初二四边形综合提高练习题(附详解)

1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）求AB,AC的长； （2）求证：AE=DF；

（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． （4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

2．如图，已知菱形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE． （1）求证：四边形BECD是平行四边形；

（2）若∠E=60°，AC=43,求菱形ABCD的面积．

3．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45º.△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到，连接BE，CF相交于点D. （1）求证：BE＝CF；

（2）当四边形ABDF是菱形时，求CD的长.

4．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，AB上，点M在BA的延长线上，且CE=BF=AM，过点M，E分别作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，连接NF． （1）求证：DE⊥DM；

（2）猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

答案第1页，总5页

5．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，如果这两个正方形全等，正方形A1B1C1O绕点O旋转． （1）求两个正方形重叠部分的面积；

（2）若正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，求A与C1的距离．

6．在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（备注：在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半）

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

参考答案

1．（1）AB=5，AC=10.（2）证明见解析；（3）能，当t=秒时，△DEF为直角三角形.

【解析】（1）设AB=x,则AC=2x.由勾股定理得，(2x)-x=(5

2

2

105时，四边形AEFD为菱形．（4）当t=秒或4322

),得x=5，故AB=5，AC=10.

（2）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF．

答案第2页，总5页

（3）能．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=5，∴AC=10．∴AD=AC-DC=10-2t．若使□AEFD为菱形，则需AE=AD，

即t=10-2t，t=.即当t=时，四边形AEFD为菱形．

（4）①∠EDF=90°时，10-2t=2t，t=．②∠DEF=90°时，10-2t=t，t=4．③∠EFD=90°时，此种情

况不存在．故当t=

秒或4秒时，△DEF为直角三角形.

2．（1）证明见解析；（2）菱形ABCD的面积为83

试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD，AB∥CD.； 又∵BE=AB， ∴BE=CD.

∵BE∥CD, ∴四边形BECD是平行四边形. （2）∵四边形BECD是平行四边形， ∴BD∥CE.

∴∠ABO=∠E=60°. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC丄BD,OA=OC. ∴∠BOA=90°， ∴∠BAO=30°.

∵AC=43, ∴OA=OC=23. ∴OB=OD=2. ∴BD=4. ∴菱形ABCD的面积=

3．（1）证明见解析；（2）22－2 试题解析：

（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的， ∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°， ∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF， 在△ABE和△ACF中

11ACBD43483 22AB＝AC{BAE＝CAF ∴△ABE≌△ACF， ∴BE=CF．

AE＝AF（2）∵四边形ABDF是菱形， ∴AB∥DF， ∴∠ACF＝∠BAC＝45°．

答案第3页，总5页

∵AC=AF， ∴∠CAF＝90°，即△ACF是以CF为斜边的等腰直角三角形， ∴CF＝22． 又∵DF=AB＝2， ∴CD＝22－2．

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质． 4．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DC=DA，∠DCE=∠DAM=90°，

在△DCE和△MDA中，， ∴△DCE≌△MDA（SAS）， ∴DE=DM，∠EDC=∠MDA．

又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°， ∴∠ADE+∠MDA=90°， ∴DE⊥DM；

（2）解：四边形CENF是平行四边形，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB=CD． ∵BF=AM， ∴MF=AF+AM=AF+BF=AB， 即MF=CD，

又∵F在AB上，点M在BA的延长线上， ∴MF∥CD， ∴四边形CFMD是平行四边形， ∴DM=CF，DM∥CF，

∵NM⊥DM，NE⊥DE，DE⊥DM， ∴四边形DENM都是矩形， ∴EN=DM，EN∥DM， ∴CF=EN，CF∥EN， ∴四边形CENF为平行四边形．

5．（1）1；（2）10

解：解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB ∵BO⊥AC， ∴∠AOE+∠EOB=90°，

又∵四边形A1B1C1O为正方形， ∴∠A1OC1=90°，即∠BOF+∠EOB=90°， ∴∠AOE=∠BOF，

在△AOE和△BOF中，， ∴△AOE≌△BOF（ASA），

∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF， 又S△AOE=S△BOF ∴S两个正方形重叠部分=SABO=S正方形ABCD=×4=1； （2）如图，

∵正方形的面积为4， ∴AD=AB=2，

∵正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时， ∴C1F=OC1=1，AG=1 ∴C1G=3， 根据勾股定理，得AC1=

6．（1）、证明见解析；（2）、t=10；（3）、t=

．

15或12，理由见解析. 2答案第4页，总5页

试题解析：（1）、∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°， ∴AB=∵CD=4t，AE=2t， 又∵在Rt△CDF中，∠C=30°， ∴DF=11AC=×60=30cm 221CD=2t ∴DF=AE 2（2）、能。

∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10 ∴当t=10时，AEFD是菱形 （3）、若△DEF为直角三角形，有两种情况： ①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，

则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=152。 ②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

则AE=2AD，即2t=2（60-4t），解得：t=12。 综上所述，当t=152或12时，△DEF为直角三角形

答案第5页，总5页