北师大版九年级(上)期末数学试卷

北师大版九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1．（4分）（2007•成都）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） 222 xA． 2+4=0 B． C． D． x﹣4x+6=0 x+2x﹣1=0 x+x+3=0 2．（4分）如图，梯形ABCD中，AF⊥BC，M是CD的中点，延长AM交BC的延长线于E，∠B=45°， AF=3，EF=5，则AD+BC等于（ ）

8 1 6 A．C． D． 3．（4分）（2005•龙岩）如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG=GH=HC；③EG=BG；④S△ABE=S△AGE，其中正确的结论是（ ）

2 B． A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 4．（4分）已知函数y=k1x和y= A．，若常数k1，k2异号，且k1＞k2，则它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）

C． D． B． 5．（4分）（2002•天津）制造一种产品，原来每件成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低的百分率是（ ） 8.5% 9% 9.5% 10% A．B． C． D． 6．（4分）如图所示，A，C是函数y=的图象上的任意两点，过A点作AB⊥x轴于点B，过C点作CD⊥y轴于点D，记△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则（ ）

A．B． C． D． 无法确定 S1＞S2 S1＜S2 S1=S2 7．（4分）（2006•资阳）已知一个物体由x个相同的正方体堆成，它的正视图和左视图如图所示，那么x的最大值是（ ）

13 12 11 10 A．B． C． D． 8．（4分）两组各有3张牌，它们的牌面数字分别是1，2，3，那么从每组中各摸一张牌，则牌面数字之和等于4的概率为（ ） A．B． C． D． 二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）

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9．（4分）一元二次方程（a﹣1）x+x+a﹣1=0一根为0，则a= _________ ．

10．（4分）反比例函数y=（k≠0）图象上任一点向两坐标轴作垂线段所构成的四边形的面积为 _________ ．

11．（4分）平行四边形两邻边的长分别为16和20，两条长边间的距离为8，则两条短边间的距离为 _________ ． 12．（4分）（2001•上海）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折至△AGE，那么△AGE与四边形AECD重叠部分的面积是 _________ ．

13．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC延长线上，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠AFC的度数是 _________ 度．

14．（4分）如果等腰梯形的两底之差等于一腰长，那么这个等腰梯形的锐角为 _________ ． 15．（4分）一个几何体的主视图与左视图都是三角形，而俯视图是圆，则这个几何体是 _________ ． 16．（4分）连续掷两枚骰子，它们的点数相同的概率是 _________ ．

三、解答题（共5小题，满分56分）

17．（10分）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，DC上，BF∥DE，若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5：2，求S四边形EBFD．

18．（10分）如图，四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分别是3，4，12和13，∠ABC=90°，试求四边形ABCD的面积．

19．（10分）（2004•内江）某商场在“五•一”节里实行让利销售，全部商品一律按九折销售．这样每天所获得的利润恰是销售收入的

，如果第一天的销售收入是4万元，并且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.25万元．

（1）求第三天的销售收入是多少万元？

（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？ 20．（12分）（2006•陕西）有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下：

①分别转动转盘A、B．

②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． （1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和为5的倍数的概率；

（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏双方公平．

21．（14分）（2000•吉林）已知如图：点（1，3）在函数y=（x＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y=（x＞0）的图象又经过A、E两点，点E的横坐标为m，解答下列（1）求k的值；

（2）求点C的横坐标；（用m表示） （3）当∠ABD=45°时，求m的值．

问题：

2008-2009学年北师大版九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1．（4分）（2007•成都）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） 222 xA． 2+4=0 B． C． D． x﹣4x+6=0 x+2x﹣1=0 x+x+3=0 考点： 根的判别式． 分析： 分别计算各选项的判别式△值，然后和0比较大小，再根据一元二次方程根与系数的关系就可以找出符合题意的选项． 解答： 解：A、移项得x2=﹣4，负数没有平方根； B、△=b﹣4ac=16﹣24=﹣8＜0，方程没有实数根； 2C、△=b﹣4ac=1﹣12=﹣11＜0，方程没有实数根； 2D、△=b﹣4ac=4+4=8＞0，方程有两个不相等的实数根． 故选D． 点评： 总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 2．（4分）如图，梯形ABCD中，AF⊥BC，M是CD的中点，延长AM交BC的延长线于E，∠B=45°， AF=3，EF=5，则AD+BC等于（ ）

2 8 A． 2 B． 1 C． 6 D． 考点： 梯形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 分析： 由∠B=45°，可知AF=BF=3，根据已知条件可证：△ADM≌△ECM，从而推出AD=CE，AD+BC=BF+FE=AF+FE=8． 解答： 解：∵AF⊥BC ∴∠AFB=90° ∵∠B=45°，AF=3 ∴BF=AF=3 ∵AD∥CE ∴∠D=∠DCE ∵M是CD的中点 ∴DM=MC ∵DMA=∠CME ∴△ADM≌△ECM ∴AD=CE ∴AD+BC=CE+FC+BF=8 故选A． 点评： 解决本题的关键是利用所给的条件得到所求的线段和与已知线段之间的关系． 3．（4分）（2005•龙岩）如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG=GH=HC；③EG=BG；④S△ABE=S△AGE，其中正确的结论是（ ）

A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析： 根据三角形全等的判定，由已知条件可证①△ABE≌△CDF；继而证得②AG=GH=HC；又根据三角形的中位线定理可证△ABG≌△DCH，得③EG=BG．而④S△ABE=S△AGE不正确．故正确的结论有3个． 解答： 解：在▱ABCD中，AB=CD，∠BAE=∠DCF，BC=DA； E、F分别是边AD、BC的中点， ∴AE=CF， ∴①△ABE≌△CDF； BF∥DE，BF=ED⇒四边形BFDE是平行四边形⇒BE∥DF， 又AE=ED⇒AG=GH，同理CH=HG， ∴②AG=GH=HC； 根据三角形的中位线定理，EG=DH， 容易证明△ABG≌△DCH⇒BG=DH， ∴③EG=BG； ④S△ABE=S△AGE不正确． 故选C． 点评： 本题考查了平行四边形的性质，平行线等分线段定理与全等三角形的判定，中等难度． 4．（4分）已知函数y=k1x和y= A．，若常数k1，k2异号，且k1＞k2，则它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）

C． D． B． 考点： 反比例函数的图象；正比例函数的图象． 分析： 首先由已知条件常数k1，k2异号，且k1＞k2，得出k1、k2与0的关系，然后根据正比例函数及反比例函数的图象性质作答． 解答： 解：∵常数k1，k2异号，且k1＞k2， ∴k1＞0，k2＜0， ∴函数y=k1x过一、三象限，函数y=的图象在二、四象限． 故选C． 点评： 本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 5．（4分）（2002•天津）制造一种产品，原来每件成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低的百分率是（ ） 8.5% 9% 9.5% 10% A．B． C． D． 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 增长率问题． 分析： 设平均每次降低的百分率为x，则降低一次后的成本为100（1﹣x）元，降低两次后的成本为100（1﹣x）2元，而此时成本又是81元，根据这个等量关系列出方程． 解答： 解：设平均每次降低的百分率为x， 根据题意，得 2100（1﹣x）=81 解得：x=0.1，x=1.9（舍去）． 故选D． 增长的次数点评： 本题考查求平均变化率的方法．掌握求增长率的等量关系：增长后的量=（1+增长率）×增长前的量． 6．（4分）如图所示，A，C是函数y=的图象上的任意两点，过A点作AB⊥x轴于点B，过C点作CD⊥y轴于点D，记△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则（ ）

A．B． C． D． 无法确定 S1＞S2 S1＜S2 S1=S2 考点： 反比例函数系数k的几何意义． 分析： 根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 解答： 解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．所以S1=S2=． 故选C． 点评： 主要考查了反比例函数中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 7．（4分）（2006•资阳）已知一个物体由x个相同的正方体堆成，它的正视图和左视图如图所示，那么x的最大值是（ ）

13 12 11 10 A．B． C． D． 考点： 由三视图判断几何体． 分析： 该题虽没有告诉俯视图，但也给了考生的空间想象能力，根据三视图的知识可解出此题x的最大值． 解答： 解：综合正视图和左视图，底面最多有3×3=9个小正方体，第二层最多有2个小正方体，那么x的最大值应该是9+2=11，故选C． 点评： 本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．本题中虽然没有告诉俯视图，但是说明了x取最大值也就间接的说明了俯视图的情况． 8．（4分）两组各有3张牌，它们的牌面数字分别是1，2，3，那么从每组中各摸一张牌，则牌面数字之和等于4的概率为（ ） A．B． C． D． 考点： 概率公式． 专题： 应用题． 分析： 列举出所有情况，让牌面数字之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率． 解答： 解：两组各有3张牌，那么从每组中各摸一张牌的组合有9种，其中牌面数字之和等于4的有1+3，3+1与2+2三种，所以牌面数字之和等于4的概率为． 故选D． 点评： 用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）

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9．（4分）一元二次方程（a﹣1）x+x+a﹣1=0一根为0，则a= ﹣1 ． 考点： 一元二次方程的解． 分析： 把x=0代入原方程即可解得a值，再根据一元二次方程的特点求出合适的a值． 解答： 解：把x=0代入一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0 得到a﹣1=0， 解得a=±1， ∵a﹣1≠0，∴a≠1 即a=﹣1 22所以一元二次方程（a﹣1）x+x+a﹣1=0一根为0，则a=﹣1． 点评： 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 10．（4分）反比例函数y=（k≠0）图象上任一点向两坐标轴作垂线段所构成的四边形的面积为 │k│ ． 考点： 反比例函数系数k的几何意义． 分析： 根据反比例函数中k的几何意义可知． 2解答： 解：因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线， 所得矩形面积S是个定值，即S=|k|． 点评： 主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|． 11．（4分）平行四边形两邻边的长分别为16和20，两条长边间的距离为8，则两条短边间的距离为 10 ． 考点： 平行四边形的性质． 分析： 由于平行四边形的面积=16×两条短边间的距离=20×两条长边间的距离，由此可以求出两条短边间的距离． 解答： 解：∵平行四边形的面积=两条长边间的距离×20=20×8=160， 而平行四边形的面积=两条短边间的距离×16， ∴160=两条短边间的距离×16， ∴两条短边间的距离=10． 故填空答案：10． 点评： 解决本题的关键是利用平行四边形的面积的不同表示方法来求解． 12．（4分）（2001•上海）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折至△AGE，那么△AGE与四边形AECD重叠部分的面积是 2﹣2 ．

考点： 翻折变换（折叠问题）；菱形的性质；相似三角形的性质． 分析： 阴影部分面积=S△ABG﹣S△COG﹣S△ABE． 解答： 解：在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，故AE=由折叠易得△ABG为等腰直角三角形， ， ∴S△ABG=BA•AG=2，S△ABE=1， ∴CG=2BE﹣BC=2﹣2， ∴CO=OG=2﹣， ∴S△COG=3﹣2， ∴重叠部分的面积为2﹣1﹣（3﹣2）=2﹣2． 点评： 本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，找到所求量的等量关系是解决问题的关键注意运用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质． 13．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC延长线上，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠AFC的度数是 112.5 度．

考点： 专题： 分析： 解答： 正方形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质． 计算题． 根据正方形的性质可先求得∠E的度数则不难求∠AFC的度数． 解：∵CE=AC，∠ACB=45° ∴∠E=22.5° ∴∠AFC=90°+22.5°=112.5° 故答案为112.5． 点评： 主要考查了正方形的性质和等腰三角形的性质以及外角的运用． 14．（4分）如果等腰梯形的两底之差等于一腰长，那么这个等腰梯形的锐角为 60° ． 考点： 等腰梯形的性质． 分析： 首先作辅助线：过点A作AE∥CD交BC于点E；根据等腰梯形的性质，易得四边形AECD是平行四边形；根据平行四边形的对边相等，可得△ABE是等边三角形，即可得∠B的值． 解答： 解：过点A作AE∥CD交BC于点E， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴AE=CD，AD=EC， ∵BE=BC﹣CE=BC﹣AD=AB=CD， ∴∠B=60°． ∴这个等腰梯形的锐角为60°． 点评： 此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质．解题的关键是注意平移梯形的一腰是梯形题目中常见的辅助线． 15．（4分）一个几何体的主视图与左视图都是三角形，而俯视图是圆，则这个几何体是 圆锥 ． 考点： 由三视图判断几何体． 分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答： 解：俯视图为一个圆形的几何体是圆锥或圆柱，主视图和左视图为三角形的只有圆锥． 点评： 考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能力．

16．（4分）连续掷两枚骰子，它们的点数相同的概率是 ．

考点： 概率公式． 分析： 先求出连续掷两枚骰子时它们的点数，再求出点数相同的情况，根据概率公式即可解答． 解答： 解：连续掷两枚骰子，它们的点数共有6×6=36个，而点数相同的情况共6种，概率是=． 点评： 如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 三、解答题（共5小题，满分56分）

17．（10分）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，DC上，BF∥DE，若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5：2，求S四边形EBFD．

考点： 专题： 分析： 解答： 矩形的性质；平行四边形的性质． 计算题． 根据平行四边形和矩形的面积公式，求解即可． 解：首先可以计算矩形的面积是12×7=84， ∵BF∥DE，AB∥CD，∴四边形EBFD是平行四边形， ∴S四边形EBFD：S矩形ABCD=BE：AB=2：7， 2∴S四边形EBFD=24cm． 点评： 此题能够根据图形的面积公式分析得到它们的面积比． 18．（10分）如图，四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分别是3，4，12和13，∠ABC=90°，试求四边形ABCD的面积．

考点： 勾股定理；勾股定理的逆定理． 分析： 连接AC，可以得到Rt△ABC，利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理逆定理也可判断出△ACD也是直角三角形，这样四边形的面积就被分解成了两个直角三角形的面积． 解答： 解：如图，连接AC． ∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°， 在直角三角形ABC中， 根据勾股定理得：AC=又AC+CD=5+12=169， 22AD=13=169， ∴△ACD为直角三角形， 2222=5， S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD =×3×4+×5×12 =36 四边形ABCD的面积是36． 点评： 勾股定理和勾股定理逆定理是考查的重点，作辅助线把四边形分解为两个直角三角形求解是解本题的突破点． 19．（10分）（2004•内江）某商场在“五•一”节里实行让利销售，全部商品一律按九折销售．这样每天所获得的利润恰是销售收入的

，如果第一天的销售收入是4万元，并且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是1.25万元．

（1）求第三天的销售收入是多少万元？

（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？ 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 增长率问题；销售问题． 分析： （1）直接根据这样每天所获得的利润恰是销售收入的进行计算； （2）设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是m，则根据第一天的4万元增长到6.25万元列方程求解． 解答： 解：（1）1.25÷=6.25（万元） 所以第三天的销售收入是6.25万元； （2）设第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是m，则4（1+m）=6.25． 解得m1=25%，m2=﹣2.25%（不合题意舍去）． 答：第二天和第三天销售收入平均每天的增长率约是25%． 点评： 理解每天的销售收入和利润之间的关系，能够正确运用增长率表示每一天的销售收入．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 20．（12分）（2006•陕西）有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下：

①分别转动转盘A、B．

②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． （1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和为5的倍数的概率；

（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏双方公平．

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考点： 游戏公平性；列表法与树状图法． 分析： 游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 解答： 4 5 6 转盘B的数字 转盘A的数字 1 （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，4） （3，5） （3，6） 解：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下： 表格中共有9种等可能的结果， 则数字之积为3的倍数的有五种， 其概率为；数字之积为5的倍数的有三种， 其概率为=． （2）这个游戏对双方不公平． ∵小亮平均每次得分为小芸平均每次得分为∵（分）， （分）， ，∴游戏对双方不公平．修改得分规定为： 若数字之积为3的倍数时，小亮得3分； 若数字之积为5的倍数时，小芸得5分即可． 点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21．（14分）（2000•吉林）已知如图：点（1，3）在函数y=（x＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y=（x＞0）的图象又经过A、E两点，点E的横坐标为m，解答下列问题： （1）求k的值；

（2）求点C的横坐标；（用m表示） （3）当∠ABD=45°时，求m的值．

考点： 反比例函数综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）把（1，3）代入反比例函数解析式即可； （2）BG=CG，求出OB即可，A在反比例函数解析式上，求出AB，即A的纵坐标，代入求出A的横坐标，求出BG和CG，求出OC，即可求出答案； （3）∠ABD=45°时，AD=BD，把（2）中的代数式代入即可求解． 解答： 解：（1）由函数y=图象过点（1，3）则可把点（1，3）坐标代入y=中，得k=3； （2）解：连接AC，则AC过E， ∵点E的横坐标为m，E在双曲线y=上， ∴E的纵坐标是y=， ∵E为BD中点， ∴由平行四边形性质得出E为AC中点， ∴BG=GC=BC， ∴AB=2EG=， 即A点的纵坐标是， 代入双曲线y=得：A的横坐标是m， ∴OB=m， 即BG=GC=m﹣m=m， ∴CO=m+m=m， ∴点C（m，0）． （3）当∠ABD=45°时，AB=AD，则有=m，即m=6， 解之m1=，m2=﹣（舍去）， ∴m=． 点评： 若函数过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．另外，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等．

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