函数单调性教案

函数的单调性

一、教材分析：

本小节是函数性质之一单调性，揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函数性质。在函数性质中具有举足轻重的地位。本节利用图像观察推导单调性判断方法，该方法再次体现了数形结合的主要思想。

二、教学目标：

(一)知识目标：

1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性； 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。 (二)能力目标：

1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力；

2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。 (三)情感目标

1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯；

2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。

三、教学重难点：

重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。 难点：函数单调性的判断与证明。

四、课型：新授课 五、教学方法、手段：

方法：启发引导与自主探究讨论相结合。 手段：多媒体辅助课堂教学。

六、教学设计思想：

我从生活中的实例导入，层层设疑，引导学生观察图像，数形结合，为了进一步研究单调性，接着给出了学生熟悉的函数 y2x，y2x，yx2图像，以这些基本图形为素材，逐步由形到数引导学生发现图像上升或下降时函数值的变化规律，再推广到一般函数，从而得出增减函数定义。学生归纳出判断的方法及步骤并进行简单的应用。 应用上：运用课本例2对应练习及思考题目利用讲练结合启发联想形式，例题讲解以启发引导为主，练习时放手让学生独立完成，体现自主特点。思考题让

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学生能够举一反三，体会由特殊到一般的数学思想。

为了让学生掌握定义及判断方法培养严密的数学语言表达能力，我让学生自己总结，利于理解本节知识体系。

作业布置体现层次性，照顾各层次的同学。 教学 教学内容 教师活动 学生活动 教学 流程 意图 (一)以实际生引例1：五莲县昨天24小同学们每天从早上 情 景 导 课 时内的气温变化图．观察这张气温变化图 到中午又到晚上，我们都会明显感觉到气温在不断发生变化，其实，生活中处处有数学，这其中就蕴含了丰富的数学知识——函 你能看出一天中温度的变化趋势吗？ 这种某一区域内函数上升或下降的趋势叫函数的单调性 怎么用数学语言来表述呢？ 数的单调性。什么是函数的单调性呢？我们先从气温图中来体会一下 来看上节课的作业：3个函数图像 问题（1）：观察图像：你能说出这三个函数图像的变化趋势吗？ 问题（2）：观察变量：x自左向右增大y值如何变化？ 此问题比较简单，多数同学都能回答上来： 我能看出从4点到7点，7点到14点温度是升高的；从0点到4点，14点到24点温度是下降的。(学生举手回答，提问2个) 思考并回顾上节课留的作业题目。 观察回答： 积极思考 （小组讨论后，派代表抢答。此问题不难，同学们积极性会比较高，抢答同学也会如雨后春笋……提问2个同学） 同桌讨论后（自由回答，相对来说这个问题更简单，先起立的同学回答。提问1个同学） 活为例让学生感受到生活中处处蕴含着数学，激发学生的学习热情，学以致用。 引出下个引例 单调性表述的范围

引例2： y2x ,y2x上升 ,y2x是y随着x的增大而增大。 y2x ,y2x下降 ,y2x是y随着x的增大而减小。 以学生较熟悉的函数图像入手会让同学联系旧知，熟悉感也倍增学习新知浓烈。 课件演示同学观察回答变化趋势，生动形象。 层层设问 逐步引导 合作探究 得出初论 2

教学 教学内容 流程 从图像和变量两个角度说明单调性的特征 教师活动 我们可以看出要更清楚的表述函数的单调性必须在一个区间范围内，单调性具有局部性。 谁能尝试用这两种方法给出通常定义？ 而不管从图像上还是从变量上一般都要借助于图像来观察。 当不给图像的时候我们怎么判断函数的单调性呢？用增减函数的概念就可以解决了。 学生活动 为了检查一下听讲情况 举手回答（提问2-3个） 通过表格下通俗定义： 教学 意图 yx2 ,0yx2下降0,yx2上升 ,0yx2是y随着x的增大而减小。 ,0yx2是y随着x的增大而增大。 我们通常定义具有以上这些特点的函数为增函数或是减函数。 由此可以发现我们所说的函数的单调性就是函数的增减性。 从气温变化图上截取了 (二)yfx图像进一步研究增减函数的性质： 课 程 新授 ① 任取 Ax1,fx1Bx2,fx2x的增量xx2x1 同理学生小组合作讨论，培养血色很给你的合作精神和语言的表达能力。 提出局限性，激发学生思考其他方 法。 提出高难 度的问题 让给学生 感到富有 挑战，集 中听讲。 引出函数 单调性的 另外的特学生跟着老师的思路思点。 考增函数的定义的推导 学生跟着为减函数定义的推导作老师的思铺垫。 路走。 y的増量 3

教学 教学内容 流程 分析增减函数的性质 增减函数的定义 例题 教师活动 你能仿照增函数分析减函数吗？ 注意比值是什么比什么！ 教师引导 根据分析你能否总结出增减函数的概念呢？ 函数在某点处无单调性可言，我们用开区间就可以。 例题讲解 学生活动 （讨论，找1个同学分析） 生分析减函数概念。 ①任取Ax1,fx1，教学 意图 再加上刚才对解析式的分 析，此时再让学生给增减函数下定义应该是水到渠成。 接着引导学生给出用定义判断函数增减性的步骤也是游刃有余。这是本节课的重点与难点，培养学生的团结合作精神和概括能力。 学生学会用数形结合法分析问题体现数学上的转化思想 通过例题的讲解，学生了解单调区间与单调性的联系 yfx2fx1 ②y0 x③ 函数yfx在该区间为增函数。 Bx2,fx2 xx2x1 yfx2fx1 ②y0 x 一般地，对于函数yfx在给定的区间上任意两个不相等的值x1，x2，当③yfx在该区间为减函数。 思考如何下定义。 （自愿回答，2个同学分别回答增函数和减函数的定义） 识记理解定义，并检查效果。硬性定义的提问一般都会有很多同学的踊跃参与，起立的同学以组为单位或是教师找代表进行检查（n个同学） 师生一起做例题。 单调增区间 y0时，函数yfxx在这个区间上是增函数；当y0时，函数xyfx在这个区间上是减函数；这个区间就是函数的单调区间。 例1：定义域是10,10，根据图像指出函数的单调区间，及每个区间上的单调性。 4,1，2,8函数为增函数 单调减区间10,4，1,2，8,10

函数为减函数 4

教学 教学内容 流程 跟进练习 教师活动 引导 学生活动 学生独立完成（提问1个同学） 单调增区间4,14 单调减区间 教学 意图 进一步熟练了区间与单调性的联系，锻炼了学生的观察能力 练习：函数yfx的 通过刚才的探究你能找出气温图中的单调区间吗？ 0,4，14,24 应用例题讲解 例2：证明函数fx2x1在区间,上是增函数。 证明：①设x1，x2是脱离图像我们就最好用什么方法来判断函数的单调性？ 教师根据定义一步一步进行分析 ,任意两个不相等的实数。xx2x1， yfx2fx1 =2x212x11 =2x2x1=2x ②k 集体回答：定义法 认真听讲思考定义法判断函数单调性的一般步骤 y2x20 xx③fx2x1在,上是增函数。 判断 函数增减性的步骤 ①取点作差 ②算比值k通过例题的讲解解决如下问题：1、定义域上任取两个不相等的值。 2、作差后的变形常常综合运用到不等式、配方等方法及时复习。 3、判断符号和增减性要对应好不要弄混淆 4、下论时一定带上范围 巩固所学 y x

③判断 当k0函数在某区间为增函数； k0函数在某区间为减函数。 从刚才我们的分析可以看出由定义法即由解析式判断函数单调性——增减性的步骤：（小组讨论） 讨论得出步骤，互相补充得出最后的步骤（3个同学） 同学们看课本理解本节所学内容，理清思路。 5

教学 教学内容 流程 练习跟进 教师活动 巡视观察 了解问题 找同学上黑板批阅后教师订正答案。 下面的同学同桌换过来批阅。 学生活动 黑板练习（2个同学） 解①在,上任练习：判断函数fx2x1在区间教学 意图 引申思考 课堂检测 ,上是增函数还是减函数？ 思考:由上述例2和练习讨论一次函数ykxb的单调性. 判断函数fx5x3在,上的单调性。 通过练习体会定义法判断函取两个不等的值x1，x2 数的单调性 xx2x1， yfx2fx1 2x21(2x11) 小结一次2x212x11 函数的单调性，复2(x2x1) 习巩固初中知识. 2x ② y2x 2<0 xx争取当堂③函数fx2x1的类型题当堂消化在区间,上是同桌换着减函数 批阅 谈收获 根据表格谈谈自己本节课所学习到的内容 （同学们以自愿的形式谈收获，多个同学进行补充直至完整。） 教师出示完整表格形式。 用表格形式总结，本节课的重点知识一目了然，体现一一对应的关系，并标明了注意事项，对易出错的问题进行了重点强调。 (三)课 堂 小 结 ①图像法 区间内，图像上升为增函数；区间内，图像下降为减函数 ②变量值法 y随着③定义法 取点作差， 算比值， 判断 x的增大而增大是增函数；y随着x的增大而减小是减函数 同学们回顾一下本节课你都学到了什么收获到了什么。 本节课我们学习了判断函数的3种方法 注意 ①函数的单调性也叫增减性 ②函数的单调是对定义域内的某个区间而言 6

教学 流程 (四)布 置 作 业 教学内容 教师活动 学生活动 巩固练习 （学生有选择性的练习有能力的同学全做。） 教学 意图 打铁要趁热，及时巩固，作业分层次满足各个层次的需求让优生有事做，潜能生吃得饱。 结合板书对本节课的重点一目了然 1、 课后P54 2、（1）（2）， 布置作业 2、课后P54 3（有能力的分层次进行 同学并结合2(2)思考能否说 1 fx的增区间为 x ,00,）？ (五) 3.3函数的单调性 增量：（可正可负不为零） 板 1、书 xx2x1 设 计 yfx2fx1 2、 定义： 一般的，对于函数yfx在给定区间上任意两个不相等的值x1，x2，当 教师边授新课边板书 根据板书了解本节的重点 y> x0时，我们就说函数在这个区间上为增函数，当y<0x时，我们就说函数在这个区间上为减函数。 7