《图形的平移与旋转》专题专练

专题一：确定图形变换后的坐标

把图形放在平面直角坐标系中，利用点的坐标，可进行图形的变换或确定图形的位置与形状，解答这类问题，是数与形结合的体现，有利于提高综合运用知识的能力．现以坐标系中的平移与旋转的图形变换为例加以说明．

例1 如图1，在△AOB中，AO＝AB．在直角坐标系中，点A的坐标是（2，2），点O的坐标是（0，0），将△AOB平移得到△A′O′B′，使得点A′在y轴上，点O′、B′在x轴上．则点B′的坐标是 ．

析解：因为△AOB是等腰三角形，容易得到B点坐标为（4，0），将△AOB平移得到

△A′O′B′，使得点A′在y轴上，是将图形向左平移2个单位长度．根据平移特点，平移后对应线段相等，因此点B也向左平移2个单位长度，所以点B′的坐标为（2，0）．

例2 已知平面直角坐标系上的三个点O（0，0），A（1，1），B（1，0），将△ABO绕点O按顺时针方向旋转135°，则点A，B的对应点坐标为A1（ ， ），B1（ ， ）．

析解：建立如图2所示的直角坐标系，则OA＝2，所以OA1＝OA＝2，所以点A1的坐标是（2，0）．因为∠AOB＝45°，所以△AOB是等腰直角三角形，所以△A1OB1是等腰直角三角形，且OA1边上的高为

222，所以B1． ，222练习一：1．如图3，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是（ ）．

>

（A）（3，2） （B）（2，2）

（C）（3，0）

（D）（2，1）

2．如图4，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是（－4，2）、（－2，2），右图案中左眼的坐标是（3，4），则右图案中右眼的坐标是 ．

3．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2＝2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是 ．

4．如图5，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（－1，－1）．

（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形，并写出点B1的坐标；

（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形，并写出点B2的坐标．

）

专题二：图形的变换分析

分析图形的变换一般选择合适的“基本图形”，然后由平移、旋转的定义考查

这一基本图形变换到另一个基本图形的运动方式是平移还是旋转，以及运动的距离或角度是多少，并由性质进行检验判断的正确性．

例1 将图1方格纸中的图形绕O点顺时针旋转90°得到的图形是（ ）．

析解：注意图案中的每一个直角三角形顺时针旋转90°后相对应的直角边是否垂直即可判断哪个正确，故选择（B）．

例2 将如图2中的正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（ ）．

析解：注意观察图2中两个等腰直角三角形相应的直角边在同一条直线上（或观察斜边间关系），显然选项（B），（D）是错误的；又因为图2中的两个等腰直角三角形成中心对称图形，则旋转后能互相重合，则选项（A）是错误的，故选择（C）．

练习二：1．将如图3的叶片图案旋转180°后，得到的图形是（ ）．

:

图3

2．如图4，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点 O，对△ABC分别作下列变换：①先以点A为中心顺时针方向旋转 90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O为中心作中心 对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°；③先以 直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点 为中心顺时针方向旋转90°．其中，能将△ABC变换成△PQR的是

（ ）．

（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③

:

专题三：平移与旋转变换作图

平移与旋转的作图要抓住两个关键点：（1）平移（旋转）的方向；（2）平移

（旋转）的数量（指距离、角度）．基本方法是选取图形中的关键点作出它们的对应点，利用“局部带整体”得到变换后的图形．

典例：如图1，在网格中有一个四边形图案． （1）请你画出此图案绕点O顺时针方向旋转 90°，180°，270°的图案，你会得到一个美 丽的图案，千万不要将阴影位置涂错； （2）若网格中每个小正方形的边长为1，旋转 后点A的对应点依次为A1、A2、A3，求四边形 AA1A2A3的面积；

（3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．

.

析解：只要同学们动手画图，即可得到答案． （1）正确画出图案，如图2；

1（2）如图2，S四边形AA1A2A3S四边形BB1B2B34S△BAA3(35)243534，

2故四边形AA1A2A3的面积为34；

（3）结论：AB2+BC2＝AC2（或勾股定理：在直角三角 形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）．

1由（2）中的面积计算公式，可知（AB+BC）2=4×

2×AB×BC+AC2．整理后，可得到上面的结论．

练习三：1．如图3所示，画出三角形ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形是（画在图上）．

$

2．观察如图4网格中的图形，解答下列问题：

（1）将网格中图沿水平方向向右平移，使点A移至点A′处，作出平移后的图形；

（2）在（1）中移动后的图形上再增加适当的线，组成一个新的图形，使这个新图形是中心对称图形，或是轴对称图形．

专题四：聚焦旋转中的角度问题

旋转总是某一个图形绕着一个固定点按圆形或弧形轨道运动．旋转变换位置发生变化，形状、大小不发生变化．旋转前后对应线段、对应角分别相等；旋转过程中，每一个点都绕旋转中心沿相同的方向旋转相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．

例1 绕一定点旋转180°后能与原来的图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形，小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数： ．

析解：正六边形是中心对称图形，若把正六边形的各顶点与对称中心连接起来，易看出正六边形是由一个正三角形连续旋转5次，其旋转角度为60°而得到的或是相邻两个等边三角形连续旋转2次，其旋转角为120°而得到的．故小明发现的一个旋转角的度数为

。

60°或120°．

例2 如图1所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．

（1）三角尺旋转了多少度（2）连接CD，试判断△CBD的形状；（3）求∠BDC的度数．

析解：（1）因为旋转后点A与CB的延长线上的点E重合，∠ABC＝30°，所以根据旋转的意义知，∠ABE＝180°-30°＝150°，即旋转了150°；（2）由旋转的性质知BC＝BD，故△CBD为等腰三角形；（3）因为BD＝BC，所以∠BCD＝∠BDC．

又∠DBE＝∠ABC＝30°，∠DBE＝∠BCD＋∠BDC，故∠BDC＝例3 如图2，△ABE和△ACD都是等边三角形，△EAC 旋转后能与△ABD重合，EC与BD相交于点F．则∠DFC的 度数为．

析解：由旋转图形的对应角相等，得∠ADB＝∠ACE，根据

<

1∠DBE＝15°． 2

对顶角相等，得∠AMD＝∠FMC．借助三角形内角关系，得

∠DFC=∠DAC．再把已知条件中的等边三角形转化为角度关系， 容易得到∠DFC＝∠DAC＝60°．

练习四：1．如图3，△ABC，△ACD，△ADE是三个全等的正三角形，那么△ABC绕着顶点A沿逆时针方向至少旋转，才能与△ADE完全重合．

针方向旋转60°后得到△AB′C′则∠BAC′等于（ ）．

（A）60° （B）105° （C）120° （D）135°

2．如图4，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，将△ABC绕顶点A逆时

专题五：图形变换中的线段问题

通过各种图形的平移和旋转可知图形平移的主要因素是移动的方向和移动的距离；旋转中对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角相等，从而寻找图形变换过程中的一些隐含关系．

例1 )

例2

如图1，△ABC是直角三角形，BC是斜边，

将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合， 如果AP＝3，那么PP′的长等于 ．

析解：由旋转的性质及题意可知，AP＝AP′， ∠PAP′=90°，所以△APP′是等腰直角三角形．

由勾股定理可知：PPAP2AP232321832． 例2 如图2，桌面上直线l上摆放着两块大小相同 的直角三角板，它们中较小直角边的长为6cm，较小锐 角的度数为30°．

（1）将△ECD沿直线l向左平移到图3（1）的位置，

[

使E点落在AB上，你能求出平移的距离吗试试看．

（2）将△ECD绕点C逆时针方向旋转到图3（2）的位置，使E点落在AB上，请求出旋转角的度数．

析解：（1）根据平移的性质可知CC′的长为平移的距离．

在Rt△E′BC′中，因为∠BE′C′＝30°，设BC′＝x，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，可知BE′＝2x，由勾股定理可求x＝BC′=23，所以CC′=（623）cm．即平移的距离为（623）cm．

（2）根据旋转的性质可知，BC＝CE′，而∠ABC＝60°，所以△BCE′为等边三

角形，而∠ECE′为旋转角，所以旋转角∠ECE′为30°．

练习五：1．如图4，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在B′处，则BB′的长度为 ．

2．如图5，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为，∠APB＝ ．

3．如图6，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为 ．

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专题六：利用图形变换求面积

利用图形变换的特征（即平移、旋转前后图形的的形状、大小都不发生变化）求解有关面积问题，可以收到事半功倍之效，现举例如下．

例1 如图1，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和4，那么图中阴影部分的面积为 ．

析解：将图1中两阴影部分平移到一起，如图2，得长方形ABCD，易知该长方形的长AD为小正方形边长，宽CD为两个正方形边长之差．

因此，只需求出两个正方形边长，则阴影部分面积就不难求出了． 因为大正方形的面积为9，小正方形的面积为4，所以，大正方形的边长为3，小正方形的边长为2，所以图中阴影部分的面积为2×（3－2）＝2．

例2 如图3，矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（ ）．

（A）bcabacc2

$

（B）abbcacc2

（C）bcabacc2

（D）b2bca2ab

析解：让我们先看这样一个事实：图4中阴影部分的平行四边形和长方形的宽都是c，大长方形的宽是b，依据平行四边形、长方形的面积公式，显然阴影部分的平行四边形和长方形的面积都是bc．这样可以发现，只要把图3中两个阴影部分平移成图5所示的图形，则空白部分面积就可求出来．这样图3中四块空白图形可组成长为（a-c），宽为（b-c）的矩形．因此，空白部分的面积为

(ac)(bc)abbcacc2，故选（B）．

例3 如图6，三个圆是同心圆（圆心相同），则图中阴影部分的面积

为 ．

析解：将最里面的阴影部分按顺时针旋转180°，再把第二层的阴影部分按顺时针旋转90°后，与最外层的阴影部分组成了一个四分之一的圆的面积，即如图

117，所以图中阴影部分的面积为：πr2π．

44练习六：如图8，长方形ABCD中表示一块草坪，点E、F分别在边AB、CD上，BF∥DE，四边形EBFD是一条水泥小路，若AD＝12米，AB＝7米，且BE＝2米，则草坪的面积为 ．

！

参考答案：

练习一：1．C 2．（5，4） 3．(1，3)

4．作图略．（1）B1的坐标(9，（2）B2的坐标（5，5） 1)；练习二：1．D 2．D 练习三：1．作图略． 2．（1）如下图所示：

（2）新图形是轴对称图形．答案不惟一． 练习四：1．120

2．B

练习五：1．25（提示：OB22125，所以BB2OB25）

150（提示：2．6，连接PP，可说明△APP为等边三角形，所以APPP6，

又利用勾股定理可得△BPP为直角三角形，且∠BPP90，可求

∠APB9060150）

3．32 练习六：60平方米．