广东海洋大学高等数学历年考试试卷

GDOU-B-11-302

广东海洋大学2006 ——2007学年第一学期

《高等数学》课程试题

考试

□ A卷

□ 闭卷

课程号： 1920008

□□ 考查

□ B卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 20 20 25 14 21 100 实得分数 一． 计算.（20分，各4分）.

1.lim1cos2xx0xsinx. 2.dx1cos2x.

3.11sinx2x3x11x2dx. 4.limx(2x1). 5.2cos2xdx.

6二.计算.（20分，各5分）. 1.求yarcsin(tanx)的导数。

2.求由方程eyxye0所确定的隐函数y的二阶导数d2ydx2。

3.已知xetsintdyyetcost，求当t3时dx的值。 4.设zx3yy3x，求z2zx,yx.

三.计算.（25分，各5分）.

1. x3x29dx

2.exdx

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3.limx0(edt)2xt2te00x2t2dt.

[4.求limx011]. ln(1x)x5.021sin2xdx.

四.解答（14分，各7分）.

xx0在何处取得最小值？最小值为多少？ 2x1x2.证明ln(1x)x.

1x1.问y五.解答（21分，各7分）.

1.求由yx2与y2x围成图形的面积。

2.求由ysinx,(0x),x轴围成的图形绕x轴所产生的旋转体的体积。 3.计算(x2y2)d，其中D是矩形闭区域：x1,y1.

D

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《高等数学》课程试题A卷答案

一. 计算 （20分 各4分）

2sin2x112 2.原式＝sec2xdxtanxc 1.原式＝limxsinx22x03. 原式＝15. 原式＝2112x1(1)e 4. 原式＝dx2arctanxlim22x1021xx1cos2x3 dx2686二、计算 （20分 各5分） 1.y'11tan2xsec2x

2.两边对x求导，得：eyy'yxy'0 y'y xeyy'(xey)y(1eyy') y'' y2(xe)2xy2yeyy2ey 

(xey)3dyetcostetsintcostsint3.t

dxesintetcostcostsint

dy1332 dxt1332z2zz233x23y2 4.3xyy

yxxyx三、计算 （20分 各5分）

x39x9x129dxxln(x29)c 1.原式＝222x9第 3 页 共 49 页

2. 原式＝2tetdt2(tetet)c2(xe3. 原式＝limx0xex)c

2ex2x0etdt2xe2x22

4. 原式＝limx0xln(1x)lim2xx011x11 2x25. 原式＝02sinxcosxdx04(cosxsinx)dx2(sinxcosx)dx222

4四、解答 （14分 各7分）

11x21.解:y' （舍）又 yx1 yx00 0x1x1222(1x) 故：函数在x1取到最大值，最大值为。

2.证明：令f(x)lnx(x0)，考虑区间[1,1x]。显然，此函数在这个区间上满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间可导。由拉格朗日定理得：至少存在一点(1,1x)使得:道：

ln(1x)ln11f'()。由的范围可以知

x1112111ln(1x)1。从而，我们可以得到1。整理得：1x1xxxln(1x)x。 1x

五、解答 （21分 各7分）

1.解：yx2与y2x的交点为(0,0),(2,4)

利用元素法:取积分变量为x，积分区间为[1,2]。（1）面积元素为

dA(2xx)dx（2）此面积为A(2xx2)dx2204。 3

第 4 页 共 49 页

班级： y A 0 2 x

2.解：利用元素法：取积分变量为x，积分区间[0,]。（1）体积元素为

dVsin2xdx （2）此旋转体的体积为Vsin220xdx2。

3.解：(x2y2)d4(x2y2)d4110dx0(x2y2)dy8

DD13y 1 D1 -1 0 1 x -1 GDOU-B-11-302

广东海洋大学2006—— 2007学年第一学期

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《高等数学》课程试题（B）

课程号： 1921006x1

√ 考试

□ 考查

7 7 □ A卷

√ B卷

100 √ 闭卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 21 25 30 10 实得分数 一、填空（21分，每小题3分）

ex,x01．若函数f(x)在x0点连续，则a= 1

ax,x02．函数yasinxsin3x在x133处取得极值，则a 2

x03．若f(0)存在，且f(0)0，则limf(x)f(0) x4. 曲线yex在点(0,1)处的法线方程为 x+y-1=0 5．函数yx2lnx的二阶导数y 2lnx+3

6．设f(x)具有原函数为F(x)，则xf(x)dx xf(x)-F(x)+C 7．1(x1x2)2dx 2

二、计算题（每小题5分，共25分）

(13x) 1、limx01x1(3x)]解：原式=lim[1x0x33x22 lim x1x3x2x111(3x)3xxe3

3x236x3lim解：原式=lim x13x22x1x16x223 设yxarcsin4x2,求dy

x2第 6 页 共 49 页

x122xx解: yarcsinxarcsin221(x2)224x2x故 dy=arcsindx2

d2y14．求由方程xysiny0所确定的隐函数y的二阶导数2

2dx解： 两边对x求导

111ycosyy0y121cosy2 1sinyyy21(1cosy)225．求曲线yln(1x2)的凸凹区间与拐点.

2x,解：y1x22(1x2)2x2x2(1x)(1x)令y0,得x=1

(1x2)2(1x2)2x (,1) -1 (-1,1) 1 (1,) + -

f(x) - f(x) 凸 拐 凹 拐 凸 三．求下列积分（每小题6分，共30分） 1．x94x2dx

2 arctanxdx

第 7 页 共 49 页

3．0

原式202cosxcos3xdx

20cosx(1cosx)dxcosxsinxdx22cosxsinxdx0cosxsinxdx2(cosx)dcosx01/2(cosx)dcosx21/2

2(cos3/2x)302(cos3/2x)383 4 1411xdx

5．11x(x1)2dx

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四 求由曲线y3x2,直线x1以及x轴所围成的平面图形的面积及该图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.（10分） 解：略

五 要造一长方体的带盖箱子，体积为72平方厘米，而底面长与宽的比为2：1，问长、宽、高各为多少时，表面积最小，求出表面积。（7分）

第 9 页 共 49 页

班级： 姓名密 ： 学 号 ： 封 试 题 共 线 页 加白纸

六 证明：当x0时，ln(1x)x12x2.（7分）

证明:设F(x)ln(1x)x12x2则F(x)111xxx21x1x1x0,故F(x)为增函数

当x0时,有f(x)f(0)0,即证GDOU-B-11-302

广东海洋大学2007——2008学年第一学期

《高等数学》课程试题（A）

□√ 考试

□√ A卷

□√ 闭卷

课程号： 1921006x1

□ 考查

□ B卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 21 25 30 10 7 7 100 实得分数 一、填空（21分，每小题3分）

设1x11．f(x)x,x0,则常数a= 1/2 

时, f(x) a,x0(,)内连续.

2．若当x0时,cosxexa是无穷小量，则常数a= 2 . 3．曲线ycosx的最大曲率是 .

4. 曲线ytanx过点(4

,1)的切线方程为 y-1=2(x-4) .

5．设(x)x20(sintt)dt,则d(x)2x(sinx2x2)dx.

第 10 页 共 49 页

在

6．01dx= 1 . (1x)2x33)dx 18 . 7．3(42xcosx3二、计算题（每小题5分，共25分）

2(1sinx)x 1、limx0221sin2x)sin解：原式=lim(1x02xsin2x2x2e2

2 limx0xln(1x)

xln(1x)xln(1x)洛原式=limlimx0x0xx洛11limx0ln(1x)1121111xlim1x02(1x)2x2

xarctantd2y33. 求由参数方程t所确定的函数的二阶导数2.

yt1dx3dydydtt1t42t21,2dxdxdt1(1t)2dydx22d(dy)dt4t34tdx4t(1t2)2 2dxdt1(1t)4．设方程 xy1xey确定一个隐函数yy(x),求 y(x) 解：1yexeyyyey1yy

xe1三. (11分) 设函数yx(x1)2=x32x2x. 1.求函数的单调区间、极值；（6分） 2.凹凸区间和拐点. （5分）

第 11 页 共 49 页

y3x4x1(3x1)(x1)0y6x40令2令得x11/3x21 (1,+) 得x22/3 X (-,) 1311222 (, ) (,1) 1 33333f(x) + f(x) - - - - + + + f(x) 增凸 极 减凸 大

拐 减凹 极 增凹 点 小 四．求下列积分（每小题5分，共20分） 1．(esinx3)cosxdx

esinxcosxdx3cosxdxesinxdsinx3sinxesinx3sinxC

2.2xln(1x)dx

原式ln(1x)dx2x2ln(1x)x2dln(1x)x21xln(1x)dxx2ln(1x)x1dx

1x1xx22xln(1x)xln1xC22

3．14x2x4dx ，

2第 12 页 共 49 页

原式x4x2dx(x)4x2dxx1102024x2dx101221/22(4x)d(4x)(4x2)1/2d(4x2)2120112(4x2)3/20(4x2)3/20......133

4.04x52x1dx

t21解: 设2x1tx2x0时,t=1x4时,t3dxtdt



40t2153x5t3932dxtdt(t)1......1t622x1五. (8分) 设曲线yx与yx围成的图形记为E

1.求E的面积;

2.图形E绕x轴旋转而成的旋转体的体积.

解：略

六 .证明：当x0时，ln(1x)arctanx/(1x).（7分）.

故当x>0时，f(x)>f(0)=0, 得证。

第 13 页 共 49 页

班级： 姓名密 ： 学 号 ： 封 试 题 共 线 页 加白七.工厂要做一个高为a，容积为V的长方形密封食品盒，问怎样设计底面的长宽的长度，使所做盒子用料最省？（8分）

GDOU-B-11-301

广东海洋大学 2008—2009学年第 1 学期

《 高等数学1 》课程试题A

 A卷

 闭卷

课程号： 19210061

 考试

□ 考查

□ B卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 21 30 30 10 9 100 实得分数 一、填空题（每小题3分，共21分）

11. 已知函数y=(1x)x,x0,在x=0处连续，则a=__e__. a,x02. 当x0时，ln(12x)与ekx1是等价无穷小，则k=__2_

.ln(12x)2 因为limx0ekx1limxx0kx1,故k2

3. 曲线yx31过点（0，1）处的切线方程为_y-1=0___ 4. 函数yx48x2(1x3)的最大值是_59__，最小值是6322

第 14 页 共 49 页

(y4x38令0,得x32,f(32)23283226322

f(1)11,f(3)595. 设yln(1x),则y2/(1x)3 6. 设F(x)x21)

0t(t1)dt,则F(x)2xx(x7. 112x/2

11x2dx

二 计算题 （每小题6分，共30分） 1. lim1cosxx0xsinx lim1cosxx0xsinxlim2sin2(x/2)x0xsinxlimx2/2x0xx12 32. lim(1xx02x) 13原式lim[12x(2x)xx0(2x)]e6

3. 设ylncos2x,求dy

y1cos(2/x)(sin2x)(222x2)tan(x)(x2),

dytan(2x)(2x2)dx4. 求由参数方程xarctantyln(1t2)所表示的函数的导数dydx。dydy/dt2t/(1t2dxdx/dt)1/(1t2)2t 第 15 页 共 49 页

.

2xyxe5. 求曲线的凹凸区间及拐点.

ye2x2xe2xy2e 2x2(e2x2xe2x)4e2x(x1)0,得x1令

x (-,1) 1 f(x) - 凸 (1,+) + f(x)

拐 凹 三、求下列积分（每小题6分，共30分） 1.

x2dx 2x1解: 设2x1t,1t221原式=2tdtt21t2x= dx=tdt22t3dt

133ttc62 2.

3xlnxdx

x4x4x4x4x3解: 原式=lnxdlnxdlnxlnxdx44444 x4x4lnxc416 3.

11(x2)1x2dx

第 16 页 共 49 页

原式21x2dx411101x2dx设xsintx0时,t0上式4/20dxcostdtx1时,t=/2costcostdt4/20

1cos2tdt......2 4.

22cosxcos3xdx

π2π2π2cosxcos3xdx2(cosx)sinxdx=2(cosx)d(cosx)π2012π20124cosx3324 305.

0dx 22x解:原式0(dx2)2x2P149,(20)1arctan2xc 2

四.(10分)求由xy4,y轴,y=1和y=2所围成的平面图形的面积及该图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积。 解：略

五.（9分）证明下列不等式

xx1时,eex 1．当

第 17 页 共 49 页

班级：姓名密 ： 学 号 ： 封 试 题 共 线 页加证明: 设f(x)=exexf(x)=exe0(yex为增函数exe)故 f(x)为增函数,x>1时,有f(x)>f(1)=0,得证.

2. cosxy2cosxcosy2,x,y(2,2)

证明:设f(x)cosx,f(x)sinxf(x)cosx0(/2x/2)

故f(x)为凸函数,由定义得,cosxycosx2cosy2

GDOU-B-11-301广东海洋大学 2008—2009学年第 1 学期

《 高等数学1》课程试题B

课程号： 19210061

 考试

□ A卷

 闭卷

□ 考查

 B卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 21 30 30 10 9 100 实得分数 一、填空题（每小题3分，共21分）

sinx1. 已知函数y=,x0,在x=0处连续，则a=___1___. xa,x02. 当

x0时，sin2x与ekx1是等价无穷小，则k=___2__.

3. 曲线yex1过点（0，e）处的切线方程为_y-e=ex_ 4. 函数f(x)x33x29x5在x -1 处取得极大值，极大值为_10__ f(x)3x26x90x3,x1f(x)6x6f(3)0f(1)0 故f最大(1)10第 18 页 共 49 页

5. 设yln(1x),则y2/(1x)3 6. 设F(x)0t(t1)dt,则F(x)4x(2x1) 7.

1x11x2dx/2

12x二、 计算题 （每小题6分，共30分） 1. limx01cosx 2xx2/21解:原式lim2

x0x2

2. lim(1)3x

x22x解:原式lim(1())xx2(3x)x2xe6

3. 设ylnsin,求dy

111cos(1/x)(2)cot(1/x)(2)sin(1/x)xx

1dycot(1/x)(2)dxx解:y1x

4. 求由方程ysinxcos(xy)0所确定的函数的导数

解: ysinx+ycosx-sin(x-y)(1-y)=0dysin(x-y)ycosxdxsinxsin(xy)xdy。 dx

5. 求曲线yxe的凹凸区间及拐点.

解:yexxexyexexxex(2x)ex0令

得x=-2

第 19 页 共 49 页

x (-,-2) -2 f(x) - 凸 (-2,+) + f(x) 拐 凹 拐点（-2，-2e2）

三、求下列积分（每小题6分，共30分） 1.

x2dx

2x1解: 设2x1t,1t2212tdtt21t2x= dx=tdt22t5dt

原式=135ttc622.

2xlnxdx

解;x2lnxdxlnxdxxlnx3333x3dlnx3

x3x2x3x3lnxdxlnxc3339 3.

22(x3)4x2dx 4.

0sinxsin3xdx

第 20 页 共 49 页

解:原式x4x34xdx62222204x2dx设x2sint,当x0时,t=0上式=-6 5.

/20dx=2costdt,当x2时,t=/2/202cost2costdx241cos2tdt......2

0e2xdx

012x12x解: 原式=ed(2x)e202

1/2

2四、(10分)求由yx,x1及x轴所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积。

五.（9分）证明下列不等式 1． 当x0时,1+1x1x 2第 21 页 共 49 页

班级： 姓名密 ： 学 证明: 设f(x)=1+12x1xf(x)=111x1221x21x0 故f(x)单调增,故当x>0时,有f(x)>f(0)=0,得证

2.

exeyxy2e2 , (xy)

证:设f(x)exf(x)exf(x)ex0,故由定义, 得证 、

GDOU-B-11-302

广东海洋大学 2010—2011学年第 一 学期

《 高 等 数 学 》课程试题

考试

□√ A卷

□√ 闭卷

课程号： 19221101x1

□√ □ 考查

□ B卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 18 42 40 100 实得分数

第 22 页 共 49 页

一 . 填空（3×6=18分）

xf(x)xe1. 函数 的拐点是(2,2e2)

2f(lnx)x (x1)，则 f(x)=e2t/2c. 2. 设

设lnxt,则xe,tf(t)e2te2tf(t)c

2

x1t23. 曲线在t2处的切线方程为 y-8=3(x-5) . 3ytdy3t23t/2dx2txk3

4. 设(x)0sintdt，则'() 2/2. 45. 设 f(x)(1x)，则 f(1)等于 1

[(1x)][e1x1ln(1x)x1x]e1ln(1x)xxxln(1x)ln(1x)11x1x (1x)x22xx二 .计算题（7×6=42分） 1. 求limx0limsin2x2sinx.

x3sin2x2sinx2sinxcosx2sinx2sinx(cosx1)limlimx0x0x0x3x3x3

x22x()等价21lim3x0x1dx. 3sinxcosx2. 求不定积分第 23 页 共 49 页

3. 已知

f(x)(sinx是f(x)的原函数，求xf'(x)dx. xsinxxcosxsinx)xx2xcosxsinxsinxxf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dxcxx

4. 设方程exy3x2y250确定函数yy(x)，求

方程两边对x求导:exy(1y)34yy03exyyxye4ydy. dx

5. 求f(x)excosx的三阶麦克劳林公式.

1214(1)n2n2n cosx12!x4!x(2n)!xo(x) 121nxe1xxxo(xn) 2!n!x2x3x2x3(1x...)(1...)1xo(x3)

23266. 求由曲线yInx,y轴与直线yIna及yInb所围成图形的面积

ba0.

第 24 页 共 49 页

解：选为y积分变量，如图，所求面积为承

Alnblnabeydy[ey]lnlnaba

三. 应用及证明题（10×4=40分） 1. 证明：当x0时， 1x1x. 证明:

设f(x)11111x1x1xf(x)2221x21xX 0f(x)为增函数21x(1x1)得证.12故x0时,f(x)>f(0)=0,

2. 若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导函数，且f(x1)f(x2)f(x3)

(ax1x2x3b),证明：在(x1,x3)内至少有一点，使得f''()0.

证明：因为f(x)在(a,b)内具有二阶导数，所以由罗尔定理，得1(x1,x2)，2(x2,x3)，使得f(1)f(2)0，又

f(x)在1,2且满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理，得：

(1,2)(x1,x3)，使得f()0。

3. 当x为何值时，函数I(x)0tetdt有极值.

解: I(x)xe故当x0时,x2令x202x0I(0)10

I(x)ex2x2ex2y最小值0ex,x04. 试确定a的值，使函数f(x)在(,)内连续．

ax,x0第 25 页 共 49 页

班级： 姓名密 ： 学 号 ：封 试 题 共线 6 页 加白纸 3 张 limx0ex1xlim(0ax)af(0)a故a1

GDOU-B-11-302

广东海洋大学 2010—2011学年第 一 学期

《 高 等 数 学 》课程试题

□ A卷

□√ 闭卷

课程号： 19221101x1

□√ 考试

□ 考查

□√ B卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 18 42 40 100 实得分数

一 . 填空（3×6=18分）

6. 函数x f(x)xe的拐点是 . 7.

(1sin3x)dx .

8. 设

f(lnx)x2 (x1)，则 f(x)= . 9. 函数yxex上点(0,1)处的切线方程是 . 10.设(x)x0sintdt，则'(4) .

11.设f(x)arctanx,则 f(1)等于 . 二 .计算题（7×6=42分） x2cos17. limxx0sinx.

第 26 页 共 49 页

8. 求定积分311x21x2dx.

9. 已知f(x)exx，求xf''(x)dx.

10.设参数方程xln(1t2)确定函数yy(x)，求yarctant

第 27 页 共 49 页

dydx.

11.求f(x)Inx按(x2)的幂展开的四阶泰勒公式.

12.计算曲线y

三. 应用及证明题（10×4=40分） 5. 证明：当x4时， 2xx2.

1x(3x)上相应于1x3的一段弧的弧长. 3第 28 页 共 49 页

6. 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)0,求证：存在(0,1)，使得f'()

7. 求函数F(x)0t(t4)dt在[1,5]上的最大值与最小值．

xf().

第 29 页 共 49 页

班级： 姓名密 ： 学 号 ：封 试 题 共线 6 页 加白纸 3 张 8. 试确定x2a,x0a的值，使函数f(x)xsin1,x0在(,)内连续．

x

GDOU-B-11-302

广东海洋大学 2011—2012学年第 一 学期

《 高 等 数 学 》课程试题

卷

□√ 闭卷

课程号： 19221101x1

□√ 考试

□√ A□ 考查

□ B卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 20 6 24 20 6 8 8 8 100 实得分数

一 . 求下列极限（5×4=20分）

2x33x212.limx2x3

62x36原式=(3x2)

xlim162x32x3e9 2.limxarcsinxx0sinx3

11原式=limxarcsinx1x2分子通分1x21x0x3limx03x2limx03x21x2 分子有理化limx21x03x21x2(1x21)61 3.2limxsin2xx012

第 30 页 共 49 页

2原式=lim1(x)2x21x2sin2xx02e

12 4.limx0x20tdt32x0ttsintdt

x32x洛6x2洛12xlimlim12 原式=limx0x(xsinx)x01cosxx0sinx

二 .求函数fxfxx1的间断点并判别其类型。（6分）

x23x2x1x1和x2为间断点(x1)(x2)x1x1lim1f(1)lim x1(x1)(x2)x2(x1)(x2)所以x1为可去间断点,x=2为无穷间断点.

三．求下列导数或微分（6×4=24分） 1.设ylncose2x，求

dy。 dxdy1(sine2x)e2x2...... 2xdxcose

13.设函数yarcsin1x2，求dy.

y111(1x2)21x2(2x)xx.1x2

所以dyydx......第 31 页 共 49 页

3.求由方程lnx2y2arctan所确定的隐函数yyx的导数

yln(1t2)d2y4.设，求2。

dxxarctant2tdydy/dt1t2 解:2t1dxdx/dt1t2dy2dx2yxdy。 dxd(dy)/dtdxdx/dt22(1t2) 11t2四.计算下列积分（5×4=20分）

x2dx。9. 12x3

1(x3)1111133解:原式=33dxdxd(2x1)ln12x3c 3312x312x612x6

2.x2arctanxdx。

111原式arctanxd(x3)x3arctanxx3darctanx33313x3131xxarctanxdxxarctanxxdx33(1x2)331x211x11x3arctanx[d(x21)]233221x131x21xarctanx[ln(1x2)]c33222

3.0x21x2dx.

解:设xsint原式/21dxcostdtx0时t0x1时t21/221/2sin2tdt1cos4tdt 04080/21/211cos4td4t(4tsin4t)03203216sin2tcostcostdt

第 32 页 共 49 页

4.0原式x1x22dx.

111112222221xdx1xd(1x) 2002221x02xe五．证明方程lnx1在区间e1,e3内至少有一个实根。（6分）

x证:设f(x)lnx1,e从而在(e1,e3)内连续.f(e1)1e210f(x)在(0,+)上连续,

f(e2)3e10由零点定理,(e1,e2)(e1,e3),使f()0六．求曲线y2x53x2的凹凸区间和拐点。（8分）

y2x53x22x5/35x2/3102/3101/3201/3104/310110(2x1) xxyxx3(2)33399x9x9xx得分点x1/2x0yx (-,-1/2) -1/2 (-1/2,0) 0 (0,+) f(x) - + + f(x) 凸 拐 凹 凹 所以，……

七．用拉格朗日中值定理证明不等式：

nbn1abanbnnan1ab，其中0ba,n1。（8分）

第 33 页 共 49 页

证明:设f(x)xn,则f(x)在[b,a]上连续,在(b,a)内可导ab由拉格朗日中值定理得:(b,a),使f()abababn1n1即n,而ba,故nbnan1abab所以nbn1abanbnnan1ab

八．求由yx3,x2,y0所围成图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。（8分）

解：如图，绕x轴旋转所得的旋转体的体积为

2211282Vxπy2dxπx6dx[πx7]0π

0077绕y轴旋转所得的旋转体的体积为.

Vy2π8πxdy32ππydy

00282223332π[πx3]8π 0555

第 34 页 共 49 页

第 35 页 共 49 页

第 36 页 共 49 页

第 37 页 共 49 页

第 38 页 共 49 页

第 39 页 共 49 页

第 40 页 共 49 页

第 41 页 共 49 页

第 42 页 共 49 页

广东海洋大学 2009 — 2010 学年第 二 学期

《 高 等 数 学 》课程试题答案

课程号： 19221101x2

√ □考试

□ 考查

√ □A卷

□ B卷

√ □闭卷

□ 开卷

一、 填空（3×8=24分）

1. 设a3,1,2，b1,2,1，则cos(a,b)3221

2. 同时垂直于向量a2,2,1，b4,5,3的单位向量为11,2,2

33. 曲线y2mx，zmx（m为常数）在点(x0,y0,z0)处的切线方程为

xx0yy0zz012m1

4.

exy1lim0(x,y)(0,1)2xy

5. 函数uxy2z在点(1,1,2)处的梯度为2,4,1 6. L为圆周x2y2a2（a0），则ex^2y^2dsea^22a

Lxn7. 幂级数(1)nn1n的收敛半径为1

C1xC2

8. 微分方程yex的通解为yex二、 计算下列函数的导数或微分（2×6=12分） 1. 设zarctanu, uxy,vxy，求dz。

v解：

zx11u2v21v11uv2uu2v2vuu2v2yx2y2（3分）

zy11u21v11u2vuuv22v2xxy22（2分）

v2v2第 43 页 共 49 页

dzyxy22dxxxy22dy（1分）

2. 设xlnz，求z和z。

zyxy解：

F(x.y.z)xzln0（1zy分） 则 Fx1，Fyzyzzy2=1，Fzyxz21 z （3

F分）zxzxFzxzFyzz2 （2

yFzy(xz)分）

三、 计算下列函数的积分（4×7=28分） 1.

xyd，其中D:xD2y2a2(a0)第一象限部分。

4分4a解：原式2drsincosdr008a3(3分)

2.

x2y2z2dV，其中是由球面x2y2z2z所围的闭区域。

4分解：原式03.

2d20d0cosrsindr310（3分）

Ley^2dxxdy，其中L为x1,y1所围成的矩形域边界线的正向。

y^2解：原式(12yeD)dxdy3分1dxdy4（4分）

D（由对称性得2yey^2dxdy0）

D4.

其中为平面x0,y0,z0,xyz1所围成xydydzyzdzdxxzdxdy，

的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。 解：原式(xyz)dV3分10dx01xdy01xy(xyz)dz3分10dx01x1分11(xy)2()dy 228四、 解下列微分方程（2×7=14分） 1. 求微分方程(y3)dxcotxdy0的通解。

第 44 页 共 49 页

解：dydxy3，1dytanxdx，（3y3cotx分）lny3lncosxC，（3分）

yCcosx3（C为任意常数）（1分）

2. 求微分方程yy4ex的通解。

解：yy0，r210，r1，Y(x)C1exC2ex（3分） 设y*(x)axex，a2，y*(x)2xex（3分） y(x)Y(x)y*(x)C1exC2ex2xex（1分） 五、 级数的应用（2×8=16分）

1. 将f(x)ln(4x)展开成x的幂级数，并指出收敛域。 解：114x41(1)nnxx4n04n141 x(4,4)（3分）

(1)n1n1ln(4x)ln4dxxn104xn0(n1)4x

ln(4x)ln4n0(n1)4n1xn1（4分）x(4,4]（1分）

(1)n2. 将函数f(x)1(0x)展开成正弦级数。

解：f(x)作奇延拓展成正弦级数，an0,n(0,1,2,3,)，（2分）

4,n1,3,5,22bnsinnxdx(1cosn)[1(1)n]n（4

0nn0,n2,4,6,2分）

f(x)sin(2n1)x x(0,)（2分） 2n1n1n41六、 证明：limn(bn)nlimbnnb，（4分）得当b时收敛；当b时发

散。（2分）

第 45 页 共 49 页

班级： 姓名密 ： 学 号 ： 封 试 题 共 线 页 加白纸 张

GDOU-B-11-302

广东海洋大学 2009—2010学年第一学期

《高等数学Ⅱ》课程试题

考试

√ A卷

√ 闭卷

课程号： 19221102

√□ 考查

□ B卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 27 24 35 8 6 \\ \\ \\ \\ \\ 100 实得分数

一. 填空题：（3分9=27分）

1.当 x0 时，tan2x为sin5x的 阶无穷小。

2.曲线y2x2x1在(1,3)处的切线方程为 。 3.假定f(xf(x0)f(x02x)0)存在，则limx0x 。

4.函数yx24x23x2可去间断点为x 。

exa,x05.设f(x)sinxx,x0，则当a 时，f(x)在x0 处连续。

6.函数连续是函数可导的 条件。 7. d()13xdx 。 8. ye2x3x,求y 。 9. lim(123nnn2n2n2n2) 。

第 46 页 共 49 页

班级： 姓名密 ： 二.计算下列极限 （6分4=24分）

1. lim(1x2x)3x

2.lim(x22xx2xx)

3. lim(secxtanx)

x24. limtanxx2sinx

x0x三.计算下列函数的导数或微分（7分5=35分）

1.函数yf(x)由方程ysinxcos(xy)0确定，求y。

ysinxycosxsin(xy)(1y

2.设yf(u)存在，yf(sin3x),求dydx。 3.设yln(arctanxx)，求dy。

4.设yxtanx (x0)，求

dydx。 xt21d25.设，yy3t3求dx2。 四.求函数yx36x29x5的单调区间与极值。（8分）

五.证明: 方程x36x212x10在(0,1)区间内有唯一实根. (6分)

GDOU-B-11-302广东海洋大学 2009—2010学年第一学期

《高等数学Ⅱ》课程试题

课程号： 19221102

√ 考试

□ A卷

√ 闭卷

□ 考查

√ B卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 27 24 35 8 6 \\ \\ \\ \\ \\ 100 第 47 页 共 49 页

实得分数

一. 填空题：（3分9=27分）

1.当 x2 时，x2为x24 阶无穷小。

2.曲线y2x2x1在(1,3)处的法线方程为 。 3.假定f(x)存在，则limh0f(x)f(x2h) 。

h2x4无穷间断点为x 。 4.函数yx23x212,x0xsin5.设f(x),则当a 时,f(x)在x0处连续。 xxa,x06. 函数可导是函数连续的 条件。 7. d()2xdx

8. yln(1x),求y 。 9. lim(n123n2n2n2n) 。 n2

二.计算下列极限 （6分4=24分） 1.lim(x23xx22x)

x2. lim(1x12x) x2

3. lim(secxtanx)

x24. lim

sinxx

x0x2tanx第 48 页 共 49 页

三.计算下列函数的导数或微分（7分5=35分） 1.函数yf(x)由方程xyexy 确定，求y。 2.设yf(u)存在，yf(cos3x),求3.设yln(arctanxx)，求dy。 4.设y(1x2)tanx (x0)，求

dy。 dxdy。 dxx3etd2y5.设，求。 2tdxy2e四.求函数y2x33x24的单调区间与极值。（8分）

五.证明： 方程x33x23x20在(0,1)区间内有唯一实根.(6分)

第 49 页 共 49 页