公因数和公倍数
问题1、（1）既是30的因数，又是45的因数的数共有几个？其中最大的数是多少？ （2）既是30的倍数，又是45的倍数的数，最小是多少？ 想：（1）既是30的因数，又是45的因数的数，就是30和45的公因数，其中最大的就是30和45的最大公因数；（2）既是30的倍数，又是45的倍数的数就是30和45的公倍数，其中最小的数就是30和45的最小公倍数。 解：（1）30和45的公因数有：1，3，5，15共四个，其中最大的是15；
（2）30和45的公倍数有：90，180，270等等，其中最小是90。 试一试：
1、 既是28的因数，又是42的因数的数有几个？其中最大的数是多少？
2、 既是30的倍数，又是45的倍数，还是75的倍数的数，最小是多少？
问题2、三个连续自然数的最小公倍数是168，那这三个连续自然数的和是多少？ 解析：要求三个连续自然数的和，就要把这三个自然数求出来，而这三个连续自然数的最小公倍数是168，可先把168分解质因数168＝2×2×2×3×7，根据168的质因数的情况可以肯定其中一个是7，（为什么不可能是14）因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能，而7、8、9这三个数任两个数公因数都是1，故这三个连续自然数只能是6、7和8。（经检验正确）它们的和是6＋7＋8＝21。 答：这三个连续自然数是6、7、8。它们的和是21。
试一试：1、三个连续自然数的最小公倍数是660，那么这三个连续自然数各是几？
2、四个连续自然数的最小公倍数是504，那么这四个自然数的和是多少？
3、三个连续自然数的和是27，这三个连续自然数的最小公倍数是多少？
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问题3、有一种长60厘米，宽45厘米的长方形砖，用这样长方形砖铺地，至少要用多少块这样的砖，才能铺成一块正方形？
想：用长60厘米，宽45厘米的砖铺成一块正方形，这个正方形的边长既是60的倍数，也是45的倍数，也就是60和45的公倍数，因此正方形的边长是180厘米，由此容易求得一共用的地砖块数。
解：[60、45]＝180 （180÷60）×（180÷45）＝12（块） 答：至少要用12块这样的砖，才能铺成一块正方形。 试一试：
1、 一种长45厘米，宽30厘米的长方形塑料板，拼成一个正方形，至少要用这种
塑料板多少块？
2、 一种纸片长1分米4厘米，宽8厘米，用这种纸片拼一个正方形，至少要多少
块这样的纸片？拼成的正方形的面积是多少？
问题4、某班学生排队做操，如果每排3人，少了1人；如果每排5人，就多出2人；如果每排6人，就多出2人。这个班至少有多少人？
想：如果把每排3人，就少了1人，转化成每排3人，也就是多了2人，这样就把这个班分别排成每排3人、5人、6人都统一成多出了2人。如果把这个班的人数减去2人，那么这个班的学生人数正好是3、5和6的倍数，也就是3、5和6的最小公倍数，然后加上多出的2人就是这个班的学生人数。
解：[3、5、6]＝30 ， 30＋2＝32（人） 答：这个班至少有32人。 试一试：
1、 有一个自然数，除以10余7，除以6余3，除以4余1。这个自然数最小是多少?
2、 五年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，9人一
行少7人。五年级至少有多少个同学排队做操？
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3、 一篮鸡蛋，每2个一数多1个；每3个一数少2个；每4个一数多1个；每5
个一数少4个；每6个一数多1个。这篮鸡蛋最少有多少个？
问题5、五（2）班同学共38人。一天上体育课，排成一列横队，都面向老师站，然后按1，2，3，4……36，37，38报数，老师要求学生按如下的步骤进行操作：（1）先让报数是3的倍数的同学向后转；（2）再让报数是5的倍数的同学向后转。经过这两步操作后，还有多少名同学仍面向老师？ 解析：报数是3的倍数的同学有：38÷3≈12（人），报数是5的倍数的同学有：38÷5≈7（人），但要注意的是，报数是3和5的公倍数的同学有38÷（3×5）≈2（人），而这2人转了2次，又面向了老师，所以经过两步操作后，背对老师的同学共有12＋7－2×2＝15（人），这时仍有38－15＝23（名）同学面对老师。
答：经过这两步操作后，还有23名同学仍面向老师。 试一试：
1、 五（1）班同学有47人，一天上体育课，排成一列横队，都面向老师，然后按1、
2、3、4……46、47报数，老师要求学生按如下的步骤操作：（1）先让报数是3的倍数的同学向后转；（2）再让报数是5的倍数的同学向后转。经过这两步操作后，还有多少名同学面向老师？
2、 五（3）班有31名同学，一天上体育课，排成一列横队，都面向老师，然后按1、
2、3……30、31报数，老师要求：（1）先让报数是4的倍数的同学向后转；（2）再让报数是5的倍数的同学向后转。经过这两步操作后，还有多少名同学面向老师？
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综合练习 （A组）
1、 既是42的因数，又是63的因数的数，共有多少个？其中最大的数是几？ 2、 既是42的倍数，又是63的倍数的数，最小是多少？
3、 三个连续自然数的和是42，这三个连续自然数的最小公倍数是多少？
4、 三个连续偶数的最小公倍数是420，这三个连续偶数各是多少?
5、 把一根长60厘米的木条，从木条的一端每隔3厘米作一记号，每隔5厘米也作
一记号，然后沿这些记号锯开，问一共把这根木条锯成多少段？
6、 五（4）班有43名同学。一天上体育课，排成一列横队，都面向老师站，然后
按1、2、3……42、43报数，老师要求生按如下的步骤操作：（1）先让报数是3的倍数的同学向后转；（2）再让报数是4的倍数的同学向后转。经过这两步操作后，还有多少名同学仍面向老师？
7、 一袋糖果平均分给15个小朋友，则余下6块；如果平均分给20个小朋友，则
少14块，这袋糖果至少有多少块？
8、 有一批苹果，总数在1000个以内，如果每24个装一箱，最后一箱缺2个；如
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果每28个装一箱，最后一箱装了26个；如果每32个装一箱，最后两箱都只有31个，这批苹果共有多少个？
9、 用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把木棍
分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿着这些红记号把木棍据开，一共锯成了多少段？
（B组）
1、 两个不同自然数的最小公倍数是48，这两个数可能是几？（写出所有可能）
2、 两个自然数的最大公约数是5，最小公倍数是300，其中一个数是75，求另一个
数。
3、 六年级的人数在80～110之间。如果每8人分一组，那么有一个小组多5人；
如果每12人分一组，那么有三个小组各少1人。六年级共有学生多少人？
4、 把150枝铅笔、125本练习本和75册故事书，最多可以分成多少份同样的奖品，
在每份奖品中，有铅笔几枝？练习本几本？故事书几册？
5、 甲、乙两数都只含有质因数2和3，它们的最大公约数是18，甲有12个因数，
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乙有10个因数，求这两个数。
6、 已知两个自然数的差为2，它们的最大公约数与最小公倍数之和为42，求这两
个自然数。
7、 一个班级有54名同学。体育课上面向老师排成一排，然后按1、2、3……52、
53报数，老师要求生按如下的步骤操作：（1）先让报数是2的倍数的同学向后转；（2）再让报数是3的倍数的同学向后转；（3）最后让报数是5的同学向后转。经过这三步操作后，还有多少名同学仍面向老师？
8、 现有四个自然数，它们的和是1111。如果要求这四个自然数的最大公因数尽可
能大，那么这四个数的最大公因数最大可能是多少？
9、 在96米长的距离内挂红、黄、蓝三种颜色的气球，黄气球每隔6米挂一个，蓝
气球每隔4米挂一个。如果黄气球和蓝气球重叠的地方就改挂一个红气球，那么，除两端外，中间挂有多少个红气球？
10、已知A和B的最大公因数是10，A与C，B与C的最小公倍数都是90，问满足此条件的自然数A、B、C共有多少组？
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