考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法

考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法

来源：文都教育

在考研数学线性代数中，初等变换是一种非常重要的方法，被广泛地用于很多题型的求解之中，如行列式的计算、矩阵的求逆、线性方程组的求解、矩阵秩的计算、化二次型为标准型等。初等变换包括初等行变换和初等列变换，具体说有三种：互换两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以一个数加到另一行（列）。下面我们对初等变换在矩阵求逆及乘积中的应用做些分析总结，供各位考研的学子参考。

一、用初等变换求逆矩阵及乘积的方法

1、用初等行变换求逆矩阵A：对(A,E)作初等行变换，将其中的A变为单位矩阵E，

11(A,E)(E,A)，由此即求得A1； AE这时单位矩阵就变为，即

r1A112、用初等列变换求逆矩阵A：求A也可用初等列变换，对E作初等列变换，将其

AcE111中的A变为单位矩阵E，这时单位矩阵E就变为A，即EA，由此即求得A；

13、用初等行变换求AB：对(A,B)作初等行变换，将其中的A变为单位矩阵E，这时1(A,B)(E,AB)，由此即求得A1B； ABB矩阵就变为，即

r1A1BA4、用初等列变换求：对B作初等列变换，将其中的A变为单位矩阵E，这时矩

AcE1111阵B就变为BA，，即BBA，由此BA此即求得BA.

上面的1）和2）实际上是3）和4）的特殊情况，只要取BE即得1）和2）。 下面只要证明3）和4）即可。

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证：3）由于作一次初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，所以对A作一系列的初等行变换得到单位矩阵E相当于A左乘一个可逆阵P，使PAE，这时PA，

1P(A,B)(PA,PB)(E,PB)(E,AB)，即(A,B)(E,A1B)；

1r4）同3）类似，由于作一次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵，所以对A作一系列的初等列变换得到单位矩阵E相当于A右乘一个可逆阵P，使APE，这时PA，

1ABPAPBPEAcEBA1，即BBA1.

二、典型实例

011A111例1.设

112，求A1. 0111001(A,E)111010r11010011100r解：作初等行变换：

112001021011 r312111010011100r100312010111(E,A1)A1111001211001211，故

211. X211210113例2.解矩阵方程111432.

解：记上面的方程为XAB，因为

A0，所以A可逆，XBA1，

211210210120101Ac111c100cB111111313132对AB131作初等列变换得：

432342325

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11c113100110c103123523010201001c0122853301020011221XBA1822553. 3，故3矩阵的逆运算是一种最基本最重要的运算，而初等变换是求逆矩阵的一种最常用的方

11法，大家一定要熟练掌握。在上面计算AB和BA的方法中，我们分别通过初等行变换和111列变换一次性求出其结果，这显然比先求出A然后求乘积AB和BA要简捷方便，在考试

中也能节省时间和提高解题速度。最后祝愿各位考研成功。

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