC55令ABa，ACb，ABACc2abc1014ab4c25c3ab2c162221APBC(ABAC)(ACAB)5522211ABACABAC2555即：ABAC的值为.

13题3解析：

解析：()证明：显然a133成立，假设ak3(kN)成立，

aak493410

3则ak1k33322an3对一切nN恒成立

an1an(nN);

anan4(an2)2an0()证明：an1an

33()证明：

1110,SnS11an1a1422等式3an1anan4两边同时减6得3(an12)anan2(an2)(an1)



13(an12)

1111111

()

(an2)(an1)3an2an1an12an2an1111



an1an2an12Sn

111111111

a11a21an1a12a22a22a32an2an12



11111a12an12an12点评：本题第一问考察数学归纳法，注意数学归纳法的证明步骤，切勿忘记说明第一项满足.第二问可用作差法判断数列的增减性,结合第一问即可得出结果!第三问考察数列放缩，具有高等背景，需要借助不动点等知识！在借助不动点，对所给等式两边同时减去6以后，得到的式子有两个处理方向，类等比迭代放缩或裂项放缩，经过尝试等比放缩在本题中很难达到需要证明的精度，而使用裂项放缩刚好可以达到精度.需要说明的是裂项放缩是所有放缩方式中最强的放缩，能使用等比放缩的一定可以裂项放缩，但能裂项放缩的不一定能使用等比放缩!