2020届 湖南省常德市 高三高考模拟考试(二)数学(文)试题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时量120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知i为虚数单位，若复数z满足(2i)z13i，则z=

A. 1i B. 1i C.1i D.1i 2．已知集合A{x|1x1},B{y|yA．[-1，

1x1,xA},则AIB= 2

C．[1，

3) 2 B．[-1，

1) 23] 2 D．[

1，1） 23．已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100

A． 100 B． 99 C． 98 D． 97 4.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是80，则判断框中应该填

A. n  8 ? B. n > 8 ? C. n  7 ? D. n > 7 ? 5．已知

开始 a3b2A．abc C．cab

13，

12，clog32，则a，b，c的大小关系为

B．bac D．cba

S=0，n=1，a=3 S=S+a a=a+2 D．6

n=n+1 否 是 6.抛物线C:y22x的焦点为F，点P为C上的动点，

点M为C的准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其周长为 A．2 7．函数fxB．2

C．32 输出S 结束 lnx1的大致图象是 x1A． B． C．D．

8.某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防。规定每人每天早晚八时各服一次，现知每次药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60％.某人上午八时第一次服药，到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留

A．220毫克 B．308毫克 C．123.2毫克 D．343.2毫克

- 1 -

y2x29.已知点P（3，1）在双曲线2－2＝1的渐近线上，F为右焦点且∠FPO=90°,则其离心率e为

ba2223 C. 3 D.

33uuuruuuruuuruuur10.在三角形ABC中，若ABBCABBC，AC6,AB3,E,F为BC边的三等分点，

A.

2 B.

则AEAF

A．21 B．18 C．15 D．12 11.已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足

uuuruuura2， sinAb(tanAtanB)2ctanB,则ABC面积最大值为

A .

623633 B . C . D. 3344x12．已知函数f(x)在定义域上是单调函数，且f[f(x)2020]2021， 当g(x)sinx3cosxkx在[2,]上与f(x)在R上的单调性相同时，实数k的取值范围是

2A. (,1] B.(,3] C.[1,3] D. [3,)

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

lnx在x1处的切线与曲线yax2ax相切，则a_________． xx2y29y14.已知实数x，y满足x1，则的取值范围为_________．

x5y113.曲线y15. 已知a0，函数fxmcosxsinx的图象过点则a的取值范围为_________．

16. 已知A若球O的 、B、C三点都在以PA为直径的球O的表面上，ABBC，AB3，BC4，体积为

若函数fx在区间a,a上单调递增，，2，

61133，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为_________．2

- 2 -

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现了多例有华南海鲜市场暴露史的不明原因肺炎病例，现已证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病. 2020年3月3日,某研究机构首次分析了女性在新型冠状病毒传播中可能存在的特殊性。现将密切接触者40名男士和40名女士进行筛查，得到的无症状者与轻症者情况如下列联表：

男士 女士 无症状 30 35 轻症状 10 5 （Ⅰ）能否有90%的把握认为性别对症状差别有影响？

（Ⅱ）先从轻症状接触者中按分层抽样抽取了6个人进行传播差异性研究，求抽取两个人中恰有一男一女的概率。

n(adbc)2附：K．

(ab)(cd)(ac)(bd)2P（K2≥k） k

0.10 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 18．（本题满分12分）已知等差数列an的前n项和为Sn ,且满足a2a818,S749 （Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）设bn41 ,数列bn的前n项和为Tn ,求证：Tn1 .

an1an32

19. （本题满分12分）如图：四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，AD//BC,ADAB，

ABBC2AD4，ABP是等边三角形，且平面PAB平面ABCD，E是PB中点，点M在棱

PC上．

（Ⅰ）求证：AEBM； （Ⅱ）若三棱锥CMDB的体积为求实数的值．

- 3 -

163，且PMPC ，9

（-2，0），B(2，0）20.（本题满分12分）已知A，点P在平面内运动，kPAgkPB（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若点Q(0,1)，M,N为C上两动点，kMQgkNQ出该定点坐标，若不能过定点则说明理由．

21．已知函数fxex1． 43．问直线MN能否过定点，若能过定点，则求4（Ⅰ）求实数a的取值范围； （Ⅱ）求证：x1x20；

12xax有两个极值点x1,x2. 2（III）求证：fx1fx22.

选考题（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所做第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应方框涂黑）

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x3t,xOyC已知直角坐标系中，曲线1的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为

yt极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为212cos． （Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P为C2上的任意一点，求P到C1距离的取值范围．

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

- 4 -

已知f(x)2x2xa．

（Ⅰ）当a2时，求不等式f(x)5的解集；

6B,求a的取值范围． （Ⅱ）设不等式f(x)2x1的解集为B,若3，

- 5 -

2020届常德市高三文科数学模拟试卷（二）参考答案

一、选择题: 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 D 5 D 6 D 7 A 8 D 9 D 10 A 11 D 12 B 二、填空题:

463113． 1 14．[,] 15．(0,] 16．

15446三、解答题:

17.（本小题满分12分）2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现了多例有华南海鲜市场暴露史的不明原因肺炎病例，现已证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病. 2020年3月3日,某研究机构首次分析了女性在新型冠状病毒传播中可能存在的特殊性。现将密切接触者40名男士和40名女士进行筛查，得到的无症状者与轻症者情况如下列联表：

男士 女士 无症状 30 35 轻症状 10 5 （Ⅰ）能否有90%的把握认为性别对症状差别有影响？

（Ⅱ）先从轻症状接触者中按分层抽样抽取了6个人进行传播差异性研究，求抽取两个人中恰有一男一女的概率。

n(adbc)2附：K．

(ab)(cd)(ac)(bd)2P（K2≥k） k 0.10 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 17.解： （Ⅰ）由题可得列联表：

男士 女士 总计 ................2分 280（305-3510）80K2.0512.706....................................5分

65154040392无症状 30 35 65 轻症状 10 5 15 总计 40 40 80 故没有90%的把握认为性别对症状差别有影响....................................6分

（Ⅱ）依题意，先从轻症状接触者中按分层抽样抽取了6个人进行传播差异性研究，比例为2：1，所以

- 6 -

轻症男士4人，轻症女士2人 …8分

从这6人中选2人共有15种选法，男士女士各1人的选法共有8种， …10分

所以先从轻症状接触者中按分层抽样抽取了6个人进行传播差异性研究，抽取两个人中恰有一男一女的概率为

8 …12分 1518．（本题满分12分）已知等差数列an的前n项和为Sn ,且满足a2a818,S749 （Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）设bn41 ,数列bn的前n项和为Tn ,求证：Tn1 .

an1an32【解析】1设数列an的公差为d,由a2a82a518,则a59 又由S77a1a77a449,得a47，d2,an2n1 5分 2（Ⅱ）由（1）可知bn

111 7分 nn1nn1数列bn的前n项和为

1-1 n110分

由0

20. （本题满分12分）如图：四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，AD//BC,ADAB，

111得Tn1. 12分 n122ABBC2AD4，ABP是等边三角形，且平面PAB平面ABCD，E是PB中点，点M在棱

PC上．

（Ⅰ）求证：AEBM； （Ⅱ）若三棱锥CMDB的体积为的值．

（Ⅰ）证明：四棱锥平面

平面

平面ABCD，

平面平面PAB， 平面PAB，

163，且PMPC ，求实数9中，底面ABCD是梯形，

平面ABCD ，且

，

- 7 -

，

又因为

；

是等边三角形，E是PB中点，，

平面PBC，

； …………………5分

的体积为

，且

，三棱锥

等价于

；

平面PBC，

（Ⅱ）解：三棱锥三棱锥

；

由题意可过点P作因为平面则：即有：

底面ABCD是梯形，通过计算

可得：

于F，连接FC，过M作于N；

平面ABCD，中，有

，；，． ，因为有

是等边三角形，可得：F为AB中点，FC即为三棱锥

，

，

是等边三角形，

以BCD为底面上的高，

为PC在平面ABCD的射影，N一定落在射影FC上；

，，

， 中，

，

，

，

所以：因为：由题故答案为：

中，

，所以：，所以：

；

…………………12分

（-2，0），B(2，0）20. （本题满分12分）已知A，点P在平面内运动，kPAgkPB（Ⅰ）求点P的轨迹； （Ⅱ）若点Q(0,1)，M,N为C上两动点，kMQgkNQ定点，若能过定点，则求出该定点坐标，若不能过定点则说明理由．

20.解：（Ⅰ）设P(x,y)，则

1． 43．问直线MN能否过4yxn2y1x2412x2y(x4)y21………4分

44，

22222（Ⅱ）设M(x,y1)，N(x,y2)，MN:ykxm，代入 x4y4x4(kxm)4

(14b2)x28kmx4m240，

y11y213kxn1kxn131 x1x24x1x14 - 8 -

3k2x1x2k(m1)(x1x2)(m1)2x1x2………8分

4，

334m248km22(k)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)0(k)()k(m1)()(m1)20 22414k14k4，

2又m1 ∴ (4k3)(m1)k(8km)(m1)(14k)04m20， ∴ m221 2，

11ykx ， ∴过定点 (0,)………12分

2221．已知函数fxex12xax有两个极值点x1,x2. 2（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：x1x20；（III）求证：fx1fx22.

解：1.依题意:f'xexxa0有两解x1,x2，即ya与gxexx有两交点，gx1=gx2=a.........2分又g'xex1,且g'00，在-，0内，g'x0,gx递减；在0，+内，g'x0,gx递增.gxg0=1,且x+时，gx+.a1..........4分

2.不妨设x10x2,要证x1+x2；0，则需证x1x2.而gx在,0递减，即需证gx1gx2,.......6分即需证gx2gx2,即exx2exx2，e2x2x2ex10设hxe2x2xex1,x0.则h'x2ex(exx1).Qexx1,h'x0hx递增，hxh00.2222

原不等式成立........8分3.当x0时，f'xexxa,f''xex10.f'x递减，又f'x1=0，在x1,0内有f'x0,fx递减.由2知x1x2有fx1fx2要证fx1fx22,只要证fx2fx22,2即证ex2ex2x22........10分

设mxexexx22.　x0.则m'xexex2x,　m''xexex20.当x0时，m'x递增，m'xm'00.当x0时,mx递增，mxm00.原不等式成立.......12分选考题（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多选，则按所做第一题计分。作答时请用2B铅 笔在答题卡上把所选题目对应方框涂黑）

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

- 9 -

x3t,已知直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为

yt极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为212cos．

（Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P为C2上的任意一点，求P到C1距离的取值范围．

【命题意图】本题主要考查直线的参数方程、曲线直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的极坐标方程等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分10分.

【解析】（Ⅰ）C1的普通方程为xy3，即xy30． ······· 2分

C2的直角坐标方程为x2y212x，即x1y22． ········ 5分

（Ⅱ）由（1）知，C2是以1,0为圆心，半径r2的圆， 圆心C21,0到C1的距离d2103222＞2， ··········· 7分

所以直线C1与圆C2相离，P到C1距离的最小值为dr2222； · 8分 最大值为dr22232， ·················· 9分

所以P到C1距离的取值范围为2,32． ·············· 10分

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知f(x)2x2xa．

（Ⅰ）当a2时，求不等式f(x)5的解集；

6B,求a的取值范围． （Ⅱ）设不等式f(x)2x1的解集为B,若3，

解：（Ⅰ）当a2时，f(x)5即2x2xa5

x2当 ， 解得x2，当

2(2x)(x2)5当-2x2 ， 解得-2x1， 2(2x)x25x27 ， 解得x，

32(x2)(x2)57 -----------------------5分 3故不等书f(x)5解集为x|x1或x6B则原不等式f(x)2x1在3，6上恒成立 （Ⅱ）若3，

- 10 -

即xa2x-22x1，即xa2x12(x2)，xa3

3xa3

即-3-ax3a，所以-3-a3 ， 解得-6a3

3a6故满足条件的a的取值范围是a6,3 ------------10 分

- 11 -