第六章 不 等 式
第1课时 一元二次不等式及其解法
掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系并能灵活运用．
2
1. (必修5P77练习2(2)改编)不等式3x－x－4≤0的解集是__________.
4
答案：x|－1≤x≤
3
42
解析：由3x－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤. 3
2
2. (必修5P75例1(1)改编)不等式2x－x－1>0的解集是________．
1 x|x<－或x>1答案：
2
12
解析：∵ 2x－x－1>0，∴ (2x＋1)(x－1)>0，∴ x>1或x<－.
2
2
3. (必修5P77练习3(1)改编)不等式－x－2x＋3>0的解集为__________． 答案：{x|－3 解析：原不等式可化为x＋2x－3<0，得－3 4. (必修5P80习题8(2)改编)已知不等式x－2x＋k－3>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是________． 答案：k>2或k<－2 2 解析：由Δ＝4－4(k－3)<0，解得k>2或k<－2. 1122 5. 已知不等式ax－bx－1≥0的解集是－，－，则不等式x－bx－a＜0的解集是 32 ________． 答案：{x|2 解析：由题意知－，－是方程ax－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得 23 11b－＋－＝，23aa＝－6，22 解得不等式x－bx－a＜0即为x－5x＋6＜0，解得2 ① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.② 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③ 会解含参数的一元二次不等式． 1. 一元二次不等式的解法 22 在二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)中，令y＝0，得到一元二次方程ax＋bx＋c＝ 2 0(a≠0)．若将等号“＝”改为不等号“＞”或“＜”，便得到一元二次不等式ax＋bx＋c＞ 2 0(或＜0)．因此，可以通过y＝ax＋bx＋c(a≠0)图象与x轴的交点求得一元二次不等式的解，具体如表所示： 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 2 2. 用一个流程图来描述求解一元二次不等式ax＋bx＋c>0(a>0)的算法过程 1 一元二次不等式的解法 2 1 解关于x的不等式：ax＋(a－2)x－2≥0. 解：① 当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 22② 当a＞0时，原不等式化为x－(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1. aa 2③ 当a＜0时，原不等式化为x－(x＋1)≤0. a 22当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； aa2 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； a22 当＜－1，即a＞－2时，解得≤x≤－1. aa 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为22 x|x≥或x≤－1；当－2＜a＜0时，不等式的解集为x|≤x≤－1；当a＝－2时，不等式 aa 2 的解集为{x|x＝－1}；当a＜－2时，不等式的解集为x|－1≤x≤. a 变式训练 2 解关于x的不等式：ax－ax＋1＜0. 解：当0≤a≤4时，解集为； 22 a－a－4aa＋a－4a 当a＞4时，＜x＜； 2a2aa－a－4aa＋a－4a 当a＜0时，x＜或x>. 2a2a , 2 一元二次不 等式的恒成立问题) 2 , 2) 设函数f(x)＝mx－mx－1. (1) 若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围； (2) 若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 2 解：(1) 要使mx－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0； m<0， 若m≠0，则解得－4 综上，－4 123mx－＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立． 24 123(解法1)令g(x)＝mx－＋m－6，x∈[1，3]． 24 当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数， 所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0， 66 所以m<，所以0 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)⇒m－6<0， 所以m<6，所以m<0. 6综上所述，m的取值范围是－∞，. 7 2 2 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 13 (解法2)因为x－x＋1＝x－＋>0， 24 2 2 62 m(x－x＋1)－6<0，所以m<2. x－x＋1 6666 因为函数y＝2＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可， x－x＋1277 x－1＋324 6所以m的取值范围是－∞，. 7 变式训练 2 已知函数f(x)＝x＋ax＋3. (1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围． 2 解：(1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，即x＋ax＋3－a≥0对任意实数x恒成立，则Δ2 ＝a－4(3－a)≤0，解得－6≤a≤2，∴ 实数a的取值范围是[－6，2]． 2 (2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，即x＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2，2]恒成 2 立，令g(x)＝x＋ax＋3－a， Δ>0，Δ＞0， aa ∴ Δ≤0或－＜－2，或－＞2， 22g（－2）≥0g（2）≥0， 解得－7≤a≤2. ∴ 实数a的取值范围是[－7，2]． , 3 三个二次之 间的关系) 2 , 3) (1) 已知函数f(x)＝x＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若 关于x的不等式f(x) x＋2x＋a (2) 已知函数f(x)＝.若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的 x 取值范围是_________． 答案：(1) 9 (2) {a|a>－3} 2 a2a2 解析：(1) 由题意知f(x)＝x＋ax＋b＝x＋＋b－. 42 ∵ f(x)的值域为[0，＋∞)， 22aa∴ b－＝0，即b＝， 44 a2∴ f(x)＝x＋. 2 a2∵ f(x) 即－－c －－c＝m ①，2 ∴ a －＋c＝m＋6 ②.2 ②－①，得2c＝6，∴ c＝9. 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 x＋2x＋a2 (2) ∵ x∈[1，＋∞)时，f(x)＝>0恒成立，即x＋2x＋a>0恒成立， x 2 即当x≥1时，a>－(x＋2x)＝g(x)恒成立． 22 而g(x)＝－(x＋2x)＝－(x＋1)＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴ g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3. ∴ 实数a的取值范围是(－3，＋∞)． 备选变式（教师专享） 1122x|－ 答案： {x|－2＜x＜3} 112 解析：∵ x＋px＋q＜0的解集为x|－ 112 ∴ －，是方程x＋px＋q＝0的两实数根， 23 111－＝－p，p＝，326 由根与系数的关系得解得 111q＝－.×－＝q， 632 12122 ∴ 不等式qx＋px＋1＞0可化为－x＋x＋1>0，即x－x－6＜0，解得－2＜x＜3， 66 2 ∴ 不等式qx＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}． , 4 一元二次不 等式的应用) , 4) 一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关 系为p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x(元)． (1) 该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？ (2) 当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 2 解：(1) 由题意知，月利润y＝px－R，即y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x＋130x－500. 22 由月利润不少于1 300元，得－2x＋130x－500≥1 300，即x－65x＋900≤0，解得20≤x≤45，故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1 300元． 6523 2252 (2) 由(1)得，y＝－2x＋130x－500＝－2x－＋， 22 由题意知，x为正整数，故当x＝32或33时，y最大为1 612， 所以当月产量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为1 612元． 备选变式（教师专享） 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝ 2 －0.4x＋4.2x－0.8，0≤x≤5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题． 10.2，x>5， (1) 要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围内？ (2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ 解：依题意，G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，则 2 －0.4x＋3.2x－2.8，0≤x≤5，f(x)＝ 8.2－x，x>5. (1) 要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0， 2 当0≤x≤5时，解不等式－0.4x＋3.2x－2.8>0， 2 即x－8x＋7<0，得1 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 当x>5时，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2，∴ 5 (2) 当0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)＋3.6， 故当x＝4时，f(x)有最大值3.6； 而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2， 所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多． 1. (2017·苏州期中)函数y＝ 1－x 的定义域为________． x＋2 答案：(－2，1] 1－x 解析：由≥0⇒－2 2 2. (2017·苏锡常镇一模)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{x|x－6x＋5≤0，x∈Z}，则∁UM＝________． 答案：{6，7} 解析：M＝{x|1≤x≤5，x∈Z}＝{1，2，3，4，5}，而U＝{1，2，3，4，5，6，7}，则∁UM＝{6，7}． 2 3. 函数f(x)＝lg（5－x）的定义域是________． 答案：[－2，2] 222 解析：因为lg(5－x)≥0，所以5－x≥1，x≤4，则－2≤x≤2. 2 －x，x≥0， 4. 已知函数f(x)＝2则不等式f(f(x))≤3的解集为________． x＋2x，x<0， 答案：{x|x≤3} 222222 解析：当x≥0时，f(f(x))＝f(－x)＝(－x)－2x≤3，即(x－3)(x＋1)≤0，解得 22222 0≤x≤3；当－2＜x＜0时，f(f(x))＝f(x＋2x)＝(x＋2x)＋2(x＋2x)≤3，即(x＋2x－ 2222 1)(x＋2x＋3)≤0，即－2＜x＜0；当x≤－2时，f(f(x))＝f(x＋2x)＝－(x＋2x)≤3，解得x≤－2.综上，不等式的解集为{x|x≤3}． 1. 已知函数f(x)＝2若f(3－a)＜f(2a)，则实数a的取值范围是 x－2x，x＜0， ________． 答案：(－3，1) 2 解析：如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减．∵ f(3－a)＜f(2a)， 2 ∴ 3－a＞2a，解得－3＜a＜1. －x－2x，x≥0， 2 2 2. 定义在R上的运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－y)*(x＋y)＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是________． 13答案：－， 22 2222 解析：∵ (x－y)*(x＋y)＝(x－y)(1－x－y)＝x－x－y＋y＜1，∴ －y＋y＜x－x＋1， 31322 要使该不等式对一切实数x恒成立，则需有－y＋y＜(x－x＋1)min＝，解得－＜y＜. 422 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 3. 已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－4x，那么不等式f(x＋2)<5的解集是________． 答案：{x|－7 解析：令x<0，则－x>0，∵ x≥0时，f(x)＝x－4x，∴ f(－x)＝(－x)－4(－x)＝x＋4x.又f(x)为偶函数， 2x－4x，x≥0，2 ∴ f(－x)＝f(x)，∴ x<0时，f(x)＝x＋4x，故有f(x)＝2再求f(x)<5 x＋4x，x＜0. x≥0，x<0， 的解，由2得0≤x＜5；由2得－5 于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，故f(x＋2)<5的解集为{x|－7 4. 已知函数f(x)＝x＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围是________． 2答案：－，1 3 22 解析：由题意，知g(x)＝3x－ax＋3a－5，令φ(a)＝(3－x)a＋3x－5，－1≤a≤1.对 2 φ（1）<0，3x－x－2<0，2 －1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，∴ 即2解得－ 1. 一元二次不等式ax＋bx＋c>0，ax＋bx＋c<0的解就是使二次函数y＝ax＋bx＋c的函数值大于0或小于0时x的范围，应充分和二次函数图象结合去理解一元二次不等式的解集． 2. 解含参数的不等式(x－a)(x－b)>0，应先讨论a与b的大小再确定不等式的解，解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程的根的情况)，三写(写出不等式的解集)． 2 3. 应注意讨论ax＋bx＋c>0的二次项系数a是否为0. 4. 要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想．分类讨论要做到“不重”“不漏”“最简”的三原则．[备课札记] 2 2 2 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 第2课时 二元一次不等式(组)与 简单的线性规划(对应学生用书(文)、(理)95～96 页) 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． ① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 1. (必修5P84练习3改编)点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________． 答案：－7＜a＜24 解析：点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)＜0，解得－7＜a＜24. x－y＋4≥0， 2. (必修5P86练习2(1)改编)不等式组x＋y≥0， x≤3 所表示的平面区域的面积是 ________． 答案：25 解析：直线x－y＋4＝0与直线x＋y＝0的交点为A(－2，2)，直线x－y＋4＝0与直线x＝3的交点为B(3，7)，直线x＋y＝0与直线x＝3的交点为C(3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A(－2，2)，B(3，7)，C(3，－3)为顶点的三角形，所以其面积为S△ABC 1 ＝×5×10＝25. 2 x≥0， y≥0， 3. 设实数x，y满足则z＝3x＋2y的最大值是________． x＋y≤3，2x＋y≤4， 答案：7 解析：由题设可知可行域的四个顶点坐标分别为(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)．因此(3x＋2y)max＝3×1＋2×2＝7. y≥x， 4. (必修5P89练习2改编)设变量x，y满足约束条件：x＋2y≤2，则z＝x－3y的最小 x≥－2， 值为________． 答案：－8 解析：画出可行域与目标函数线，如图可知，目标函数在点(－2，2)处取最小值－8. 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 y≥0， 5. 已知实数x，y满足不等式组y≤x，则z＝2x－y的最大值为________． x＋y－4≤0，答案：8 解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．由图可知z＝2x－y在点A(4，0)处取最大值，即zmax＝8. 1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1) 二元一次不等式表示的平面区域 一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域， y>kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的平面区域， y ③ 若满足，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的平面区域，否则，直线的另一侧区域为不等式所表示的平面区域． (3) 二元一次不等式组表示的平面区域 不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域． 2. 线性规划中的基本概念 名称 定义 约束条件 变量x，y满足的一次不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的线性函数 可行域 约束条件所表示的平面区域称为可行域 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题 问题 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 等式表示的平面区域) y≤x＋1， , 1) 在直角坐标平面内，不等式组y≥0，所表示的平面区域的面 0≤x≤t 3 积为，则t的值为________． 2 答案：1 y≤x＋1， , 1 二元一次不 y＝x＋1，y≥0，解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由解得 x＝t，0≤x≤t 交点B(t，t＋1)．在y＝x＋1中，令x＝0得y＝1，即直线y＝x＋1与y轴的交点为C(0， （1＋t＋1）×t32 1)．由平面区域的面积S＝＝，得t＋2t－3＝0，解得t＝1或t＝－3(不 22 合题意，舍去)． 变式训练 x＋y－2≤0，4 若不等式组x＋2y－2≥0，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m＝________． 3 x－y＋2m≥0答案：1 解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，m＞－1. x＋y－2＝0，x＝1－m，由解得 x－y＋2m＝0，y＝1＋m， 即A(1－m，1＋m)． 24 x＝－m，33x＋2y－2＝0， 由解得 x－y＋2m＝0，22 y＝3＋3m， 112422即B－m，＋m.所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－ 223333 2142 (2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)＝， 333解得m＝－3(舍去)或m＝1. , 2 线性规划问 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 题) x－y＋1≥0， , 2) (1) 设变量x，y满足x＋y－3≥0，则目标函数z＝2x＋3y的最 2x－y－3≤0， 小值为________； x＋y≥0， (2) 变量x，y满足约束条件x－2y＋2≥0，若z＝2x－y的最大值为2，则实数m＝ mx－y≤0.________． 答案：(1) 7 (2) 1 2z 解析：(1) 作出可行域如图所示，目标函数z＝2x＋3y的几何意义是直线y＝－x＋在 33 z2 y轴上的截距为，因此z的最小值也就是直线截距的最小值，平移直线y＝－x，经过点B(2， 33 1)时，zmin＝2×2＋3×1＝7. x＋y≥0， (2) 如图所示，目标函数z＝2x－y取最大值2，即y＝2x－2时，画出表 x－2y＋2≥0 示的区域，由于mx－y≤0过定点(0，0)，要使z＝2x－y取最大值2，则目标函数必过两直线x－2y＋2＝0与y＝2x－2的交点A(2，2)，因此直线mx－y＝0过点A(2，2)，故有2m－2＝0，解得m＝1. 变式训练 x－y＋1≤0， 已知实数x，y满足x＞0， y≤2. y (1) 若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围； x22 (2) 若z＝x＋y，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围． x－y＋1≤0， 解：由x>0， y≤2， 作出可行域，如图中阴影部分所示． 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 yy (1) z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的范围为直线OB的斜率到 xx x－y＋1＝0， 直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)．由得B(1，2)，∴ kOB y＝2， 2 ＝＝2，即zmin＝2，∴ z的取值范围是[2，＋∞)． 1 2222 (2) z＝x＋y表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x＋y的值最 x－y＋1＝0，22 小为OA(取不到)，最大值为OB.由得A(0，1)， x＝0， 222222 ∴ OA＝0＋1＝1，OB＝1＋2＝5. ∴ zmax＝5，z无最小值． ∴ z的取值范围是(1，5]． , 3 线性规划的 实际应用) , 3) 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3 吨，B原料2吨，生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，求该企业可获得的最大利润． 2x＋3y≤18， x，y满足约束条件 x≥0，y≥0. 解：设甲、乙两种产品分别需生产x，y吨，利润为z万元，则z＝5x＋3y.由题意可得， 3x＋y≤13， 作出可行域如图所示．由图可知当z＝5x＋3y经过可行域中的点(3，4)时，直线z＝5x＋3y在y轴上的截距最大，故该企业可获得的最大利润zmax＝5×3＋3×4＝27(万元)． 1. (2017·课标Ⅱ)设x，y满足约束条件2x－3y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小值是 y＋3≥0， ________． 答案：－15 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 2x＋3y－3≤0， 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 解析：目标函数即y＝－2x＋z，其中z表示斜率为k＝－2的直线系与可行域有交点时直线的截距值，数形结合可得目标函数在点B(－6，－3)处取得最小值z＝－12－3＝－15. x＞0，y 2. (2017·南京、盐城)已知实数x，y满足x＋y≤7，则的最小值是________． x x＋2≤2y，3 答案： 4y 解析：表示可行域内的点与原点连线的斜率，作出可行域，发现可行域内的点(4，3) x y3 为最优解，代入可得的最小值是. x4 x＋2y≤1， 3. (2017·课标Ⅰ)设x，y满足约束条件2x＋y≥－1，则z＝3x－2y的最小值为 x－y≤0， ________． 答案：－5 解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示， 1113z1 易求得A(－1，1)，B－，－，C，，由z＝3x－2y得y＝x－在y轴上的截距 333223 越大，z就越小，所以当直线z＝3x－2y过点A时，z取得最小值，所以z的最小值为3×(－1)－2×1＝－5. x≥1， 4. (2017·无锡期末)设不等式x－y≤0，表示的平面区域为M.若直线y＝kx－2上存在 x＋y≤4 M内的点，则实数k的取值范围是________． 答案：[2，5] 解析：由约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．因为函数y＝kx－2的图象是过点A(0，－2)，且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点B(1，3)时，k取最大值5，当直线l过点C(2，2)时，k取最小值2，故实数k的取值范围是[2，5]． 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 1. 已知实数x，y满足x≤3，则z＝2x－y的最大值是________． x＋y≥4， 答案：5 解析：作出可行域如图阴影部分所示，发现当直线z＝2x－y过点C(3，1)时，目标函数z取最大值，且最大值为5. y≤x－1， x＋y－1≥0， 2. 若实数x，y满足y－x－1≤0，则z＝2x＋3y的最大值为________． x≤1， 答案：8 解析：由约束条件作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点分别为(0，1)，(1，0)，(1，2)，由图可得，目标函数过点(1，2)时，z取最大值，故z＝2x＋3y的最大值为8. 2x－y≤0，22 3. 已知实数x，y满足x＋y－5≥0，若不等式4x＋y－axy≤0恒成立，则实数a的最 y－4≤0.小值为________． 答案：5 2x－y≤0， yy4x 解析：由x＋y－5≥0，得2≤≤4.由已知得a≥＋，则实数a的最小值为5. xxy y－4≤0， x＋4y－13≤0， 4. 已知变量x，y满足约束条件2y－x＋1≥0，且有无穷多 x＋y－4≥0， 个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________. 答案：1 解析：作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示． 若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意；若 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 11z m≠0，则目标函数z＝x＋my可看作斜率为－的动直线y＝－x＋. mmm 1 若m<0，则－>0，数形结合知使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷 m 多个； 1 若m>0，则－<0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)在 m 1 线段AB上，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，则m＝1. m 综上可知，m＝1. 1. 确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧区域，常用两种方法：一是在直线的某一侧取一特殊点；二是将不等式化为y>kx＋b(<，≥，≤)． 2. 在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最值的步骤： (1) 作出可行域； (2) 作出直线l0：ax＋by＝0； (3) 平移直线l0：ax＋by＝0，依可行域判断取得最值的最优解的点； (4) 解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最值． 3. 常见的非线性目标函数的几何意义： 22 (1) x＋y表示点(x，y)与原点(0，0)的距离； 22(2) （x－a）＋（y－b）表示点(x，y)与点(a，b)的距离； y (3) 表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率值； xy－b(4) 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率值．[备课札记] x－a 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 第3课时 基本不等式(对应学生用书(文)、(理)97～98页) 掌握基本不等式，能利用基本不等式推导不等式，能利用基本不等式求最大(小)值． ① 了解基本不等式的证明过程.② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． ab 1. (必修5P99练习4改编)若实数a，b满足a＋b＝2，则3＋3的最小值是________． 答案：6 ababa＋b 解析：由基本不等式，得3＋3≥23·3＝23＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号，ab 所以3＋3的最小值是6. 1 2. (必修5P105复习题9改编)若f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)的最大值为________． x 答案：－4 11 解析：∵ x＜0，∴ f(x)＝－[(－x)＋]－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，（－x）－x 即x＝－1时取等号． 2 3. (必修5P105复习题10改编)若x>－3，则x＋的最小值为________． x＋3 答案：22－3 222 解析：∵ x＋3>0，∴ x＋＝(x＋3)＋－3≥2（x＋3）×－3＝22－3， x＋3x＋3x＋3 2 当且仅当x＋3＝，即x＝－3＋2时取等号． x＋3 x 4. (原创)若对任意x>0，2≤a恒成立，则实数a的取值范围是________． x＋3x＋1 1答案：，＋∞ 5 xxx1.又 解析：因为2≤a恒成立，所以a≥2＝≤2 x＋3x＋11x＋3x＋1maxx＋3x＋1 x＋＋3x 1111 ＝，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，所以a≥. 5x51 2x·＋3 x 21m 5. (原创)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为________． ab2a＋b 答案：9 2b2a2121解析：原不等式恒成立等价于m≤＋（2a＋b），而＋(2a＋b)＝5＋＋ababminab≥5＋2 2b2a ·＝9，当且仅当a＝b时等号成立．所以m≤9，即m的最大值为9. ab 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 1. 算术平均数与几何平均数 a＋b 对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数． 2a＋b 2. 基本不等式ab≤ 2 (1) 基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0； (2) 等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号； (3) 结论：两个非负数a，b的算术平均数不小于其几何平均数． 3. 几个重要的不等式 22 (1) 重要不等式：a＋b≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号． a＋b2(2) ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． 222 a＋ba＋b2(3) ≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．[备课札记] 22 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 利用基本不等式求最值) 51 , 1) (1) 已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________； 44x－5 1 (2) 若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________． x－2 答案：(1) 1 (2) 3 151解析：(1) 因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－5－4x＋＋3≤5－4x44x－5 －2＋3＝1. 1 当且仅当5－4x＝，即x＝1时等号成立． 5－4x1 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. 4x－5 (2) 因为x>2，所以x－2>0，则f(x)＝x＋ 11 ＝(x－2)＋＋2≥2x－2x－2 1 （x－2）· x－2 , 1 通过配凑法 1 ＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号． x－2 所以当f(x)取最小值时，x＝3，即a＝3. 变式训练 2 x－2x＋2 若－4＜x＜1，求的最大值． 2x－2 22 1x－2x＋21（x－1）＋1111. 解：＝·＝[(x－1)＋]＝－－（x－1）＋－（x－1）2x－22x－12x－12 1 ∵ －4＜x＜1，∴ －(x－1)＞0，＞0. －（x－1） 1≥2， 从而－（x－1）＋－（x－1） 11≤－1， －－（x－1）＋ －（x－1）2 2 x－2x＋21当且仅当－(x－1)＝，即x＝0时取等号．即＝－1. －（x－1）2x－2max 备选变式（教师专享） 19 正数x，y满足＋＝1. xy (1) 求xy的最小值； (2) 求x＋2y的最小值． 191919 解：(1) 由1＝＋≥2·得xy≥36，当且仅当＝，即x＝2，y＝18时取等号， xyxyxy 故xy的最小值为36. 2y9x2y9x19(2) 由题意可得x＋2y＝(x＋2y)＋＝19＋＋≥19＋2·＝19＋62，当xyxyxy 2y9x22 且仅当＝，即9x＝2y时取等号，故x＋2y的最小值为19＋62. xy , 2 通过常数代 换法或消元法利用基本不等式求最值) 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 82 , 2) (1) 已知x>0，y>0且x＋y＝1，则＋的最小值为________； xy (2) 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 答案：(1) 18 (2) 6 解析：(1) (常数代换法) 82828y2x8y2x ∵ x>0，y>0且x＋y＝1，∴ ＋＝＋(x＋y)＝10＋＋≥10＋2·＝18. xyxyxyxy 8y2x 当且仅当＝，即x＝2y时等号成立， xy2182 ∴ 当x＝，y＝时，＋有最小值18. 33xy 9－3y (2) 由已知得x＝. 1＋y (解法1：消元法) 9－3y12 ∵ x>0，y>0，∴ y<3，∴ x＋3y＝＋3y＝＋(3y＋3)－ 1＋y1＋y6≥212 ·（3y＋3）－6＝6， 1＋y 12 当且仅当＝3y＋3，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6. 1＋y 11x＋3y2 (解法2)∵ x>0，y>0，∴ 9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·， 332 当且仅当x＝3y时等号成立． 2 设x＋3y＝t>0，则t＋12t－108≥0， ∴ (t－6)(t＋18)≥0. 又t>0，∴ t≥6. 故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6. 变式训练 (1) 已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________； (2) 若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________． 答案：(1) 26－3 (2) 18 4－2x66 解析：(1) 由xy＋2x＋y＝4，解得y＝，则x＋y＝x－2＋＝(x＋1)＋－x＋1x＋1x＋13≥26－3，当且仅当x＝6－1时等号成立． 28 (2) 由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴ ＋＝1， yx 8y2x4yx824yx∴ x＋y＝(x＋y)＋＝10＋＋＝10＋2＋≥10＋2×2·＝18，当且仅xyxyxyxy 4yx 当＝，即x＝2y时取等号．又2x＋8y－xy＝0，∴ x＝12，y＝6， xy 即当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18. , 3 基本不等式 与函数的综合应用) 2 x＋ax＋11* , 3) 已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N，f(x)≥3 x＋1 恒成立，则a的取值范围是________． 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 8答案：－，＋∞ 3 x＋ax＋11解析：对任意x∈N，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，可得 x＋1 8a≥－x＋＋3. x 8* 设g(x)＝x＋，x∈N. x * 2 ∵ g(x)在(0，22]上单调递减，在[22，＋∞)上单调递增，而x∈N，∴ g(x)在x取距离22较近的整数值时达到最小，而距离22较近的整数为2和3，且g(2)＝6，g(3)17＝. 3 17 ∵ g(2)>g(3)，∴ g(x)min＝. 3 88∴ －x＋＋3≤－， 3x 88∴ a≥－，故a的取值范围是－，＋∞. 33变式训练 2 要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5 m，其中四边形ABCD 13 是一个矩形，四边形EFCD是一个等腰梯形，梯形高h＝AB，tan∠FED＝，设AB＝x m，BC 24 ＝y m. (1) 求y关于x的函数解析式； (2) 怎样设计x，y的长度，才能使所用材料最少？ * 解：(1) 如图，作DH⊥EF于点H. 11 依题意，DH＝AB＝x， 22DH412 EH＝＝×x＝x， tan∠FED323 4139152 ∴ ＝xy＋x＋x＋xx＝xy＋x， 32226 395∴ y＝－x. 2x6 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 ∵ x＞0，y＞0， 395365∴ －x＞0，解得0＜x＜， 2x65 395365 ∴ 所求解析式为y＝－x0＜x＜. 2x65 33 (2) 在Rt△DEH中，∵ tan∠FED＝，∴ sin∠FED＝， 45 DH155 ∴ DE＝＝x×＝x， sin∠FED236 设框架的周长为l m. 52则l＝(2x＋2y)＋2×x＋2×x＋x 63 395 ＝2y＋6x＝－x＋6x x3 39133913x＝＋x≥2 ×＝26. x3x3 3913395 当且仅当＝x，即x＝3时取等号，此时y＝－x＝4， x32x6 ∴ AB＝3 m，BC＝4 m时，能使整个框架所用材料最少． , 4 基本不等式 的实际应用) , 4) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以 点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成的．按设计要求扇环面的周长为30 m，其中大圆弧所在圆的半径为10 m．设小圆弧所在圆的半径为x m，圆心角为θ(弧度)． (1) 求θ关于x的函数解析式； (2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数解析式，并求出x为何值时，y取得最大值． 10＋2x 解：(1) 由题意可得，30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝(0＜x＜10)． 10＋x 1222 (2) 花坛的面积为θ(10－x)＝(5＋x)(10－x)＝－x＋5x＋50(0＜x＜10)． 2 装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，所以花坛的面积与装饰总费用的比y22－x＋5x＋50x－5x－503913243＝＝－.令t＝17＋x，则y＝－t＋≤，当且仅当t＝18 t10170＋10x10（17＋x）1010 12 时取等号，此时x＝1，θ＝. 11 所以当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 备选变式（教师专享） 去年冬季，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只． (1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？ 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 (2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x≥9)元，并26 投入(x－9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量 5 0.2 将相应减少则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最2万只． （x－8） 大总利润． x－8×0.2万只，由已知得 解：(1) 设每只售价为x元(x>8)，则月销售量为5－0.5 5－x－8×0.2(x－6)≥(8－6)×5，∴ 2x2－53x＋296≤0，即2x2－53x＋296≤0，解得0.5555 37 8≤x≤，即每只售价最多为18.5元． 2 x－8×0.22(x－6)－26(x－9)＝2.4－0.4x－1x＋ (2) 下月的月总利润y＝5－ 0.5（x－8）5x－85 4x－874234－150－0.4（x－8）－0.8184＋＝－x＋＝－＋.∵ x≥9，∴ 55x－8555（x－8）54x－8444x－8 ＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝10时取等号，ymax＝14. 5（x－8）52555（x－8）5 答：当x＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元． 1311. (2017·苏北四市模拟)若实数x，y满足xy＋3x＝30＜x＜，则＋的最小值2xy－3 是________． 答案：8 313111 解析：由已知得x＝，而0＜x＜，所以y＞3.则＋＝y＋3＋＝y－3＋ y＋32xy－3y－3y－3 133 ＋6≥8，当且仅当y＝4，x＝时等号成立．即＋＝8. 7xy－3min 41 2. (2017·苏州期末)已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________． x＋2y＋1 9答案： 4 141141＋解析：由x＋y＝1，得x＋2＋y＋1＝4，＋＝(x＋2＋y＋1)＝[4x＋2y＋14x＋2y＋14 4（y＋1）x＋2194（y＋1）x＋221＋1＋＋]≥(5＋4)＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等 x＋2y＋144x＋2y＋1334＋1＝9. 号．即x＋2y＋1min4 y4 3. (2017·泰州、南通模拟)若正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________． xy 答案：8 y41－x414y4xy4x1解析：＋＝＋＝＋(x＋y)－1＝＋＋4≥8.当且仅当＝，即x＝，y＝ xyxyxyxyxy3 2 时取等号． 3 2 a212 4. (2017·苏锡常镇二模)已知a，b均为正数，且ab－a－2b＝0，则－＋b－的最 4ab 小值为________． 答案：7 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 21 解析：∵ a，b均为正数，且ab－a－2b＝0，即a＋2b＝ab，∴ ＋＝1. ab 22a21a22 则－＋b－＝＋b－1. 4ab4a21a2ba ＋b＝＋＋b＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝4，b＝2时取等号． 2ab2a2b 2a＋b22 a2∴ ＋b≥≥8，当且仅当a＝4，b＝2时取等号． 4222a21a22 ∴ －＋b－＝＋b－1≥7. 4ab4 5. (2016·江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是__________． 答案：8 解析：(解法1)∵ sin A＝2sin Bsin C，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， ∴ sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C， 两边同除以cos Bcos C，可得tan B＋tan C＝2tan Btan C， tan B＋tan C tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C＝－·tan Btan C＝ 1－tan Btan C 2 2（tan Btan C） ， tan Btan C－1 tan B＋tan C 由三角形为锐角三角形得tan B>0，tan C>0，tan A＝>0，即tan Btan C tan Btan C－1 2 2（t＋1）2 －1>0.令tan Btan C－1＝t(t>0)，则tan Atan Btan C＝＝2t＋＋4≥8， tt 当且仅当t＝1，即tan Btan C＝2时取等号． (解法2)同解法1可得tan B＋tan C＝2tan Btan C， 又tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋(1－tan Btan C)·tan(B＋C)＝tan A－tan A＋tan Atan Btan C＝tan A·tan Btan C， ∴ tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋2tan Btan C≥22tan Atan Btan C⇒tan Atan Btan C≥8， 当且仅当tan A＝2tan Btan C＝4时取等号． , 7. 忽视最值取得的条件致误) 12 典例 (1) 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________； xy 3 (2) 函数y＝1－2x－(x＜0)的最小值为________． x12 易错分析：(1) 多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：∵ 1＝＋≥2 xy∴ xy≥22，∴ x＋y≥2xy≥42，∴ (x＋y)min＝42. 3 (2) 没有注意到x＜0这个条件，误用基本不等式得2x＋≥26. x 解析：(1) ∵ x＞0，y＞0， y2x12∴ x＋y＝(x＋y)＋＝3＋＋≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)， xyxy 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 2 ，xy 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 ∴ 当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋22. 33(2) ∵ x＜0，∴ y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋－≥1＋2xx当且仅当x＝－ 6 时取等号，故y的最小值为1＋26. 2 3 （－2x）·＝1＋26， －x 答案：(1) 3＋22 (2) 1＋26 特别提醒：(1) 利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2) 尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致． 19 1. 已知正数a，b满足＋＝ab－5，则ab的最小值为________． ab 答案：36 199 解析：由＋＝ab－5≥2，得ab－5ab－6≥0，解得ab≥6，ab≥36. abab 1|a| 2. 已知a＋b＝2，b＞0，当＋取最小值时，实数a的值是________． 2|a|b 答案：－2 1|a|a＋b|a|ab|a|113 解析：＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝，当且仅当a＝－2， 2|a|b4|a|b4|a|4|a|b444 b＝4时等号成立． 2323a＋8b 3. (2017·南京三模)已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，则的取 abcc 值范围是________． 答案：[27，30] a2b2 解析：因为a，b，c为正实数，对a＋2b≤8c的左右两边同除以c，得＋≤8；对＋cca 322c3cab ≤的左右两边同乘c，得＋≤2；令x＝，y＝，则条件可转化为 bcabcc x＞0，x＞0， y＞0，y＞0，3a＋8b 再进行化简，可得即求z＝＝3x＋8y的取值范围，x＋2y≤8，x＋2y≤8，c 2333＋≤2，y≥＋xy22x－2，333转化为线性规划的问题，画出可行域，对y＝＋求导，并令导函数值为－，可得切点22x－289横坐标为3，代入曲线，计算出切点坐标为3，，利用线性规划，可知z＝3x＋8y分别在4 3a＋8b9(2，3)和3，处取最值，可得的取值范围是[27，30]． c4accc5 4. (2017·无锡期末)已知a>0，b>0，c>2，且a＋b＝2，则＋－＋的最小值为 bab2c－2 ________． 答案：10＋5 accc55a11解析：由a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，得＋－＋＝c＋－＋＝bab2c－2bab2c－2 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 （a＋b）2a＋－ab22222 2c（2a＋2－ab）5（a＋b）2a＋2－ab5a＋b ＋.由2＝，可得＝＝≥2abc－222ab2ab4ab 125ab5551＋1＝，当且仅当b＝5a时等号成立，则原式≥c＋＝5（c－2）＋c－24ab22c－22 2 2 ≥5·2 11（c－2）·＋1＝10＋5.当且仅当c＝2＋2时等号成立． 2c－2 a＋b22 1. a＋b≥2ab成立的条件是a，b∈R，而≥ab成立的条件是a≥0，b≥0，使用 2 时要注意公式成立的前提条件． 2. 在运用基本不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“一正”(即条件中字母为正数)“二定”(不等式的另一边必须为定值)“三相等”(等号取得的条件)． 3. 正确理解定理：“和一定，相等时积最大；积一定，相等时和最小”． 4. 连续使用公式两次或以上，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． b 5. 掌握函数y＝ax＋(a>0，b>0)的单调性，特别是当运用基本不等式不能满足“三相 x 等”时．[备课札记] 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 第4课时 不等式的综合应用(对应学生用书(文)、(理)99～100页) 掌握不等式的综合应用；掌握基本不等式的综合应用；掌握不等式与其他函数方程等知识的综合应用． 4 1. (必修5P102习题7改编)函数y＝x＋(x≠0)的值域是________． x 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞) 4444解析：当x>0时，y＝x＋≥2x·＝4；当x<0时，y＝x＋＝－（－x）＋－≤xxxx 解决应用性问题的基本思路：读题(背景、结论)—条件—建模—解题—反思—作答． 4（－x）·－＝－4. x 2. (必修5P102习题9改编)某种产品按下列三种方案两次提价．方案甲：第一次提价p%， p＋q 第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价%，第二 2 p＋q次提价%.其中p>q>0，上述三种方案中提价最多的是________． 2 答案：方案丙 pq解析：设原来价格为A，方案甲：经两次提价后价格为A1＋1＋＝100100 p＋q＋pq；方案乙：经两次提价后价格为A1＋p1＋q；方案丙：经两次提A1＋10010010010 000 p＋q2p＋qp＋q21p＋q价后价格为A1＋＝A[1＋＋·]．因为>pq，所以方案丙提价200100210 0002 最多． 1|x|3. 设x∈R，f(x)＝，若不等式f(x)＋f(2x)≤k对于任意的x∈R恒成立，则实2 数k的取值范围是________． 答案：k≥2 1|x|1|2x|1|x|解析：不等式转化为k≥＋，因为∈(0，1]，所以k≥2. 222 28 4. (必修5P106复习题16改编)已知x>0，y>0且满足＋＝1，则x＋y的最小值是 xy ________ . 答案：18 2y8x28解析：∵ x>0，y>0，∴ x＋y＝(x＋y)＋＝2＋8＋＋≥10＋216＝18，当且仅xyxy 2y8x28 当＝时等号成立．又＋＝1，∴ 当x＝6，y＝12时，x＋y有最小值18. xyxy －2你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 5. 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________． 答案：[9，＋∞) 解析：由a>0，b>0，得a＋b≥2ab，则ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，即ab－2ab－3≥0⇒(ab－3)(ab＋1)≥0⇒ab≥3，∴ ab≥9.[备课札记] 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 等式问题) x－x－2＞0， , 1) 若不等式组2的解集中所含整数解只有－ 2x＋（5＋2k）x＋5k＜0 2 , 1 含参数的不 2，求k的取值范围． 2 解：由x－x－2>0得x＜－1或x＞2， 2 由2x＋(5＋2k)x＋5k＜0得(2x＋5)(x＋k)＜0， 因为－2是原不等式组的解，所以k＜2. 5 由(2x＋5)(x＋k)＜0有－＜x＜－k. 2 因为原不等式组的整数解只有－2， 所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2， 故k的取值范围是[－3，2)． 变式训练 ax－1 解关于x的不等式＞0 (a∈R)． x＋1 解：原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0. ① 当a＝0时，由－(x＋1)＞0，得x＜－1； 11② 当a＞0时，不等式化为x－(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞； aa 1③ 当a＜0时，不等式化为x－(x＋1)＜0； a 11 若＜－1，即－1＜a＜0，则＜x＜－1； aa1 若＝－1，即a＝－1，则不等式解集为空集； a11若＞－1，即a＜－1，则－1＜x＜. aa 1 综上所述，a＜－1时，解集为x|－1 11 解集为x| aa , 2 不等式在实 际问题中的应用) , 2) 某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公 4 5001x－k＋路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其 x5 中k为常数，且60≤k≤100. (1) 若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，求x的取值范围； (2) 求该汽车行驶100 km的油耗的最小值． 4 5001 解：(1) 由题意，当x＝120时，x－k＋＝11.5，所以k＝100. x5 4 50012 x－100＋由≤9，得x－145x＋4 500≤0， x5 ∴ 45≤x≤100. ∵ 60≤x≤120，∴ 60≤x≤100. 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 (2) 设该汽车行驶100 km的油耗为y L，则 4 500100120k90 000 y＝·x－k＋＝20－＋(60≤x≤120)． 2 xx5xx 11，1， 令t＝，则t∈x12060 2 k2k2 ∴ y＝90 000t－20kt＋20＝90 000t－＋20－900. 9 000 1kk1 对称轴为直线t＝.∵ 60≤k≤100，∴ ∈，. 9 0009 00015090 2 k1k9 000k ① 若≥，即75≤k≤100，则当t＝，即x＝时，ymin＝20－； 9 0001209 000k900k11105k ② 若＜，即60≤k＜75，则当t＝，即x＝120时，ymin＝－. 9 00012012046 2k答：当75≤k≤100时，该汽车行驶100 km的油耗的最小值为20－L；当60≤k＜900 105k75时，该汽车行驶100 km的油耗的最小值为－L. 46 备选变式（教师专享） 2 现有一占地1 800 m的矩形地块，中间三个矩形设计为花圃(如图)，种植不同品种的观 2 赏花卉，周围则均是宽为1 m的赏花小径，设花圃占地面积为S m，设矩形一边的长为x(如图所示)． (1) 试将S表示为x的函数； (2) 问应该如何设计矩形地块的边长，使花圃占地面积S取得最大值？ 解：(1) 由题知S＝a(x－2)＋2a(x－3)＝a(3x－8)， 1 800600 又3a＋3＝，则a＝－1， xx 4 800600所以S＝－1(3x－8)＝1 808－3x－. xx 4 8001 600≤1 808－240＝1 568(当且仅当x＝40 (2) S＝1 808－3x－＝1 808－3x＋xx时取等号)，此时另一边长为45 m . 2 答：当x＝40 m，另一边长为45 m时花圃占地面积S取得最大值1 568 m. , 3 基本不等式 的灵活运用) 33 , 3) 设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为 2＋x2＋y __________． 答案：16 33 解析：由＋＝1，得xy＝8＋x＋y. 2＋x2＋y 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 ∵ x，y均为正实数，∴ xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16.故xy的最小值为16. 变式训练 1x 已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，则＋的最小值为________． 2xy＋1 5答案： 4 1xx＋yx1y1y 解析：将x＋y＝1代入＋中，得＋＝＋＋.设＝t＞0，则原式 2xy＋12xx＋2y22x2yx 1＋ x 22 1＋t12t＋3t＋31（1＋2t）＋2t＋1＋4141＝＋＝＝·＝[(1＋2t)＋＋1]≥× 21＋2t2（1＋2t）41＋2t41＋2t42 415121（1＋2t）·＋＝，当且仅当t＝，即x＝，y＝时等号成立． 1＋2t44233 xy 1. 已知正数x，y满足x＋2y＝1，则的最大值为________． x＋8y 1 答案： 18 解析：∵ 正数x，y满足x＋2y＝1， x＋8yx＋8yx16yx16y∴ ＝(x＋2y)·＝10＋＋≥10＋2·＝18， xyxyyxyx x16y21 当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号， yx36x＋8yxy1∴ 的最小值为18，∴ 的最大值为. xyx＋8y18 xy 2. 若x＞0，y＞0，则＋的最小值为________． x＋2yx 1 答案：2－ 2yxy1111 解析：设＝t＞0，则＋＝＋t＝＋(2t＋1)－≥2xx＋2yx1＋2t1＋2t22112－1y ＝2－，当且仅当t＝＝时取等号． 222x （z＋1） 3. 若x，y，z均为正实数，且x＋y＋z＝1，则的最小值为________． 2xyz 2 2 2 2 11＋2t×－1＋2t2 答案：3＋22 222222 解析：x，y，z均为正实数，且x＋y＋z＝1，可得1－z＝x＋y≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，则 22 （z＋1）（1＋z）1＋z11 ≥＝＝≥＝3＋22.当且仅2 2xyzz（1－z）z（1－z）23－22 3－（1＋z）－ 1＋z当z＝2－1，即x＝y＝ 2－1时，取得最小值3＋22. 41 4. 已知x＞y＞0，且x＋y≤2，则＋的最小值为________． x＋3yx－y 9答案： 4 解析：由x＞y＞0，可得x＋3y＞0，x－y＞0， 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 [(x＋3y)＋(x－y)] 4＋1＝5＋4（x－y）＋x＋3y≥5＋2x＋3yx－yx＋3yx－y 4（x－y）x＋3y · x＋3yx－y 41999 ＝9，可得＋≥＝≥. x＋3yx－y（x＋3y）＋（x－y）2（x＋y）4 59 当且仅当2(x－y)＝x＋3y，即x＝5y＝时，取得最小值. 34 5. (2017·苏州期中)如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC＝2百米，CD ＝1百米，∠BCD＝120°，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度)，EF将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍．设EC ＝x百米，EF＝y百米． (1) 当点F与点D重合时，试确定点E的位置； (2) 试求x的值，使路EF的长度y最短． 1 解：(1) 平行四边形ABCD的面积为S▱ABCD＝2××1×2sin 120°＝3， 213 当点F与点D重合时，S△CFE＝CE·CD·sin 120°＝x. 24 133 ∵ S△CFE＝S▱ABCD，∴ x＝，∴ x＝1， 444 ∴ E是BC的中点． (2) ① 当点F在CD上时， 113 ∵ S△CFE＝CE·CF·sin 120°＝S▱ABCD＝， 2441 ∴ CF＝. x 222 在△CFE中，EF＝CE＋CF－2CE·CF·cos 120°， 12 ∴ y＝x＋2＋1≥3，当且仅当x＝1时取等号， x 此时E在BC中点处且F与D重合，符合题意； ② 当点F在DA上时， （x＋FD）313 ∵ S梯形CEFD＝·＝S▱ABCD＝， 2244 ∴ DF＝1－x. (ⅰ) 当CE＜DF时，过E作EG∥CD交DA于G， 2 在△EGF中，EG＝1，GF＝1－2x，∠EGF＝60°，由余弦定理得y＝4x－2x＋1； (ⅱ) 当CE≥DF时，过E作EG∥CD交DA于G， 2 在△EGF中，EG＝1，GF＝2x－1，∠EGF＝120°，由余弦定理得y＝4x－2x＋1； 123132 由(ⅰ)，(ⅱ)可得y＝4x－2x＋1＝4x－＋，∴ 当x＝时，ymin＝， 4244 3 此时E在BC的八等分点(靠近C)处且DF＝百米，符合题意； 413 ∴ 由①②可知，当x＝时，路EF的长度y最短为百米． 42 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 x≥0， 1. 设D为不等式组2x－y≤0，表示的平面区域，区域D上的点与点(1，0)之间的距离 x＋y－3≤0的最小值为________． 25答案： 5 x≥0， 解析：不等式组2x－y≤0，表示的区域D如图阴影部分所示．由图知点P(1，0)与平面 x＋y－3≤0 |2×1－0|25 区域D上的点的最短距离为点P(1，0)到直线y＝2x的距离d＝＝. 22 51＋2 11111 2. 已知正实数a，b，c满足＋＝1，＋＋＝1，则实数c的取值范围是________． ababbcca 4 答案：1＜c≤ 311111ab11 解析：∵ ＋＋＝1，∴ ＋＝1，化为c＝.∵ 正实数a，b满足＋＝1， abbccaabcab－1ab1ab－1＋114，化为ab≥4.则c＝＝1＋，ab－1≥3，则1＜c≤. abab－1ab－13 811822 3. 已知对于一切x，y∈R，不等式x＋2－2xy－2－y－a≥0恒成立，则实数a的 xx 取值范围是________． 答案：(－∞，6] 29811822222 解析：x＋2－2xy－2－y＝(x－y)＋－2－y－2，令z＝(x－y)＋ xxx2 9－2－y2，则z表示点Ax，9与点B(y，2－y2)之间距离d的平方，因为A为双曲线xx922 y＝上一点，B为半圆x＋y＝2(y≥0)上一点，在同一坐标系中画出两曲线的图象，如图所x示． ∴ 1≥2 可以看出两点间距离的最小值为22，即距离的平方为8，故z≥8， 8118922222 ∴ x＋2－2xy－2－y＝(x－y)＋(－2－y)－2≥6， xxx 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 ∴ a≤6，所以实数a的取值范围是(－∞，6]． 4. (2017·苏北四市期中)某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝2 km，BC＝1 km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分． (1) 如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度； (2) 如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度． 解：(1) 因为AD＝DC＝2，BC＝1，∠ABC＝∠BAD＝90°，所以AB＝3. 11 如图①，取AB中点G，连结EG，则四边形BCEF的面积为S梯形ABCD＝S梯形BCEG＋S△EFG，即×221133133 ×3×(1＋2)＝××1＋＋GF×，解得GF＝，所以EF＝2222226(km)．故灌溉水管EF的长度为21 km. 3 22 3＋3＝21236 ① ② 2 2 (2) 设DE＝a，DF＝b，连结AC，在△ABC中，CA＝1＋（3）＝2，所以在△ADC中， 1333 AD＝DC＝CA＝2，所以∠ADC＝60°，所以△DEF的面积为absin 60°＝ab.又S梯形ABCD＝，242 3 ab＝4 2 2 所以即ab＝3.在△DEF中，由余弦定理，得EF＝a＋b－ab≥ab＝3，当 且仅当a＝b＝3时等号成立．故灌溉水管EF的最短长度为3 km. 1. 不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题． 不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合．解决这些问题的关键是找出综合题中涉及的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题． 2. 建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 用函数的有界性；利用函数的单调性等． 3. 解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验． [备课札记] 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容