专升本《高等数学》模拟试卷

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试

高等数学标准模拟试卷（二）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。共150分。考试时间120分钟。

第I卷（选择题，共40分）

注意事项：

1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，并

将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

x22x1. 设fx，则下面结论中错误的是 2xx4 A.x2,x0,x2为fx的间断点. B.x2为无穷间断点. C.x0为可去间断点. D.x2为第一类间断点. 2．设x5x0sintdt,txsinx01t1tdt，则当x0时，x是x的

A．高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶但不等价无穷小 D. 等价无穷小 3．若limfx与limfxgx均存在,则limgx

xx0xx0xx0 A. 一定存在

4. 设fxln4,则lim A. ln4

fxxfx等于 x0x1 B. C. 

4B. 一定不存在 C. 可能存在也可能不存在 D. 无法判定

D.0

0sintdtx3t,5．设fx3x,aA．2

x0 , 则当a取何值时,函数fx连续 x0B．1

C．-1 D．0

作者：李宝瑜 1/10

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6．设0a1,1xa21dxxI,1xa1dx3xJ,1xa21dx3xK, 则三

个数I,J,K的大小关系是 A．IJK

C. KIJ

B．JKI D. IKJ

7．设a1,1,2, b2,0,1,则向量a与b的夹角为

A.

 2 B.

 6 C.

 4 D. 0

8．设fxy,y22xy,则fx,y等于 xy21xy21yx21xx21yA． B． C． D． 1x1x1y1y9．设D是圆环域: 1xy4,则

22dxdy

DA. 3 B．4

10.下列函数中属于二阶常微分方程的通解的是 A．xyc

2C．2 D．

22

B．yc1sinxc2cosx D．ylnc1xlnc2sinx

C．yc1xc2xc3

作者：李宝瑜 2/10

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天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试

高等数学标准模拟试卷（二） 第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

二 题号 得分 （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） 三 总分

注意事项：

1. 答第Ⅱ卷前，考生须将密封线内的项目填写清楚。

2．考生须用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

得分 评卷人 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填 在题中横线上。

sinx,x011．设fxx 在x0处连续,则常数k

k,x012．曲线sinxylnyxx在点(0,1)处的切线方程为

11113．设fxxfxdx,则fxdx= 001x14．设a3,b4且a垂直于b,则abab

15．交换积分次序

21dx2xx22xfx,ydy 16．二阶常系数齐次线性方程y6y9y0的通解为 作者：李宝瑜 3/10

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三、解答题：本大题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

得分 评卷人 17．（本小题满分10分）

设yxsinx

得分

评卷人 18．（本小题满分10分）

cosx,求y

sinxxa,x0x3设fx , 问a为何值时limfx存在.

x0x212sinx0sintdt,x0x

作者：李宝瑜 4/10

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得分 评卷人 19．（本小题满分10分）

若a1(a为常数),计算

得分 11xaexdx

评卷人 20．（本小题满分10分）

已知Fxy,0确定zzx,y, 其中Fu,v,zx,y均有连续偏导数,求证 zz x

zzyz xy作者：李宝瑜 5/10

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得分 评卷人 21．（本小题满分10分）

设函数fx连续，且

得分 x0tf2xtdt21已知f11，求fxdx的值。 arctanx2，

12

评卷人 22．（本小题满分12分）

计算二重积分

ydxdyD,其中D是由直线x2,y0,y2以及曲线

x2yy2所围成的平面区域.

作者：李宝瑜 6/10

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得分 评卷人 23．（本小题满分12分）

y4y4y0 , 求广义积分yxdx

0y02,y04 设函数yyx满足条件

得分

评卷人 24．（本小题满分12分）

2 设直线yax与抛物线yx所围成图形面积为S1,它们与直线x1所围成图形面积为S2,且0a1,求a的值,使S1S2达到最小.

作者：李宝瑜 7/10

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高等数学标准模拟试卷（二）参考答案

一、 选择题

1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．A 10．B 二、填空题

11．1 15．

112．yx1

11y2

13．2ln2

14．24

3x0dy2yfx,ydx

16．yC1C2xe

三、解答题

17. 解： 令usinxcosx1cos2x，lnucosxlnsinx,usinxlnsinx

usinxcosx 则 usinx2cosxsinxcosxsinxlnsinx sinxysinxcosxxsinxcosx2sinxcosx1sinxlnsinxcosx

sinxsinxxsinxx18．解： limfxlima alim3x0x0x0xx3cosx1sinxa alim2x0x06x63x2sinx1xlimsint2dt limfxlimx0x0x0x0x alimx20sintdt2limsinx2dx2

2limx0x0x x0limfxlimfxx0a2 6 因此，仅当a12时存在极限. 19. 解:

作者：李宝瑜 8/10

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11xaedxaxedxxaexdxxx1axxxa1aexee 2eae20．解: 设 Fa1a1xeeaexxx1a

2e1ae

xyuv1FvFu ,Fu,v FxFuxxzzz FyFuuv1FvFv yyz FzFuuvxyFvFu2Fv2 zzzzzFuz

xxFyFuv 则得 xzFvz

yxFyFuv

zzyz xy21．解：设u2xt, 则t2xu,dtdu，于是

x0tf2xtdt2xufudu2xx2x2xx2xfuduufudu

x2x 因此原等式变换为 2x2xxfuduufudux1arctanx2 2x

1x4 上式两边对x求导，得 22xxfudu2x[2f(2x)f(x)][2xf(2x)2xf(x)]2xxxfx 4x1x213令x1，得 2fudu1

12223于是 fxdx

1422．解：ydxdyydxdyydxdy

即 2fuduDDD1D1作者：李宝瑜 9/10

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易知

DD1ydxdydxydy4

2002 其中

Dr,,0r2sin

2 于是

ydxdyd2sin8481cos2rsinrdrsindd

2D12032322 2312cos21cos4d 222 故

ydxdy4D2

23．解：特征方程为 r24r40 得r1r22, 原方程的通解为 yC2x1C2xe 由初始条件得 C12,C20

因此,微分方程的特解为 y2e2x,从而

yx002e2xdx2x0ed2x1

24．当0a1时, SSa2121S20axxdxaxaxdx

a33a213

Saa212 , 令Sa0 ,得惟一驻点 a22

又S220,SS221S2 在a时达到最小值 2作者：李宝瑜 10/10

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高等数学标准模拟试卷（三）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。共150分。考试时间120分钟。

第I卷（选择题，共40分）

注意事项：

1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，并

将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。 1．当x0时，变量

11是 sinxx2f(1)f(1x)1，则

2x A．无穷小 B. 无穷大 C. 有界的 D. 无界的，但不是无穷大 2．设周期函数f(x)在（,）内可导，周期为4，又limx0曲线yf(x)在点（5，f(5)）处的切线斜率为 A．

1 22B. 0

3C. 1 D. 2

3．函数f(x)(xx2)xx不可导点的个数是 A．3

B. 2

C. 1

D. 0

1xsin,x04．设函数f(x)，则f(x)在x0处 x0,x0A． 极限不存在 B． 极限存在但不连续 C． 连续但不可导 D． 可导 5．设函数f(x)在闭区间a,b上有定义，在开区间a,b内可导，则

A．当f(a)f(b)0 时，存在a,b，使f()0 B．对任何a,b ，有limf(x)f()0

x

作者：李宝瑜 1/10

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C．当f(a)f(b)时，存在a,b，使得f()0 D．存在a,b，使f(b)f(a)f()(ba)6．设f(x)

x在（,）上连续，且limf(x)0，则常数a,b满足 bxxaeB．a0,b0 C．a0,b0

D．a0,b0

A．a0,b0

7．设函数f(x)在区间0,a上二次可微，且xf(x)f(x)0，则内

A．不单调增加

C．单调增加

f(x)在区间0,a x

0

B．不单调减少

D．单调减少

8．设I120sin(sinx)dx,I22cos(sinx)dx ，则

B．1I1I2

A．I11I2 C．I21I1

x D．I1I21

9．曲线yecosx(0x2)与x轴围成图形的面积表示为

A．420ecosxdx

xB．

20ecosxdx3ecosxdxexcosxdx

22x2x32C．

2xx00ecosxdx D．22ecosxdxexcosxdx

23210．函数y2x是微分方程xy2y的

A．通解

B．满足yx121 的特解 2 的特解

C．不是方程的解 D．满足y

x1作者：李宝瑜 2/10

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高等数学标准模拟试卷（三） 第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

二 题号 得分 （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） 三 总分

注意事项：

1. 答第Ⅱ卷前，考生须将密封线内的项目填写清楚。

2．考生须用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

得分 评卷人 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填 在题中横线上。

1cos2x11．lim() x0sin2xx212．设函数yf(x)由方程xy2lnxy所确定，则曲线yf(x)在点(1,1)处的切

线方程是 13．已知f(x)连续，

204tf(xt)dt1cosx,则0xf(x)dx 14．设f(x)(x0)是连续函数且

x221f(t)dtx3，则f(2)

15．设一平面经过原点及点(6,3,2),且与平面4xy2z8垂直，则此平面方程为 16．常微分方程xydx(xy)dy0的通解为

作者：李宝瑜 3/10

233天津市高等院校“高职升本科”《高等数学》标准模拟试卷

三、解答题：本大题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

得分 评卷人 17．（本小题满分10分）

确定常数a,b,c的值，使limaxsinxc(c0)

x0xln(1t3)btdt

得分

评卷人 18．（本小题满分10分）

求过点A(1,0,4)且平行于平面:3x4yz100又与直线

l1:

x1y3z相交的直线方程 112作者：李宝瑜 4/10

天津市高等院校“高职升本科”《高等数学》标准模拟试卷

得分 评卷人 19．（本小题满分10分）

1x00f(xt)dtx0f(x)设f(x)连续，且lim 求F(0) 2，令F(x)0x0xx0ln(12t)dtx0x

得分

评卷人 20．（本小题满分10分）

1x0xx设f(x)ex，求函数F(x)f(t)dt的表达式

1(ex1)20x1

作者：李宝瑜 5/10

天津市高等院校“高职升本科”《高等数学》标准模拟试卷

得分 评卷人 21．（本小题满分10分）

2f2f设f(u,v)具有连续的二阶偏导数，且满足1, 又

u2v22g2g122g(x,y)f(xy,(xy))，求22

2xy

得分

评卷人 22．（本小题满分12分）

计算二重积分ID1(xy)223dxdy,其中D是直线yx,x2及上半圆周

y2xx2所围成的区域

作者：李宝瑜 6/10

天津市高等院校“高职升本科”《高等数学》标准模拟试卷

得分 评卷人 23．（本小题满分12分）

证明3e

4exdx3

122得分

评卷人 24．（本小题满分12分）

已知曲线过点(1,1)，如果将曲线上任一点p(x,y)处的切线与y轴的交点记作Q,则以 PQ为直径作的圆都过点A(1,0),求此曲线的方程

作者：李宝瑜 7/10

天津市高等院校“高职升本科”《高等数学》标准模拟试卷

高等数学标准模拟试卷（三）参考答案

一、选择题

1．D 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．C 8．A 9．B 10．D二、填空题

11．

4 312．yx

13．1 14．

1 4315．2x2y-3z0

1x16．lnyc 3y三、解答题

17．解：因为当x0时，有axsinx0从而有limx0bxln1t3dt0。若b0,则t3xln1tln1t3在0,b内0,从而limdt0；若b0,则在b,0内

x0btt3xln1tln1t30,从而limdt0。

x0bttb0

limaxsinxacosxacosx limlim2x0xln(1t3)x0ln(1x3)x0xdt0tx若a1，则上式为 a1

1cosx1

x02x21a1,b0,c

2当a1时，liml1，则0的法向量为18．解：过点A及直线l1做平面0，令点B(1,3,0)no=ABS1=10,4,3

设所求直线的方向向量为s,则sn0，又由题设有sn=3.4,1而

n0n16,19,28.取s16,19,28，则所求直线方程为

作者：李宝瑜 8/10

天津市高等院校“高职升本科”《高等数学》标准模拟试卷

x1yz4 161928uxtxf(u)11x19．解：f(xt)dtduf(u)du

00xx0F(x)F(0)F(0)limlimx0x0x0F(x)F(0)F(0)limlimx0x0x0故F(0)1

x0f(u)dux2limx0f(x)1 2xln(12x)1

2xx0ln(12t)dtx2limx0x2120．解：当1x0时，F(x)tdt

122x 当0x1时，F(x)01tdtx0et1 dt(et1)21ex(x21)2 F(x)1x(1e)21．解：

1x0

0x1ggyf1xf2,xf1yf2, xy2g22f2 y(yfxf)fx(yfxf)yf2xyfxf2211122212211122x2g22f2 x(xfyf)fy(xfyf)xf2xyfyf2211122212211122y2g2gf22)x2y2 所以 2(x2y2)(f112xy22．解：转化到极坐标，则yx4，

y2xx2r2cos，x2r作者：李宝瑜 9/10

2 cos天津市高等院校“高职升本科”《高等数学》标准模拟试卷

于是

ID1(xy)223dxdyDrdrd(r)2340d2cos2cos11112dr4(cos)d[ln(21)]20r22cos22

23．证明f(x)ex2在1,2上有最大值ymaxx01,最小值ymaxx2e

4e4ex1x1,2

2 故由定积分性质可得

21edxe142142x2dxdx

12 即3eexdx3

224．解：设所求曲线为yf(x)，它在任一点p(x,y)处的切线方程为Yyy(Xx)， 于是Q点坐标为(0,yxy)，由pQ为直径，点A(1,0)在圆上得PAQA,从而

yy

2121y1,y(1)1xx

由方程特点，令uy，则方程变为一阶线性方程u2222u2利用通解公式xx2可得u2x1cx即原方程的通解为y2x1cx因y(1)1于是c0, 故所求曲线为y2x1

2作者：李宝瑜 10/10

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天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试

高等数学标准模拟试卷（六）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。共150分。考试时间120分钟。

第I卷（选择题，共40分）

注意事项：

1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，并

将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。 1. 下列各组为同一函数的是 A. fxx1,x0 ,gxx1,x0 B.fxtanarctanx, C. fxe D. fxlnx3gxsinarcsinx

,gxx3

u1,u1 ,guu1,u1x12x212．函数yxx1的间断点个数为

x1x2 A．0 3．若数列极限lim A. 3

B.1

C.2

D.3

2n1nnknknk

B.2

20,则k为 

C. 1

D.任意实数

4. 设fx在点x0处可导，则limA.fx0

fxf2x0xx0xx0

D. 2fx0

B. 2fx0fx0

C. 0

作者：李宝瑜 1/10

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5．设fx有二阶连续导数，且f00,A．f0是fx的极大值

limx0fx1，则

x

B．f0是fx的极小值

C．0,f0是曲线yfx的拐点

D．f0不是fx的极值，点0,f0 也不是曲线yfx的拐点

db6．设a,b是常数，则sinx2dx dxa A．sinb

2

B．sina

2

C. sinx

2 D. 0

7．下列命题不正确的是 A. 向量AB与BA的模相等



aB. 向量a0,则与a平行

aC. aa0

D. b是单位向量，则b1

8．下面空间曲面为柱面的是

A．x4z

222

y2B．xz21

42C．xy4z

22

D．xy0

229．设D是由xyy,yx,x0所围成的平面区域，则二重积分

fxD2y2dxdy

cosA.

d240frrdr

2 B．

d24sin0fr2rdr



C．

40dsin0frrdr

2 D．

40dcos0fr2rdr

10. 微分方程yy满足初始条件y01的特解是

A．e

xB．e1

x

C．e1 D．2e

xx作者：李宝瑜 2/10

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天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试

高等数学标准模拟试卷（六） 第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

二 题号 得分 （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） 三 总分

注意事项：

1. 答第Ⅱ卷前，考生须将密封线内的项目填写清楚。

2．考生须用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

得分 评卷人 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填 在题中横线上。

11．limxln1xlnx

x12．设fu可导，且yf2exfx，则

dy dx1x13．设limxx14．

axtetdt，则常数a a2xx2x22dx

15．设fx,ylnxy,gx,ye22xy,则fx2,gx,y

2x16．设f1x的一个原函数是e2x，f2x的一个原函数是e，则当D是区域是

0x1,0y1时，f1xf2yd

D

三、解答题：本大题共8小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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得分 评卷人 17．（本小题满分10分）

求lim

4x2x1x1xsinx2x

得分

评卷人 18．（本小题满分10分）

22arctanyx设函数yyx由方程xy5e

x0确定，求y

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得分 评卷人 19．（本小题满分10分）

231x,x0 设fx，求fx2dx

x1,x0e

得分

评卷人 20．（本小题满分10分）

2 设zxyxy,而xucosv,yusinv，求

作者：李宝瑜 5/10

2zz ,uv天津市高等院校“高职升本科”《高等数学》标准模拟试卷

得分 评卷人 21．（本小题满分10分）

一直线通过点B（1，2，3），且与向量a6,6,7平行，求点A（3，4，2）到该直线的距离.

得分

评卷人 22．（本小题满分12分）

计算二重积分

2x2y242sinx2y2dxdy

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得分 评卷人 23．（本小题满分12分）

证明不等式,

得分 24eex022xdx2e2.

评卷人 24．（本小题满分12分）

dyytanxsin2x 求满足条件dx的函数.

yx3

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高等数学标准模拟试卷（六）参考答案

一、选择题

1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．D 7．D 8．A 9．B 10．A 二、填空题

11．1 12．e15．ln[xe三、解答题

4fxf22xxln2f2xfx 13．2 14．ln3

2xy] 16．e21e21

417 ．解： 原式=limx11121xxxsinx12x(x,分子分母除以x)

=

2101 122yarctanx 18．解：对方程左右同时取自然对数得：lnxyln5e即

1ylnx2y2ln5arctan，故左右同时对x求导有 2xy1y2xyyyxy12x2yyxx ，即 22222222xyxyxyy1x xyyxyy，故yxy xy0119．解：令tx2，则dxdt，当x1时，t1；当x3时，t1 所以 20．解：

31fx2dxftdt1t2dtetdt111071 3e作者：李宝瑜 8/10

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zzxzy2xyy2cosvx22xysinvuxuyu

3u2sinvcosvcosvsinvzzxzy2xyy2usinvx22xyucosvvxvyv

2u3sinvcosvcosvsinvu3sin3vcos3v21．解：由已知得此直线方程为

x1y2z3 ，设C点为A点到该直线的垂足，667即AC为A到直线的距离，BCS6,6,7,BA2,2.1

 故SABC1BCBA，BCBA66720i20j 2221ijk BCBA202

1ACBC，而BCS62627211 2 又SABC 所以 dACBCBABC202 1122．解：原式=

20d22rsinrdr2rdcosr 2 =2rcosrsinr23．证明： 设Fxex2x62

2,则Fxex2x2x1，令Fx0，得驻点x1

211 又因为F01,F2e,Fe4，

2作者：李宝瑜 9/10

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1 所以在0,2上，Fx的最大值为F2e,最小值为Fe4，

212 所以 e14200e2422x2xdxe220 dx2e2

即

eex02x24．解：Pxtanx,Qxsin2x

tanxdxtanxdxdxCyesin2xe

2sinxcosxecosx2sinxdxCelncosxlncosxdxC

Ccosx2cos2x2 把yx3带入通解得：C=1 ycosx2cosx为所求函数

作者：李宝瑜 10/10