一 一一 ｓｉｎ ｔ ３。 （宋建辉；高浩） 理科第１５题：设等比数列｛ｎ ）满足ａ ＋口。一１０， ａ２＋ａ４—５，则ａ１ａ２…・・ｎ 的最大值为 。 解：设等比数列｛ａ ）公比为ｑ，则ａ ＋ａ ＝ １ （口１＋ｎ３）ｑ，ｑ一寺。解得ｎｌ一８，口２—４，ｎ３—２，口４—１， １ 口５一÷，当 ≥５时，厶 ０＜ａ ＜１，故口１口２…・・ｎ 的最 大值为ａｌａ２ａ３—６４。 （张培强；福建省厦门大学附属实验中学 林运 来；安徽省芜湖市沈巷中学 何业亮；安徽省和县第 三中学 范世祥；山西省临县第一中学 李有贵） 理科第９题：若ｃ。ｓ（ 一ａ）一 ３，则ｓｉｎ ２ａ一 （ ）。 Ａ．丢 Ｂ． ｃ．一ｉ１ Ｄ．一 ７ 解：由ｃ。ｓ（詈一ａ）一ｉ３知， （ｃ。ｓ ａ＋ｓｉｎ ａ）＝ 詈，０ 即ｃ。ｓ ＋ｓｉｎ 一半，０ 两边平方得ｓｉｎ ２ａ：：＝一丢。０ （陕西省洛南县西关中学 冀建军；新疆乌鲁木 齐市高级中学王治国；江苏省扬州市第一中学 李 春龙；湖南省宁乡县第一中学 唐新阳；陕西省汉中 市四。五学校侯有岐；陕西师范大学附属中学 张 文俊；甘肃省岷县第一中学 歹书科；安徽省安庆市 第一中学 洪汪宝；安徽省太和中学 韩长峰；安徽 省颍上县第一中学耿合众；安徽省灵璧第一中学 郑良；甘肃省迭部县高级中学 赵维刚；陕西省西安 市田家炳中学冯恒仁） 理科第１１题：已知Ｆ ，Ｆｚ是双曲线Ｅ：Ｘ ２ｙ２一 ＝ １的左、右焦点，点Ｍ在Ｅ上，ＭＦ。与ｚ轴垂直， ｓｉｎ ＭＦ Ｆ ： １，则Ｅ的离心率为（ ）。 ．妲 Ｂ． Ｃ． Ｄ。２ 解法１：因为ｓｉｎ￣ＭＦ Ｆ 一÷，不妨设ｆ ＭＦ－ｆ： １，则Ｉ ＭＦ。Ｉ一３，Ｉ Ｆ Ｆ Ｉ一 一２ 。 所以２ｎ＝１ ＭＦ ｌ一１ ＭＦ ｌ一２，２ｃ—ｌ Ｆ，Ｆｚ Ｉ＝ 垒堡曼 塑 Ｉ ４３ ２√２。 所以ｅ＝箬＝＝＝ 。 （歹书科；郑良；福建省厦门大学附属实验中学 林运来；陕西省旬邑县中学 杜海洋；山东师范大学 附属中学 宁卫兵；陕西师范大学附属中学 岳建 良；新疆哈密三道岭第三中学 王华；陕西省绥德县 绥德中学马克明；山东省嘉祥县第一中学洪山校区 任宪伟） 解法２：因为Ｆ ，Ｆｚ是双曲线 一 ２２—１的左右 焦点，Ｆ （一Ｃ，０），且ＭＦ 上 轴， 所以Ａｃ ＿ｙＡ。６。＝１，即 一±等，则Ｍ（一ｃ，等）。 由ｓｉｎ￣ＭＦｚＦ 一÷，得Ｉ ＭＦ Ｉ一３ Ｉ ＭＦ。Ｉ，由 Ｉ ＭＦ ｌ—Ｉ ＭＦ Ｉ一２ａ，得ｌ ＭＦ ｌ一口。 所以一ｂ２一ｎ，即ａ：６。 ：＝＝詈一√ 一 。 （杜海洋；歹书科；王华；任宪伟；湖北省洪湖市园 林中学 陈安心；江苏省徐州市第一中学 张培强； 江苏省常熟市中学 查正开；陕西省麟游县中学 韩 红军；内蒙古通辽第五中学 朱瑞东） 解法３：由解法２知１ ＭＦ Ｉ—ｎ，ｌ ＭＦ。Ｉ＝３ａ。 利用勾股弦定理可得Ｉ ＭＦ ｌ 一Ｉ ＭＦ Ｉ。＋ ｆ Ｆ１Ｆ２ Ｉ。 ９口 ：ｎ。－ｆ４ｃ ８一 。 （赵维刚；内蒙古通辽第五中学 朱瑞东；福建省 厦门市第一中学 王淼生） 解法４：由已知并利用通径可得ｓｉｎ ＭＦ Ｆ 一 ｂ 号 ｔａｎ ＭＦｚ Ｆ １２一 ｅ 。 （王淼生；岳建良） 解法５：在Ｒｔ△ＭＦｌＦ２中，由ｓｉｎ ＭＦ２Ｆ１一÷， ｎ ，ｎ 得ｓｉｎ Ｆ１ＭＦ２一 。 又由题意可知，２ｎ一［ＭＦ２ Ｉ—ｌ ＭｌＦ１ ｌ，则ｅ一寺一 ２ｃ ＩＦ１ Ｆ２ ｌ— ｓｉｎＺＦ１ＭＦｚ 一 一 『＿厂＝＝＿丁研一 Ｚ ＝ｉ Ｚ 一 ２ 士一 。 卜专 （王淼生；赵维刚；唐新阳；查正开；韩红军；歹书 由射影定理得６一ｆｃ。ｓ Ａ＋ｎｃ。ｓ ｃ一 ２Ｏ×ｉ４＋ １ Ｘ ５ ２１３＝ｌ３。 科；岳建良；王华；郑良；冯恒仁；任宪伟；陕西省乾县 第二中学 张丽萍 王朋） 理科第１２题：已知函数ｆ（ ）（ｚ∈Ｒ）满足 （一ｚ）一２一厂（ｚ），若函数 一 与 一厂（ｚ）图像 （耿合众；歹书科；西北师范大学教育学院 李凯；陕西省吴起高级中学 武娟 王景奇） 解法２：过点Ｂ作ＢＤ上ＡＣ，垂足为Ｄ，Ｄ在线段 ＡＣ上。 的交点为（ｚ ，Ｙ。），（ｚ２，Ｙ。），…，（ｚ ， ），则∑（五十 Ｙ，）一（ ）。 Ａ．０ Ｂ．ｍ Ｃ．２ｍ Ｄ．４ｍ 解法１：因为函数，（ｚ）（ｚＥＲ）满足－厂（一ｚ）＝２一 厂（ ），即厂（ ）＋厂（一ｚ）一２，不妨取＿厂（ｚ）一ｚ＋１，则 函数 一 与Ｙ＝ （ｚ）：ｚ＋１的交点为（一１，０）， （１，２），此时ｍ＝２，且∑（ｚ ＋ ）一（一１＋ｏ）＋（１＋ ２）一２—１×２，对比选择支，排除Ａ、Ｃ、Ｄ，故选Ｂ。 （张文俊；岳建良；王华；林运来；江苏省睢宁县古 邳中学 苗勇；陕西省靖边中学 何占占；云南省祥 云县第一中学新校区 董正洪；北京师范大学贵阳附 属中学 李鸿昌；陕西省延安市育英中学 尚生陈； 吉林省长春市第二实验中学 王乐；甘肃省康乐县康 乐中学 齐斌德） 解法２：因为．ｙ一旦 ＝１＋ ，其图像关于点（０， １）对称。 又，（－－ｘ）一２一ｆ（ｚ） ｆ（ ）＋ｆ（一ｚ）一２＝；’ 三 一１，所以函数 一笠 与 一厂（ｚ）图 像的交点的横坐标之和为０，相对称的两个点的纵坐 标之和为２，故∑（．ｚ ＋ ）一 。 （陈安心；何占占；董正洪；唐新阳；冀建军；冯恒 仁；张文俊；岳建良；王华；新疆乌鲁木齐兵团第二中 学 司永斌；甘肃省张掖市第二中学 王浩） 理科第１３题：ＡＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分 别为口，６，ｃ，若ｃ。ｓ Ａ一号，ｃ。ｓ Ｃ一 ５，ａ一１， 则６一。 ——解法ｌ： ＡＡＢＣ中，由ｃ。ｓ Ａ—ｉ４，ｃ。ｓ ｃ＝一旦＿１３， 得ｓｉｎ Ａ一号，ｓｉｎ ｃ一 １２。由正弦定理得 一 ｃ一 一器。 在△ＢｃＤ中，由ｃｏｓ ｃ＝：＝素，ｎ一１得ＤＣ—ＢＣ・ ｃｏｓ ｃ一 ＇ＢＤ一 １２。 ：（Ｊ￣ＡＡＢＤ中，由ｃｏｓ Ａ一 ４，得ｓｉｎ Ａ一善， ｔａｎ Ａ一 ３，于是 一 。 则ＡＤ一两１６所以６一ＡＤ＋Ｄｃ一 １６１＿ ５２１，。 （歹书科；岳建良；李凯；武娟；Ｙ－景奇；山东省宁 阳县第一中学 刘才华） 理科第１６题：若直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ是曲线 一ｉｎ ＋ ２的切线，也是曲线 —Ｉｎ（ｘ＋１）的切线，则６一。 解法１：对函数 —Ｉｎ ｘ＋２求导得 一÷。 对函数 —ｌｎ（ｚ＋１）求导得 一 。 设直线Ｙ—ｋｘ＋ｂ与Ｙ—ｉｎ Ｉｚ＋２相切于点 Ｐ１（ｚ ，Ｙ１），与 —ｌｎ（ｘ＋１）相切于Ｐ２（ｚ２，Ｙｚ），则两 切线分别为ｙ－－（ｉｎ ｚ ＋２）一÷（ｘ－－ｘ ）和ｙ－－ｌｎ（ｘｚ＋ １） －＿‘ｚ— ２）。 ｆ １ １ 所以Ｊ 一 ’ ｌｌｎ（．ｚｚ＋１）＝１眦・＋１＋南。 解得．ｚ 一专。 所以６＝１ｎ Ｉｚ１十１—１一Ｉｎ ２。 （冯恒仁；王治国；陈安心；张培强；张文俊；李鸿 昌；王华；冀建军；安徽省芜湖市沈巷中学 何业亮； 陕西省西安市临潼区马额中学 童永奇；甘肃省景泰 县第二中学柏红香；安徽省安庆市岳西县汤池中学 杨续亮；甘肃省武威市凉州区职业中等专业学校 秦威山；陕西省咸阳市乾县杨汉中学 汪仁林） 解法２：因为曲线 一ｉｎ ｚ＋２向下平移２个单 位，再向左平移１个单位会得到曲线Ｙ—ｌｎ（ｘ＋１），所 ２０１６年第２翘 以直线．），一ｋｘ＋ｂ向下平移２个单位，再向左平移１ 个单位会回到原来位置，所以忌一２。 Ｉ ４５ 文科第６题：若ｔａｎ 一一÷，则ＣＯＳ ２０＝（ Ｕ ）。 设直线 —ｋｘ＋ｂ与曲线Ｙ—ｉｎ ｚ＋２切于点 Ａ．一 Ｂ．一 １ ｃ． １ Ｄ． （ ｌ，ｉｎ ｚ１＋２），则 一２，所以ｚ１一÷。 １ 解法１：由ｔａｎ 一一 １０ ，设 终边上点Ｐ（３ｔ，－－ｔ） 将（ ，ｌｎ １＋２）代入ｙ＝２ｘ＋ｂ，解得ｂ一１— １ｎ ２。 （张文俊；何业亮；张培强；冀建军；童永奇；内蒙 古乌兰察布市商都高级中学何龙） 理科第３题：已知向量百 一（ ， ）， 一 （ ， ）， ＡＢｃ一（）。 Ａ．３Ｏ。 Ｂ．４５。 Ｃ．６Ｏ。Ｄ．１２０。 解法１：在同一坐标系中用 …— 有向线段表示向量赢－￣Ｂ－－ｄ（将 Ｂ置于坐标原点处），如图１ ／￣０ｏ／ 所示。 ３ｏ．ｉ— 由图可知，￣ｔｅＢ－Ｘ与 轴的 Ｄ（Ｂ） 】 图１ 夹角、向量 与ｚ轴的夹角均为３０。，因此，￣ＡＢＣ＝ ９Ｏ。一３０。一３０。一３０。。 （陕西省西安市田家炳中学 冯恒仁） 解法２：设Ｂ（０，０），则Ａ（ＣＯＳ ６０。，ｓｉｎ ６０。）， Ｃ（ＣＯＳ ３０。，ｓｉｎ ３０。），所以 ＡＢＣ＝６０。一３０。一３０。。 （广西桂林市田家炳中学 孔祥胜） ０ 理科第５题：若ｔａｎ ａ— ｏ，则ＣＯＳ。口＋２ｓｉｎ ２ａ一 ‘土 （ ） Ａ．筹 Ｂ．磐 Ｃ．１ Ｄ． 解法１：ｃｏｓ２ａ＋２ｓｉｎ ２ａ一 １＋ ＋２ｓｉｎ ２ａ一 ＋ ． 二 皇 ＋２． ！垒 一 ２。２ １＋ｔａｎ ａ。 １＋ｔａｎ ａ ２５。 （孔祥胜） 解法２：由ｔａｎ ａ一｝，０ 得ｓｉｎ ａ一｛Ｃ０ Ｏｓ ａ，则 ＣＯＳ２ｔｌ＋２ｓｉｎ ２ —ＣＯＳ ａ＋４ｓｉｎ Ｃ０Ｓ —ＣＯＳ 口＋３ｃｏｓ 一 ４． ４ ４ ６４ ∞ 一—ｔａｎ２ａ—＋１一 一一２５。 １６。 （陕西省武功具教育局教研窜 牵歆） （￡≠０），则ｃｏｓ ＝＝＝ １０。 故ｃ。ｓ ２０＝２ＣＯＳ２０—１一 ４。 （安徽省颍上县第一中学耿合众） 解法２：由ｔａｎ ＝＝＝一 １＞一 ，得忌兀一－ ｆｉ＜０＜ ７ｃ（忌∈ｚ），于是２ｋ兀一号＜２ ＜２走７【（ｋＥＺ）。 所以 ＜ｃ。ｓ ２０＜１，只有选项Ｄ符合。 （安徽省安庆市第一中学 洪汪宝） 理科第８题：：Ｉ￣ＬＡＡＢＣ中，Ｂ＝＝＝｛，ＢＣ边上的高 等于号Ｂｃ，则ｃ。ｓ Ａ一（ Ａ． １ ０ Ｒ １０ ｃ．一 Ｄ．一 解法１：不妨取ＢＣ＝３，设ＢＣ边上的高为ＡＤ， 则ＡＤ＝ＢＤ＝１，ＤＣ＝２。 由勾股定理得ＡＢ＝￣／２，ＡＣ＝ 。 由余弦定理得ｃ。ｓ Ａ一垒 鲁 一 ±５二 一一 ２ ４ｇ￣ ｌＯ‘ （耿合众；云南省祥云县第一中学董．ｆｉ－洪） 解法２：设ＢＣ边上的高ＡＤ分角Ａ为两个角ａ， 卢，又Ｂ一手得ａ＝：＝ ，Ｎ＿ＡＤ＝１ＢＣ。则ＡＤ—ＤＣ， 易得ｓｉｎ卢一 ，ｃｏｓ卢一 。 √ √３ 所以ｃ。ｓ Ａ—ｃ。ｓ（ａ＋ —ｃ。ｓ（詈＋卢）一 （ｃ。ｓ』９一 ｓｉｎ 一等。 （耿合众） 解法３：设／ＸＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为 １２．．ｂ．Ｃ