中职数学教案——函数的单调性

【教学目标】

1、知识目标：

（1）理解函数的单调性的概念；

（2）会借助于函数图像讨论函数的单调性； （3）熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性。

2、能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、比较、分析、概括的逻辑思

维能力，使学生体验数学的一般思维方法，提高分析问题、解决问题的能力。

3、德育目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证

的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】

函数的单调性定义。 【教学难点】

利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。 【教学方法】

讲授法、讨论法、谈话法、分析法、举例法、演示法。 【教具准备】

多媒体课件 【课时安排】

两课时（90分钟）

【教学过程】

教学 教学 环节 时间 教学 目的 教 学 呈 现 教学 方法 说明 课件出示函数图像，进一步直观上帮助学生理解巩固概念。 （出示f(x)x2及f(x)2两函数图像） x复习旧知 检查学5 生对函分 数奇偶钟 性的掌握情况 1、提出问题： （1）何为奇函数何为偶函数 （2）怎样判断一个函数的奇偶性 2、回顾归纳： （1）图像：关于y轴对称---偶函数 关于x轴对称---奇函数 （2）表达式：在定义域内 ．．．．．满足f(x)f(x)---偶函数 满足f(x)f(x)---奇函数 1、引言：同学们对函数的奇偶性掌握得很好，本节课我们继续来研究函数的性质。 2、问题情境： （1）下图为某股票在9∶00～11∶30内的行情图，请描述此股票的涨幅情况。 从上图可以看到，有些时候该股票的价格随着时间推移在上涨，即时间增加股票价格也增加；有时该股票的价格随着时间推移在下跌，即时间增加股票价格反而减小． （2）其它：气温时段图、水位变化图、心电图等。 3、归纳： 上述现象都反映出了函数的一个基本性质——单调性 1、函数的单调性 （1）观察下列函数图像 讨论：各函数图像的变化趋势是怎样的当自变量x在定义域内逐渐增大时，其对应的函数值y是怎样变化的 yf(x)x2y 4 4 3 2 1 -2 -1 O -1 1 2 3 2 1 指名 回答 引导 归纳 导入新课 5 分 钟 创设 情境 引出 课题 自由发言 举例法 新 授 课 板书： 函数的基本性质 课件示图 鼓励学生积极发言，培养学生语言表达能力。 课件示图 使学生体会函数单调性的实际意义 板书： --单调性 培养学生 的观察、分组分析、概讨论 括能力。 课件示图 x-2 -1 O -1 1 2 xf(x)x2教学 教学 环节 时间 教学 目的 教 学 呈 现 教学 方法 说明 培养学生数学语言的表达能力 分别出示图像，逐一分析 函数图象的逐渐上升、下降用动画演示，增加直观性，便于学生理解。 课件示图 新 授 课 直观 12 认识 分析： 函数分①函数f(x)x2的图像始终沿x轴正方向钟 的单逐渐上升，即：在（－∞，+∞）上，y随x的调性 增大而增大。 ②函数f(x)x2的图像始终沿x轴正方向 逐渐下降，即：在（－∞，+∞）上，y随x的 增大而减小。 ③函数f(x)x2的图像在y轴左侧逐渐下 降，在y轴右侧逐渐上升， 即：在（－∞，0 ]上，y随x的增大而减小。 在 [ 0，+∞）上，y随x的增大而增大。 2 ④函数f(x)的图像在y轴左侧逐渐下 x 降，在y轴右侧也逐渐下降。 即：在（－∞，0）上，y随x的增大而减小。 在（ 0，+∞）上，y随x的增大而减小。 小结： 类似地，函数值随着自变量的增大而增大 （或减小）的性质就是函数的单调性。 思考： 某函数图像如下,能说出其函数值随自变 量变化的规律吗 代表发言 引导归纳 演示法 教学 教学 环节 时间 教学 目的 教 学 呈 现 教学 方法 说明 通过实例 使学生体会到用定义严格表述函数单调性的必要性 引导学生由直观图像抽象出符号定义，符合学生认知规律，学生易于接受。 强调关键词： “任意”、“都有” 加强对概念知识的理解掌握 新 授 课 小组 讨论 结论：难以确定分界点的确切位置． 认识： 用函数图象判断函数单调性虽然比较直 观，但有时不够精确，需要结合解析式进行研 究。 2、增函数和减函数 示图（课本P76图3－15） 概念：一般地，设函数yf(x)的定义域 上某个区间为I： 理解 （1）如果对于任意的x1 ，x2∈I， 12 增、减当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，我们就说函函数数yf(x)在区间I上是单调增函数。 分．．钟 的定 其图像沿x轴正方向上升。 义 yf(x) 讲 f(x)2 授 法 f(x1) （2）如果对于任意的x1 ，x2∈I， xx当1＜2时，都有f(x1)＞f(x2)，我们就说函 数yf(x)在区间上是单调减函数。 I．． 其图像沿x轴正方向下降。 yf(x) f(x)1 f(x2) 教学 教学 环节 时间 教学 目的 教 学 呈 现 教学 方法 说明 出示函数图像，以帮助学生分析理解概念。 课件出示例题 课件动画演示：标记图像中的关键点 新 授 课 3、单调函数、单调区间 （1）概念：如果函数yf(x)在区间I上 是增函数或减函数，我们就说函数yf(x)在 这一区间具有单调性，区间I称为函数 yf(x)的单调区间。 （2）练习：（示图） 请指出一次函数yx2　和二次函数了解yx2单调区间。 单调 （3）强调： 函数 函数的单调性是对定义域内某个区间而言及单的。有些函数在其整个定义域内具有单调性， 调区如一次函数ykxb（k0)等；有些函数在 间的整个定义域内不具有单调性，但在定义域内某 概论 个区间上具有单调性，如二次函数 yax2bxc（a0)等。 （4）例题讲解：（课本P77例1） 15 例1 图示为函数yf(x),x10,10分 的图像，试根据图像指出这个函数的单调区间，钟 并说明在每个单调区间上，它是增函数还是减 函数。 y 2 -4 -1O 8 10 x -10 运用 图像说明：解题时，要将函数图像以几个关键 判断点（峰、谷）分开得到几个区间，然后再逐个 函数判断每个区间的单调性。 单调 性及 确定 解：函数yf(x)的单调区间有单调 10,4，4,1，1,2，2,8，区间 8,10。 1,2，函数yf(x)在区间10,4， 8,10上是减函数，2,8上在区间4,1， 是增函数。 小组讨论 指名发言 引导归纳 演示法 教学 教学 环节 时间 教学 目的 教 学 呈 现 教学 方法 说明 强调： 1、注意解题格式 2、作差同“0”比 3、确定函数的定义域 巩固整式乘法公式 新 授 课 20分钟 运用定义法判断函数的单调性 4、函数单调性的判断 （1）师：利用图像来判断函数的单调性是一种简单常用的方法，但这种方法较为粗略，且有时因函数图像复杂而难以判断，因此，我们要学习另外一种更严格的方法：根据定义判断函数的单调性。 （2）例题讲解：（课本P77例2） 试用函数单调性的定义讨论下列函数的单调性： ①f(x)3x6 ②f(x)2x21,x0, ①解：任取x1,x2(,),且x1＜x2 则f(x1)3x16 f(x2)3x26 f(x1)f(x2)(3x16)(3x26)3(x1x2)由x1＜x2得 3(x1x2)＜0 所以f(x1)f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2) 因此，函数f(x)3x6在(,)上是增函数。 ②解：任取x1,x2[0,),且x1＜x2 则f(x1)2x121 f(x1)2x21 2f(x1)f(x2)(2x121)(2x21)22x122x222(xx)2(x2x1)(x2x1)2221 因为(x2x1)＞0，(x2x1)＞0， 所以f(x1)f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2) 因此，函数f(x)2x21在[0,)上是减函数。 （3）归纳： 根据定义判断函数单调性的步骤： Ⅰ.设x1,x2是给定区间（或定义域）的任意两值，且x1＜x2； 谈话法 讲授法 小组讨论分析 指名板演 集体订正 教学 教学 环节 时间 教学 目的 教 学 呈 现 教学 方法 说明 培养学生对知识要点的概括能力 巩固函数单调性的概念及判断的方法 Ⅱ.写出f(x1)、f(x2)； Ⅲ.化简f(x1)－f(x2)，并判断符号； Ⅳ.下结论：f(x1)－f(x2)＜0——增函数 f(x1)－f(x2)＞0——减函数。 引导归纳 课堂练习 15分钟 合作学习 及时（3）f(3) f(2) （4）f(0) f(5) 反馈 练习： 1、完成课本P78“知识巩固2”两题。 2、填空： 已知函数yf(x)在区间(,)上是减函数，用符号“＞”、“＜”填空。 （1）f(3) f(3) （2）f(1.2) f(2.1) 32课堂小结 5 分钟 1、对于在某函数定义域内某区间的任意两自变量x1 ，x2 ，当x1 ＜x2时，都有： 强化f(x1)＜f(x2)，则称函数在这个区间上是概念 单调增函数； f(x1)＞f(x2)，则称函数在这个区间上是 单调减函数。 突出2、利用定义判断函数的单调性是通过确定重点 f(x1)－f(x2)的符号来判断f(x1)与f(x2)大小。 完成习题册“习题组练习题。 指导学生函数简图画法 （3）题予以指导 师生共同 小结、归 纳，提炼 重点，帮谈话助学生进法 一步理解掌握本节内容 布置作业 课后巩固1 掌握分概念、钟 解题 方法 练习法 培养学生解决问题的能力 课教学 教学 环节 时间 教学 目的 教 学 呈 现 教学 方法 说明 后反思 1、函数的单调性与学生已有的许多知识、经验有联系，这些对函数单调性的学习有着积极的意义，同时对函数单调性的学习理解也使得这些知识的意义得到了扩展。 2、学生对概念的理解还不够深入，定义判断单调性的方法掌握不够熟练，今后教学中要不断巩固。 3、教学中对学生放手不够，学生自主性未能得到有效的发挥，合作学习效果欠佳。