001011[线性代数] 天津大学考试题库及答案

（特别提示：该课程可以参照答疑视频进行复习）

一、单项选择题

1、设3阶方阵A的3个特征值为2，。 4， 5，则A的3个特征值为（ D ）A.

142、设A002700002100，则A1（ C ）。 532， 4， 5

111，， C. 20， 10， 8 20， 10， 8 B. 245D.

7200720041004100 B.  A. 00035035000120127200720041004100 D. C. 0035003500120012

123、设A003500002700，则A1（ C ）。 140530053021002100 B.  A. 00004141007200725300530021002100 D. C. 0041004100720072 1 / 19

4、设n阶方阵A,B,C则ABC（ B ）。

TA. ATBTCT B.CTBTAT C.BTATCT D.ATCTBT 5、设3阶方阵A的3个特征值为1。 ，， 24，则A的3个特征值为（ A ）

11 ，  A. 8， 4， 2 B.8，， 4 2 C.1，， 2 4 D.1，241a11a11的秩为2，则下列答案正确的是（ A ）6、设A1。

11a1A. a3 B. a0 C. a3或a0 D. a3且a0 7、设五元齐次线性方程组AX0，若rA1，则其基础解系含有解向量的个数为（ D ）。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

a118、设A1a1的秩为1，则a（ D ）。

11aA. a1且a2 B.a2或a1 C. a2 D. a1

9、设1,2是非齐次线性方程组AX的解向量，则（ C ）是非齐次AX的解向量。

A. 12 B.

二、填空题

021、行列式

34252、行列式

001034260012043724122 C.1223 D.1323

12（ 72 ）。 3048（ 4 ）。 35

2 / 19

1233、设A212041111B11，，则( AB )， 3111131BTAT（ 013411 ）

。

12884、行列式

131827143264（ 24 ）。

15501255、设1,2是非齐次线性方程组AX的两个解向量，则

A1k12（  ）

。 6、设3阶方阵Aa222a2的秩为2，则a（ -4 ）。

22a17、设3阶方阵A的行列式A3，则293A=（ 8 ）。

x1118、行列式1x1111x1（ x3x13 ）。

111x

13009、行列式

25002412（ 1 ）。 1347

x322210、若行列式

2x32222x320，则x（ 9 或 1222x3 3 / 19

）。

11211、设3阶方阵A2a3的秩为3，则a（ a6且a2 ）。

33a12、设1,2是齐次线性方程组AX0的两个解向量，则A3122（ 0 ）。 13、设3阶方阵A的行列式A12，A的两个二重特征值122，则A的第三个特征值3（ -3 ）。

14、设1,2是齐次线性方程组AX0的两个解向量，则A3152（ 0 124515、行列式

34790057（ 4 ）。

0068011116、行列式

30334404（ -180 ）。 555017、设1,2是非齐次线性方程组AX的两个解向量， 则A21325（  ）

。 18、设3阶方阵A的行列式A2，则312A（

427 ）。 19、设A,B,C为n阶可逆矩阵，则ABC1（ C1B1A1 ）。

12320、设3阶方阵A256的秩为2，则a（ a6 ）。

22a230021、行列式

45001257（ 4 ）。

346810022、设矩阵A031的线性无关的特征向量为（ 2 ）。

003 4 / 19

）。

23、设3阶方阵A的行列式A12，A的两个二重特征值122，则A的第三个特征值3（ -3 ）。 三、解答下列各题

4111、设A041，求矩阵B，使得AB2A3B。

004解：由AB2A3B，A3EB2A

11QA3E10111可逆 BA3E2A

001110822860B011082086001008

008

3112、设A031，求矩阵B，使得ABA2B。

003解：由ABA2B，A2EBA

111QA2E011可逆

00111031132BA2E1A0110310300100300

3113、设A031，求矩阵B，使得AB2A2B。

003解：由AB2A2B，AB2B2A A2EB2A

5 / 19

023

111QA2E011可逆

001110622640 BA2E12A011001062006064

006

70034、设A9040，求矩阵B，使得AB-2A=2B。 00115103解：由AB2A2B， A2EB2A QA2E104007003003BA2E12A9140004020005400180 002200115

5、设A301141，求矩阵B，使得AB2A2B。

103解：由AB2A2B，A2EB2A

101QA2E121可逆

101 6 / 19

00可逆15 121BA2E2A012

01201230140212141042 2204103126、问k,l取何值时，向量组11,2,1，22,k,3，32,4,l线性相关，又为何值时线性无关。

121解：令D2k3k4l2

24l当k4或l2时D0 1,2,3线性相关 当k4且l2时D0 1,2,3线性无关

7、问k取何值时，向量组11,3,3，22,k,7，32,7,k线性无关，又为何值时线性相关。

133解：令D2k7Lk7k7

27k当k7且k7时D0 1,2,3线性无关 当k7或k7时D0 1,2,3线性相关

8、问取何值时，向量组11,1,+1，2,1,0，31,,0线性相关，又为何值时线性无关。 解：

11100 7 / 19

令D1111

2当1或1时D0 1,2,3线性相关 当1且1时D0 1,2,3线性无关

9、求向量组Ⅰ11,1,1,2，23,2,4,5，32,3,4,5，

44,5,6,9的秩，并求出它的一个极大无关组。

13解：令A241121124501L00345005691211

3000rA3R 极大无关组为1,2,3

10、求向量组11,1,1,1，22,3,3,4，34,5,6,7，43,4,4,5的秩，并求出它的一个极大无关组。 解：

12令A431111334005674450111112 011000rA3向量组的秩 极大无关组为1,2,3

11、求向量组Ⅰ11,2,1,2，22,5,1,5，32,3,3,4，44,9,3,9的秩，并求出它的一个极大无关组。

12解：令A2411215150031409392110014021 10 rA3R 极大无关组为1,2,3

8 / 19

12、问a， b取何值时，向量组1a,1,1，21,b,1，32,3b,2线性无关，又为何值时线性相关。

a11解：令D1b1ba1

23b2当a1且b0时D0 1,2,3线性无关 当a1或b0时D0 1,2,3线性相关

13、问k， l取何值时，向量组11,2,3，22,k,6，32,5,l线性无关，又为何值时线性相关。

123解：令D2k6k4l6

25l当k4且l6时D0 1,2,3线性无关 当k4或l6时D0 1,2,3线性相关

14、求向量组Ⅰ11,1,1,2，22,3,4,5，31,2,3,4，42,5,6,10的秩，并求出它的一个极大无关组。

12解：令A12112134502340561002121

02300011 rA3R 极大无关组为1,2,3

x1  x2 2x36　　15、求解线性方程组2x13x23x313 的基础解系及通解。

4x4x7x23 231 9 / 19

11261002解：A23313L0102

447230011QrArA3 方程组有唯一解

x12 x22为所求

x13

x1x2x3x40　　　16、求齐次线性方程组2x13x24x35x40 的基础解系及通解。

3x4x5x6x02341解：

11111012A2345L0123

34560000QrA24 有无穷多解

x1 x3 2x40 同解方程组为

x2 2x3　　3x40  　　2132 基础解系为1=，2= 0101通解为Xk11k22 其中k1,k2R

x1x2x3 617、求解线性方程组2x13x2 x311。

 xx2x531211161001解：A23111L0102

11250013 10 / 19

x11QrArA3n 有唯一解  x22 为所求

x33

18、求非齐次线性方程组的全部解（用特解及导出组x1 x2x32x442x13x2x33x410 4x5xxx18 2341的基础解系表示）。

1112410492解：A231310L01372

45111800000QrArA24 有无穷多解 x1 4x3 9x42 同解方程组为

 x22x37x42 249237特解为X0导出组的基础解系为1=，2= 010001全部解为XX0k11k22 其中k1,k2R

 x1x2 x32x44　　　19、求非齐次线性方程组2x1x25x3x47 的全部解（用基础解系表

5x4x8x5x19 2341示）。 解：

1112410433A21517L01351

54851900000QrArA24 有无穷多解

x1  4x3 3x43 同解方程组为

x3x5x1 234 11 / 19

334153特解为X0导出组的基础解系为1=，2=

001010全部解为XX0k11k22 其中k1,k2R

x1x22x3x40　　20、求齐次线性方程组2x13x2x34x40 的基础解系及通解。

5x6x7x7x0234111211051解：A2314L0132

56770000QrA24 有无穷多解

x1 5x3 x40 同解方程组为

x 3x2x0 2341523 基础解系为1=，2=

0110通解为Xk11k22 其中k1,k2R

 x1x2 2x33x43　　　21、求非齐次线性方程组2x13x2 x33x47 的全部解（用基础解系表

5x6x7x12x16 2341示）。

1123310562解：A23137L01331

567121600000QrArA24 有无穷多解

x 5x3 6x42 同解方程组为1

 x23x33x41 12 / 19

265133特解为X0导出组的基础解系为1=，2=

001010全部解为XX0k11k22 其中k1,k2R

 x2　 x3　6　　 x1　22、求解线性方程组2x13x23x315 。

2x2x3x13 23111161003解：A23315L0102

223130011QrArA3n 方程组有唯一解 x13 x22为所求

x13

x1x2x3x42　　　23、问a取何值时线性方程组3x12x2x35x45 有解？有解时，求出全部

4x3x2x6xa2341解（特解及导出组的基础解系表示）。

11111210131 解：A32155L01224326a0000a7当a7时rArA24 有无穷多解

x  x3 3x41 同解方程组为1

 x22x32x41 131122特解为X0导出组的基础解系为1=，2= 001010全部解为XX0k11k22 其中k1,k2R

13 / 19

2224、设fx1,x2,x32x122x22x36x1x26x1x36x2x3

（1）求一正交变换化f为标准形 （2）判定f的正定性 解：

233（1）f的矩阵A323

332233EA323128332121　 38

11对于121得X11,　　X2012 1126得C111,　　C226 02613对于8得X11331单位化，得C313 13令正交矩阵CC1,C2,C3

则正交变换XCY 化 fy221y28y23

（2）Qp13　　　　f不正定

14 / 19

已正交，单位化

2225、设fx1,x2,x33x123x23x32x1x22x1x32x2x3

（1）求一正交变换化f为标准形 （2）判定f的正定性 解：

311（1）f的A131

113311EA131522

113122　 35

对于11,　　X112得X1212 已正交01126得C11,　　C122 602613对于得X113531单位化，得C313 13令正交矩阵CC1,C2,C3

则正交变换XCY 化 f2y2212y25y23

（2）Qp3　　　　f为正定二次型

15 / 19

单位化

2226、设fx1,x2,x3x12x2x34x1x24x1x34x2x3

（1）求一正交变换化f为标准形 （2）判定f的正定性 解：

122（1）f的矩阵A212

221122EA212125

221121　 35

对于X11121得11,　　X21 021126得C111,　　C226 026113对于135得X31单位化，得C313 13令正交矩阵CC1,C2,C3

则正交变换XCY 化 fy221y25y23（2）Qp13　　　　f不正定

16 / 19

已正交 单位化

1327、设A3313331

（1）求一正交矩阵Q，使得QTAQ为对角形。 （2）写出A对应的二次型f，并判定f的正定性。 解：

133（1）EA313542

331124 35

11对于1，X124解4EAX0 得X12102112已正交单位化 Q161 Q212 0626对于 5EAX0 得 X135解311

13单位化 Q1433 令QQ1,Q2,Q3 则 QTAQ13（2）fx221x2x236x1x26x1x36x2x3 Q 350 f不正定

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45

31128、设A131求一正交矩阵Q，使得QTAQ为对角形。

113写出A对应的二次型f，并判定f的正定性。

211解：（1）EA121412 112121　 34

1对于0 得X1121解EAX11，X2012

1216已正交单位化 Q111 Q226 026对于 4EAX0 得 X13=4解31

113单位化 Q11T33 令QQ1,Q2,Q3 则 QAQ13（2）f2x2212x22x232x1x22x1x32x2x3 Q i0 i1,2,3 A正定从而f正定

29、设fx221,x2,x3x21x2x36x1x261x36x2x3

（1）求一正交变换化f为标准形 （2）判定f的正定性

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4 1解：

133（1）f的矩阵A313

3311EA3333354

2131124　 35

11对于124得X11,　　X21 已正交 单位化

02116211,　　C得C12 262061对于35得X31单位化，得C31131 313令正交矩阵CC1,C2,C3

225y3则正交变换XCY 化 f4y124y2

（2）Qp23　　　　f不正定

30、（1）设n阶方阵A，满足A22A2E0，证明EA可逆，并求AE。

（证明略）

（2）设mn矩阵A且mn，证明ATA0。（证明略）

（3）设n阶方阵A，满足ATAE，且A1，证明EA=0。（证明略） （4）设n阶方阵A满足A22A，证明：A的特征值只能是0或者2。（证明略）

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