(完整word版)数学建模作业

院 系: 数学学院 专 业： 信息与计算科学 年 级： 2014级 学生姓名： 王继禹 学 号： 201401050335 教师姓名： 徐霞

1、考察温度x对产量y的影响,测得下列10组数据：

温度（℃） 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 (完整word版)数学建模作业

产量（kg） 13.2 15。1 16.4 17。1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24。3 求y关于x的线性回归方程,检验回归效果是否显著，并预测x=42℃时产量的估值及预测区间(置信度95%）.

解：

(1)输入数据：

x=[20 25 30 35 40 45 50 55 60 65］'; X=［ones(10,1) x］;

Y=［13。2 15。1 16.4 17.1 17。9 18。7 19.6 21。2 22。5 24.3］’;

(2） 回归分析及检验：

输入以下命令：

[b,bint,r，rint,stats]=regress(Y，X） 得结果： b = 9.1212 0.2230 bint =

8。0211 10.2214 0.1985 0。2476 stats =

0。9821 439。8311 0。0000 0.2333

即09.1212,10.223 ，0 的置信区间为[8。0211，10。2214], 1 的置信区间为[0。1985，0.2476］，R0.9821,F439.8311,p0.0000 ，p<0。05, 可知回归模型

2y9.12120.223x成立。 y关于x的线性回归方程的回归效果是显著的。

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(3） 残差分析，作残差图：

在(2）输入命令得出结果的基础上，再输入命令： rcoplot（r，rint) 得到残差图1：

图1

从残差图图1可以看出，所有数据的残差离零点均较近,且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型能较好地符合原始数据。

(4)预测及作图

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在(3）的命令基础上，再输入以下命令： z=b(1)+b（2)*x 再输入作图命令：

plot(X，Y,’k+’，X，z,'r')

得到各数据点及回归方程的图形如图2.

图2

结论：由图2可以看出回归直线很好的拟合了所有数据点.

（5）计算当x=42℃时，产量的估值及预测区间： 在(4）的命令基础上,输入以下程序: x=42；

〉〉 z0=b（1）+b(2）*x

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得结果： z0 = 18。488

所以,当x=42℃时，产量的估值为18.488kg及预测区间为[16。3581，20。6206］ （置信度95%）。

2、某零件上有一段曲线，为了在程序控制机床上加工这一零件，需要求这段曲线的解析表达式，在曲线横坐标xi处测得纵坐标yi共11对数据如下： xi yi 0 0.6 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2。0 4.4 7。5 11.8 17。23.3 31。39.6 49.7 61.7 1 2 求这段曲线的纵坐标y关于横坐标x的二次多项式回归方程. 解：

（1） 输入数据：

x=[0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20］；

y=[0.6 2。0 4.4 7.5 11.8 17。1 23。3 31。2 39.6 49。7 61。7]；

(2）作二次多项式回归： ［p,s］=polyfit(x，y，2) 得结果: p =

0。1403 0。1971 1.0105 S =

R： ［3x3 double］ df: 8

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normr: 1。1097

即这段曲线的纵坐标y关于横坐标x的二次多项式回归方程为

y0.1403x20.1971x1.0105

（3） 预测及作图

在matlab中输入的程序：

x=［0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20］；

y=［0。6 2.0 4。4 7。5 11。8 17。1 23。3 31。2 39。6 49.7 [p,s］=polyfit（x,y，2） 得出结果再输入： Y=polyconf(p,x，S); 得出结果再输入：

plot（x，y，’k+’,Y,'r'）

得到试验点与回归曲线的图形(图3）.

图3

61.7］； (完整word版)数学建模作业

3．某校60名学生的一次考试成绩如下: 93 88 75 76 75 86 66 90 83 83 85 89 93 96 70 71 91 81 94 66 85 79 84 86 84 97 83 73 82 78 82 80 77 75 80 94 76 67 78 79 77 69 74 78 95 68 73 77 94 84 76 63 89 83 70 53 91 81 86 55 (1) 计算均值,标准差，极差，偏度,峰度,画出直方图； (2) 检验分布的正态性;

(3) 若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数.

解：在MATLAB中建立m文件：Untitled.m输入数据：

x1=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91］; x2=［88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81］; x3=[75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86］; x4=［76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55]； x=［x1 x2 x3 x4］；

(1）计算均值，标准差,极差，偏度,峰度,画出直方图 均值：j=mean（x） 标准差：b=std（x) 偏度：p=skewness（x） 峰度：f=kurtosis（x) 建立M文件： Untitled2.m：

x1=［93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91];

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x2=[88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81］; x3=［75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86］; x4=[76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55］； x=[x1 x2 x3 x4］； j=mean（x) ％¾ùÖµ b=std(x） ％±ê×¼²î p=skewness(x） ％Æ«¶È f=kurtosis（x) ％·å¶È

结果： Untitled2 j =

80.1000

b = 9.7106

p = -0.4682

f =

3。1529

极差：

用z表示极差。

编写M文件：Untitled1.m

x1=［93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91]；

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x2=[88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81]; x3=[75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86]； x4=[76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55］； X=[min（x1)；min（x2)；min（x3)；min（x4)］; Y=［max（x1);max（x2）；max（x3）;max(x4）]； z=max（Y)-min（X) 运行结果： z =

44

画出直方图：

描绘直方图的命令：hist（data，k); 建立m文件：Untitled3.m

x1=［93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91］； x2=［88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81］； x3=[75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86]； x4=［76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55]; x=［x1 x2 x3 x4］； hist（x，10）

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图4 频数直方图

从图4可以知道，学生成绩可以大致看作近似服从正态分布.

（2) 检验分布的正态性 在Matlab中输入命令：

x1=［93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91］; x2=［88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81]； x3=[75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86］； x4=［76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55］; x=[x1 x2 x3 x4］;

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normplot(x） 运行结果：

从图5可以看出，数据基本分布在一条直线上，故初步可以断定学生考试成绩为正态分布.

图5 正态概率图

（3) 若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数 在基本确定数据的分布后，就可以进行该数据的参数估计。 ［muhat,sigmahat,muci，sigmaci]=normfit（x） 在matlab中输入命令：

〉〉 x1=［93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91]; x2=[88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81］；

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x3=[75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86］; x4=[76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55]； x=[x1 x2 x3 x4]；

>> ［muhat,sigmahat,muci,sigmaci］=normfit（x） 运行结果： muhat = 80。1000

sigmahat = 9.7106

muci = 77.5915 82.6085

sigmaci = 8。2310 11。8436

估计出学生成绩的均值为80，标准差为10，均值的0.95置信区间为［77。6，82.6]，标准差的0.95置信区间为[8.2，11.8]。

已知60名学生的成绩服从正态分布，现在在方差未知的情况下，检验其均值m是否等于80. 在matlab中的命令如下: [h，sig,ci]=ttest(x,80) 程序:

>> x1=［93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91］；

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x2=[88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81］； x3=[75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86］; x4=[76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55]; x=［x1 x2 x3 x4］； 〉> [h,sig，ci]=ttest(x,80) 结果： h = 0

sig =

0.9367

ci =

77。5915 82.6085

说明：h =0，sig=0.9367，ci=[77。5915 82。6085］. 检验结果

（1）布尔变量h=0,表示不拒绝零假设,说明提出的假设学生成绩均值80是合理的。 （2）95％的置信区间为[77。6,82.6］,它完全包括80，且精度很高. (3)sig的值为0。9367，远超过0.5,不能拒绝零假设. 所以,可以认为学生成绩的平均成绩为80.