2015年--集合和简易逻辑高考真题难题汇总解析

2015年--集合和简易逻辑高考真题难题汇总

一．选择题（共17小题） 1．（2011•北京模拟）现规定：A是一些点构成的集合，若连接点集A内任意两点的线段，当该线段上所有点仍在点集A内时，则称该点集A是连通集，下列点集是连通集的是（ ） x A．函数y=2图象上的点构成的集合 旋转体表面及其内部点构成的集合 B． 扇形边界及其内部点构成的集合 C． D．正四面体表面及其内部点构成的集合 2．（2011•遂溪县一模）集合P={x|x=a+b则运算⊕可能是（ ） A．加法减法乘法 B． 加法乘法 使得集合

下列集合：

22

①（x，y）|x+y=4； ②（x，y）|x+y﹣2＞0； ③（x，y）||x+y|≤2； ④

其中是开集的是（ ） ①④ ②③ A．B． ．

，a∈N，b∈N}若x∈P，y∈P时，有x⊕y∈P，C． 加法减法除法 D． 乘法除法 *

*

3．（2011•青羊区校级二模）定义：若平面点集A中的任一点（x0，y0），总存在正实数r，

⊆A，则称A为一个开集．给出

②④ C． 2

③④ D． 2

4．（2014•烟台二模）设a，b，c为实数，（fx）=（x+a）（x+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx+bx+1）．记

集合S=|x|f（x）=0，x∈R|，T=|x|g（x）=0，x∈R|，若cardS，cardT分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A．cardS=1，cardT=0 B． cardS=1，cardT=1 cardS=2，cardT=2 C．D． cardS=2，cardT=3 5．（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ） A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的 T，V中至多有一个关于乘法是封闭的 B． T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的 C． D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的 6．15、设全集为R，f （x）=sinx，g （x）=cosx，M={x|f （x）≠0}，N={x|g （x）≠0}，那么集合

{x|f （x）g （x）=0}等于（ ） A．B． C． D． 7．（2005•浙江）设f（n）=2n+1（n∈N），P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，6，7}，记={n∈N|f（n）∈P}，={n∈N|f（n）∈Q}，则（∩CN）∪（∩ A．{0，3} B． {1，2} C． {3，4，5} 2

）=（ ）

D． {1，2，6，7} 8．（2010•福建）设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤n≤1；③若n=，则﹣的个数是（ ） 0 A． ≤m≤0．其中正确命题

1 B． 2 C． 2

3 D． 2

9．（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a，b}，则a+b=（ ） 2 1 0 A．B． C． D． ﹣1 10．（2013•北京）双曲线 A． 11．（2011•湖北）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（ ） A．必要不充分条件 B． 充分不必要的条件 充要条件 C．D． 既不充分也不必要条件 12．（2011•上海）若）的（ ） A．充分不必要条件 充要条件 C． ，

，

均为单位向量，则

=（

，

）是

+

+

=（

，

m≥1 B． 的离心率大于

的充分必要条件是（ ）

D． m＞2 C． m＞1 B． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 2

13．（2007•北京）对于函数①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2），③f（x）=cos

（x+2），判断如下三个命题的真假： 命题甲：f（x+2）是偶函数；

命题乙：f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数； 命题丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ） ①③ ①② ③ ② A．B． C． D．

14．（2007•辽宁）设p，q是两个命题：则p是q的（ ） A．充分而不必要条件 充分必要条件 C． ，

B． 必要而不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 15．（2005•山东）设集合A、B是全集U的两个子集，则A⊊B是（CUA）∪B=U（ ） A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 充要条件 C．D． 既不充分也不必要条件 16．（2013•上海）已知a，b，c∈R，“b﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax+bx+c的图象恒在x轴上方”的（ ） A．充分非必要条件 B． 必要非充分条件 充要条件 C．D． 既非充分又非必要条件 17．（2010•湖北）记实数x1，x2，…xn中的最大数为max{x1，x2，…xn}，最小数为min{x1，x2，…xn}．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为t=max{，，}•min{，，}，x，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（ ）

A．充分但不必要的条件 B． 必要而不充分的条件 充要条件 C．D． 既不充分也不必要的条件

二．填空题（共10小题） 18．（2011•泸州一模）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）．若对任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b，则对任意a，b∈S，给出下列关系式：①（a*b）*a=a； ②[a*（b*a）]*（a*b）=a；③b*（b*b）=b； ④（a*b）*[b*（a*b）]=b，其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）． 19．（2011•西区校级模拟）非空集合G关于运算⊕满足：①对于任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；②存在e∈G，使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为和谐集，现有下列命题：

①G={a+bi|a，b为偶数}，⊕为复数的乘法，则G为和谐集； ②G={二次三项式}，⊕为多项式的加法，则G不是 和谐集；

③若⊕为实数的加法，G⊆R且G为和谐集，则G要么为0，要么为无限集；

④若⊕为实数的乘法，G⊆R且G为和谐集，则G要么为0，要么为无限集，其中正确的有 ． 20．（2009•陕西）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和

2

2

物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人． 21．（2004•湖北）设A、B为两个集合．下列四个命题： ①A⊈B⇔对任意x∈A，有x∉B； ②A⊈B⇔A∩B=∅； ③A⊈B⇔A⊉B；

④A⊈B⇔存在x∈A，使得x∉B． 其中真命题的序号是 ．（把符合要求的命题序号都填上） 22．（2006•四川）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算： ①G={非负整数}，⊕为整数的加法． ②G={偶数}，⊕为整数的乘法．

③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法． ④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法． ⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．

其中G关于运算⊕为“融洽集”的是 ．（写出所有“融洽集”的序号） 23．（2007•福建）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等、如果集合A中元素之间的一个关系“﹣”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a∈A，都有a﹣a；

（2）对称性：对于a，b∈A，若a﹣b，则有b﹣a；

（3）对称性：对于a，b，c∈A，若a﹣b，b﹣c，则有a﹣c、

则称“﹣”是集合A的一个等价关系、例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）、请你再列出两个等价关系： ．

24．（2010•湖南）若规定E={a1，a2…a10}的子集

k1﹣1

k2﹣1

k3﹣1

kn﹣1

为E的第k个子集，

其中k=2+2+2+…+2．则

（1）{a1，a3}是E的第 个子集； （2）E的第211个子集是 ． 25．（2013•福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：

（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：

①A=N，B=N；

②A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣8≤x≤10}； ③A={x|0＜x＜1}，B=R．

其中，“保序同构”的集合对的序号是 ．（写出“保序同构”的集合对的序号）．

*

26．（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段

CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）． ①当0＜CQ＜时，S为四边形 ②当CQ=时，S为等腰梯形

③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R= ④当＜CQ＜1时，S为六边形 ⑤当CQ=1时，S的面积为

．

27．（2012•四川）设a，b为正实数，现有下列命题：

22

①若a﹣b=1，则a﹣b＜1； ②若

，则a﹣b＜1；

③若，则|a﹣b|＜1；

33

④若|a﹣b|=1，则|a﹣b|＜1． 其中的真命题有 ．（写出所有真命题的编号）

三．解答题（共3小题） 28．（2003•上海）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．

（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；

xx

（2）设函数f（x）=a（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a∈M； （3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．

29．（2010•北京）已知集合Sn={X|X=（x1，x2，…，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a1，a2，…an，），B=（b1，b2，…bn，）∈Sn，定义A与B的差为A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|an﹣bn|）； A与B之间的距离为

．

（Ⅰ）当n=5时，设A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d（A，B）；

（Ⅱ）证明：∀A，B，C∈Sn，有A﹣B∈Sn，且d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B）； （Ⅲ）证明：∀A，B，C∈Sn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数．

30．（2007•北京）已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．

（Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；

（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A，证明：（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

；

2015年--集合和简易逻辑高考真题难题汇总

参考答案与试题解析

一．选择题（共17小题） 1．（2011•北京模拟）现规定：A是一些点构成的集合，若连接点集A内任意两点的线段，当该线段上所有点仍在点集A内时，则称该点集A是连通集，下列点集是连通集的是（ ） x A．函数y=2图象上的点构成的集合 旋转体表面及其内部点构成的集合 B． 扇形边界及其内部点构成的集合 C． D．正四面体表面及其内部点构成的集合 考点： 集合的含义；棱锥的结构特征． 专题： 压轴题；新定义． 分析： 可用排除法去做，分别考查所给选项中，那个选项满足图象上连接任意两点的线段上的其它点仍在这个图象上，就可选这一选项． xx解答： 解：∵函数y=2图象上连接任意两点的线段上的其它点不在函数y=2图象上的，∴A不正确． ∵如果旋转体内部是空腔时，内表面上连接任意两点的线段上的其它点不在旋转体表面或其内部．，∴B不正确 ∵如果扇形的圆心角大于180°时，会出现连接某些点的线段上的其它点不在扇形边界或其内部，∴C不正确 ∴利用排除法，应该选D 故选D 点评： 本题考查了给出新概念，利用新概念解决问题，做题时要认真分析题意，正确解答． 2．（2011•遂溪县一模）集合P={x|x=a+b，a∈N，b∈N}若x∈P，y∈P时，有x⊕y∈P，则运算⊕可能是（ ） A．加法减法乘法 B． 加法乘法 C． 加法减法除法 D． 乘法除法 考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设也x、y的式子，由实数的加减乘除运算求出x+y，x﹣y，xy，，都写为a+b的**

形式，由a∈N，b∈N，c∈N，d∈N分别判断出所求式子中的数是否属于正整数集，是则符合题意，不是则不符合题意． 解答： 解：设x=a+b，y=c+d，x+y=（a+c）+（b+d）， x﹣y=（a﹣c）+（b﹣d），xy=（ac+2bd）+（ad+bc）， =∵a∈N，b∈N，c∈N，d∈N， **∴a+b∈N，c+d∈N，∴x+y∈P， ********，

∴a﹣c∈z，b﹣d∈z，∴x﹣y∉p， ∴ac+2bd∈N，ad+bc∈N，∴xy∈P， ∴∈Q，∈Q，∴∉P． **∴运算⊕可能是加法乘法， 故选B． 点评： 此题考查元素与集合的关系，结合了实数的四则运算，还有若两个数为整数，加减乘除后是否还为整数，这也是一个自定义的题目，解决本题的关键是读懂题意，归纳出规律． 3．（2011•青羊区校级二模）定义：若平面点集A中的任一点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合

下列集合：

22

①（x，y）|x+y=4； ②（x，y）|x+y﹣2＞0； ③（x，y）||x+y|≤2； ④

．

⊆A，则称A为一个开集．给出

其中是开集的是（ ） ①④ ②③ ②④ ③④ A．B． C． D． 考点： 集合的包含关系判断及应用． 专题： 压轴题；新定义；数形结合． 22分析： 根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案，：①：A={（x，y）|x+y=4}表示以原点为圆心，2为半径的圆，以圆上的点为圆心正实数r为半径的圆面不可能在该圆上，故不是开集，②是集A中的任一点（x0，y0），则该点到直线的距离为d，取r=d，满足条件，故是开集；③在曲线x+y|=2任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故该集合不是开集；④该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，集合是开集． 22解答： 解：①：A={（x，y）|x+y=4}表示以原点为圆心，2为半径的圆， 则在该圆上任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足 故①不是开集； ②A={（x，y）|x+y﹣2＞0}平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到直线的距离为d，取r=d，则满足，集合是开集； ，故该，故该

③A={（x，y）||x+y|≤2}，在曲线x+y=2任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足不是开集； ④A=表示以点（0，）为圆心，1为半，故该集合径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到 圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，，故该集合是开集． 故选C． 点评： 此题是基础题．考查学生的阅读能力和对新定义的理解，如果一个集合是开集，则该集合表示的区域应该是不含边界的平面区域． 4．（2014•烟台二模）设a，b，c为实数，（fx）=（x+a）（x+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx+bx+1）．记集合S=|x|f（x）=0，x∈R|，T=|x|g（x）=0，x∈R|，若cardS，cardT分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A．cardS=1，cardT=0 B． cardS=1，cardT=1 cardS=2，cardT=2 C．D． cardS=2，cardT=3 考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 计算题． 2分析： 根据函数f（x）的解析可知f（x）=0时至少有一个根x=﹣a，然后讨论△=b﹣4c可得根的个数，从而得到g（x）=0的根的个数，即可得到正确选项． 2解答： 解：∵f（x）=（x+a）（x+bx+c），当f（x）=0时至少有一个根x=﹣a 22

当b﹣4c=0时，f（x）=0还有一根 f（x）=0是一个根 2只要b≠2a，f（x）=0就有2个根；当b=2a，当b﹣4c＜0时，f（x）=0只有一个根； 2当b﹣4c＞0时，f（x）=0只有二个根或三个根 当a=b=c=0时cardS=1，cardT=0 当a＞0，b=0，c＞0时，cardS=1且cardT=1 当a=c=1，b=﹣2时，有cardS=2且cardT=2 故选D． 点评： 本题主要考查了方程根的个数，同时考查了元素与集合的关系，分类讨论是解题的关键，属于基础题． 5．（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ） A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的 T，V中至多有一个关于乘法是封闭的 B． T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的 C． D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的 2

考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 集合． 分析： 本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可． 解答： 解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C； 若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D； 从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确． 故选A． 点评： 此题考查学生理解新定义的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较难的题型． 6．15、设全集为R，f （x）=sinx，g （x）=cosx，M={x|f （x）≠0}，N={x|g （x）≠0}，那么集合

{x|f （x）g （x）=0}等于（ ） A．B． C． D． 考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 压轴题． 分析： 由f （x）g （x）=0可知f （x）=0或g （x）=0，所以{x|f （x）g （x）=0}={x|f （x）=0}∪{x|g （x）=0}． 而{x|f （x）=0}与M互为补集关系，则可选出答案．注意区分“或”与“且”． 解答： 解：{x|f （x）g （x）=0}={x|f （x）=0或g （x）=0}={x|f （x）=0}∪{x|g （x）=0}， 故选D 点评： 本题考查集合的基本运算，较简单．注意区分“或”与“且”的含义． 7．（2005•浙江）设f（n）=2n+1（n∈N），P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，6，7}，记={n∈N|f（n）∈P}，={n∈N|f（n）∈Q}，则（∩CN）∪（∩ A．{0，3} B． {1，2} C． {3，4，5} ）=（ ）

D． {1，2，6，7} 考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 压轴题；新定义． 分析： 先根据新的定义求出和，然后根据补集和交集的定义求出∩CN和∩，最后根据并集的定义求出（∩CN）∪（∩解答： 解：={n∈N|f（n）∈P}={0，1，2}； ）即可．

={n∈N|f（n）∈Q}={1，2，3}； ∩CN={0}，∩∴（∩CN）∪（∩={3} ）={0，3} 故选A 点评： 本题主要考查了交、并、补集的混合运算，以及新定义，属于创新题，考查了阅读题意的能力． 8．（2010•福建）设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤n≤1；③若n=，则﹣的个数是（ ） 0 A． ≤m≤0．其中正确命题

2

1 B． 2 C． 3 D． 考点： 元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性． 专题： 集合． 2分析： 根据题中条件：“当x∈S时，有x∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得，②，则对于③若，则，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个． 2解答： 解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x∈S知，符合定义的参数22m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证m∈S时，有m∈S即m≥m，2符合条件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证n∈S时，有n∈S2即n≤n，正对各个命题进行判断： 对于①m=1，m=1∈S故必有2可得n=1，S={1}， ②m=﹣，m=∈S则2解之可得≤n≤1； 对于③若n=，则解之可得﹣≤m≤0， 所以正确命题有3个． 故选D 点评： 本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新

定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决． 9．（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a，b}，则a+b=（ ） 2 1 0 A．B． C． D． ﹣1 考点： 集合的相等． 专题： 集合． 分析： 根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论． 22解答： 解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a，b}， 22

则 ①或 ②， 由①得， ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件． 2222由②得，若b=a，a=b，则两式相减得a﹣b=b﹣a，即（a﹣b）（a+b）=﹣（a﹣b）， ∵互异的复数a，b， ∴a﹣b≠0，即a+b=﹣1， 故选：D． 点评： 本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论． 10．（2013•北京）双曲线 A． 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑． 分析： 根据双曲线的标准形式，可以求出a=1，b=，c=．利用离心率e大于不等式，解之可得 m＞1，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案． 解答： 的离心率大于的充分必要条件是（ ）

D． m＞2 m≥1 B． C． m＞1 建立解：双曲线∴a=1，b=∵离心率e＞，说明m＞0， ，可得c=等价于 ， ⇔m＞1， ∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m＞1． 故选C． 点评： 本题虽然小巧，用到的知识确实丰富的，具有综合性特点，涉及了双曲线的标准方程、

几何性质等几个方面的知识，是这些内容的有机融合，是一个极具考查力的小题． 11．（2011•湖北）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（ ） A．必要不充分条件 B． 充分不必要的条件 充要条件 C．D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑． 分析： 我们先判断φ（a，b）=0⇒a与b互补是否成立，再判断a与b互补⇒φ（a，b）=0是否成立，再根据充要条件的定义，我们即可得到得到结论． 解答： 解：若φ（a，b）=﹣a﹣b=0， 则=（a+b）， 两边平方解得ab=0，故a，b至少有一为0， 不妨令a=0则可得|b|﹣b=0，故b≥0，即a与b互补； 若a与b互补时，易得ab=0，故a，b至少有一为0， 若a=0，b≥0，此时同理若b=0，a≥0，此时﹣a﹣b=﹣a﹣b=﹣b=0， ﹣a=0， 即φ（a，b）=0， 故φ（a，b）=0是a与b互补的充要条件． 故选C． 点评： 本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的，其中判断φ（a，b）=0⇒a与b互补与a与b互补⇒φ（a，b）=0的真假，是解答本题的关键． 12．（2011•上海）若

，

，

均为单位向量，则

=（

，

）是

+

+

=（

，

）的（ ） A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 充要条件 C．D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 均为单位向量，若，=（，）不成立；若解答： 解：=（，）可推得， ，由此可得． 均为单位向量，

若则若=（所以“=（，，）不成立； ， 均为单位向量， ，）可推得”是“ ”的必要不充分条件， 故选B 点评： 本题考查必要条件、充分条件、充要条件的性质和应用，解题时要全面考虑． 13．（2007•北京）对于函数①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2），③f（x）=cos（x+2），判断如下三个命题的真假： 命题甲：f（x+2）是偶函数；

命题乙：f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数； 命题丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ） ①③ ①② ③ ② A．B． C． D． 考点： 四种命题的真假关系；函数单调性的判断与证明． 专题： 压轴题；阅读型． 分析： 要判断题目中给出的三个函数中，使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号，我们可将题目中的函数一一代入命题甲、乙、丙进行判断，只要有一个命题为假，即可排除，最好不难得到最终的答案． 解答： 解：①若f（x）=lg（|x﹣2|+1）则： f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真； f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；此时命题乙为真； 但f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上不是单调递增的；此时命题丙为假． 2②f（x）=（x﹣2）则： f（x+2）是偶函数，此时命题甲为真； f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；此时命题乙为真； 但f（x+2）﹣f（x）=4x﹣4在（﹣∞，+∞）上是增函数的；此时命题丙为真． ③若f（x）=cos（x+2），则： f（x+2）是不偶函数，此时命题甲为假； f（x）在（﹣∞，2）上不是减函数，在（2，+∞）上不是增函数；此时命题乙为假； 但f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上不是单调递增的；此时命题丙为假． 故选D 点评： 本题综合的考查了多个函数的性质，在处理的时候，我们根据各种函数的性质，对题目中的结论逐一进行判断易得结论，熟练掌握各种基本函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性、对称性等，是解决本题的关键． 2

14．（2007•辽宁）设p，q是两个命题：

则p是q的（ ） A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 充分必要条件 C．D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 首先解两个不等式，再判断不等式解的范围，判断p，q条件关系． 解答： 解： p：∵0＜|x|﹣3＜1， ∴3＜|x|＜4， ∴﹣4＜x＜﹣3或3＜x＜4， ，

q：，结合数轴知p是q的充分而不必要条件， 故选A 点评： 本题主要考查对数不等式的求解，多项式不等式的求解，以及命题的充要条件，充分条件，必要条件的判断．要认真掌握． 15．（2005•山东）设集合A、B是全集U的两个子集，则A⊊B是（CUA）∪B=U（ ） A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 充要条件 C．D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用． 专题： 压轴题；数形结合；集合思想． 分析： 结合韦恩图进行判定A⊊B⇒（CUA）∪B=U，而（CUA）∪B=U⇒A⊆B，从而确定出A⊊B与（CUA）∪B=U的关系． 解答： 解：A⊊B⇒（CUA）∪B=U， 当A=B时（CUA）∪B=U也成立，故A⊊B不成立 ∴A⊊B是（CUA）∪B=U的充分不必要条件 故选A． 点评： 本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，若A⇒B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件，属于基础题． 16．（2013•上海）已知a，b，c∈R，“b﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax+bx+c的图象恒在x轴上方”的（ ） A．充分非必要条件 B． 必要非充分条件 充要条件 C．D． 既非充分又非必要条件 2

2

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 压轴题；函数的性质及应用． 22分析： 根据充要条件的定义可知，只要看“b﹣4ac＜0”与“函数f（x）=ax+bx+c的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可． 2解答： 解：若a≠0，欲保证函数f（x）=ax+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点； 则a＞0且△=b﹣4ac＜0． 2但是，若a=0时，如果b=0，c＞0，则函数f（x）=ax+bx+c=c的图象恒在x轴上方，2不能得到△=b﹣4ac＜0； 22反之，“b﹣4ac＜0”并不能得到“函数f（x）=ax+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a＜0时． 从而，“b﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件． 故选D． 点评： 本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次函数的性质，难度一般．学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题． 17．（2010•湖北）记实数x1，x2，…xn中的最大数为max{x1，x2，…xn}，最小数为min{x1，x2，…xn}．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为t=max{，，}•min{，，}，x，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（ ） A．充分但不必要的条件 B． 必要而不充分的条件 充要条件 C．D． 既不充分也不必要的条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑． 分析： 观察两条件的互推性即可求解． 解答： 解：若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则222则t=1； 假设△ABC为等腰三角形，如a=2，b=2，c=3时， 则， 此时t=1仍成立，但△ABC不为等边三角形，所以“t=1”是“△ABC为等边三角形”的必要而不充分的条件． 故选B． 点评： 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属中档题． 二．填空题（共10小题） 18．（2011•泸州一模）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）．若对任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b，则对任意a，b∈S，给出下列关系式：①（a*b）*a=a； ②[a*

（b*a）]*（a*b）=a；③b*（b*b）=b； ④（a*b）*[b*（a*b）]=b，其中正确命题的序号是 ②③④ （写出所有正确命题的序号）． 考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 压轴题；新定义． 分析： 根据对任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b，由于a，b的任意性，①③可直接判断，②可先运算a*（b*a）然后即可，④可先运算b*（a*b）然后即可 解答： 解：根据a*（b*a）=b，﹙a*b）*﹛[a*（b*a）]*（a*b）}=a*（b*a）=b，①显然不正确， 对②中a*（b*a）=b，原式可变为b*（a*b）=a成立； 对③相当于已知条件中a替换为b，明显成立， 对④b*（a*b）=a，原式变为a*（b*a）=b成立． 故答案为：②③④ 点评： 本题主要考查对新定义的理解，在解题中关键是对新定义的灵活运用，属于基础题． 19．（2011•西区校级模拟）非空集合G关于运算⊕满足：①对于任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；②存在e∈G，使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为和谐集，现有下列命题：

①G={a+bi|a，b为偶数}，⊕为复数的乘法，则G为和谐集； ②G={二次三项式}，⊕为多项式的加法，则G不是 和谐集；

③若⊕为实数的加法，G⊆R且G为和谐集，则G要么为0，要么为无限集；

④若⊕为实数的乘法，G⊆R且G为和谐集，则G要么为0，要么为无限集，其中正确的有 ②③ ． 考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 压轴题；阅读型． 分析： 根据已知中关于和谐集的定义：非空集合G关于运算⊕满足：①对于任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；②存在e∈G，使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，我们利用题目四个结论中所给的运算法则，对所给的集合进行判断，特别是对特殊元素进行判断，即可得到答案． 解答： 解：对于G={a+bi|a，b为偶数}，⊕为复数的乘法，则根据偶数的和还是偶数，故满足条件①，但不存在e∈G，使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，不满足条件②， 故①“G={a+bi|a，b为偶数}，⊕为复数的乘法，则G为和谐集”不正确； 对于G={二次三项式}，若a、b∈G时，a，b的两个同类项系数，则其和不再为三项式，故G不是 和谐集，故②正确； 对于⊕为实数的加法，G⊆R且G为和谐集，G要么为{0}时满足要求，若G中存在不为0的实数元素，则必为无限集，故③正确； 若⊕为实数的乘法，G⊆R且G为和谐集，则G可以为{0}，也可以为{0，1}，故④错误； 故答案为：②③ 点评： 此题以集合为载体，通过新定义“和谐集”，解决这类型题目时，心情平和是很重要的，对于每个小题，采用把这里的运算⊕换成每个小题给出的运算，逐个验证就可得出正确答案．从这个题可以看出，对于常见的集合中的特殊元素，我们应该引起足够的重视．

20．（2009•陕西）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 8 人． 考点： Venn图表达集合的关系及运算． 专题： 集合． 分析： 画出表示参加数学、物理、化学课外探究小组集合的Venn图，结合图形进行分析求解即可． 解答： 解：由条件知，每名同学至多参加两个小组， 故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组， 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C， 则card（A∩B∩C）=0，card（A∩B）=6，card（B∩C）=4， 由公式card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（A∩C）﹣card（B∩C） 知36=26+15+13﹣6﹣4﹣card（A∩C） 故card（A∩C）=8即同时参加数学和化学小组的有8人． 故答案为：8． 点评： 本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 21．（2004•湖北）设A、B为两个集合．下列四个命题： ①A⊈B⇔对任意x∈A，有x∉B； ②A⊈B⇔A∩B=∅； ③A⊈B⇔A⊉B；

④A⊈B⇔存在x∈A，使得x∉B． 其中真命题的序号是 ④ ．（把符合要求的命题序号都填上） 考点： 集合的包含关系判断及应用；空集的定义、性质及运算；交集及其运算． 专题： 压轴题；阅读型． 分析： 本题考查的知识点是集合的关系，及运算，我们根据集合包含关系的定义，结合韦恩图对四个答案逐一进行分析，不难得到答案． 解答： 解：如下图所示：

A⊈B⇔存在x∈A，有x∉ 结合图象可得①错误；②错误；④正确． 对③判断如下图所示． A⊈B与A⊉B不存在必然的关系，故③错误． 故答案为：④ 点评： 集合有不同的表示方法，当一个集合为元素个数不多的有限数集，宜用列举法，但如果像本题一样，没有给出元素，则可以用韦恩图协助分析，集合之间的关系． 22．（2006•四川）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算： ①G={非负整数}，⊕为整数的加法． ②G={偶数}，⊕为整数的乘法．

③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法． ④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法． ⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．

其中G关于运算⊕为“融洽集”的是 ①③ ．（写出所有“融洽集”的序号） 考点： 集合的含义． 专题： 压轴题；新定义；对应思想． 分析： 根据题意对给出的集合和运算对两个条件：运算的封闭性和单位量e进行验证，分别用加法、乘法和平面向量的线性运算的法则判断，只有都满足时才是G关于运算⊕为“融洽集”． 解答： 解：①G={非负整数}，⊕为整数的加法，满足任意a，b∈G，都有a⊕b∈G， 且令e=0，有a⊕0=0⊕a=a，∴①符合要求； ②G={偶数}，⊕为整数的乘法，若存在a⊕e=a×e=a，则e=1，矛盾，∴②不符合要求； ③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法，两个向量相加结果仍为向量；取，满足要求， ∴③符合要求； ④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式， ∴④不符合要求； ⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴⑤不符合要求， 这样G关于运算⊕为“融洽集”的有①③．

故答案为：①③． 点评： 本题考查了学生对新定义的理解和运用能力，可结合学过的运算性质进行类比理解，比如：第一条是运算的封闭性，第二条如加法中的“0”或乘法中的“1”． 23．（2007•福建）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等、如果集合A中元素之间的一个关系“﹣”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a∈A，都有a﹣a；

（2）对称性：对于a，b∈A，若a﹣b，则有b﹣a；

（3）对称性：对于a，b，c∈A，若a﹣b，b﹣c，则有a﹣c、

则称“﹣”是集合A的一个等价关系、例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）、请你再列出两个等价关系： 答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等 ． 考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 压轴题． 分析： 从所给的条件出发，通过观察、分析得出结论，再把各个结论代入题目中验证，看是否成立，由于结论不唯一，本类问题一般不要求证明，把结论用自反性、对称性、对称性进行验证． 解答： 解：如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等． 故答案为：“图形的全等”、“图形的相似”． 点评： 这类问题只给出条件但没有结论，解题方向不明，自由度大，需要解题者比较概括后，探索各种情况，并确定结论．在一般情况下，我们需要探索出较为深刻的结论 24．（2010•湖南）若规定E={a1，a2…a10}的子集

k1﹣1

k2﹣1

k3﹣1

kn﹣1

为E的第k个子集，

其中k=2+2+2+…+2．则 （1）{a1，a3}是E的第 5 个子集；

（2）E的第211个子集是 {a1，a2，a5，a7，a8} ． 考点： 子集与真子集． 专题： 集合． k1﹣1k2﹣1k3﹣1kn﹣1分析： （1）由k=2+2+2+…+2受到启发，根据集合元素的特征，将其用二进制表示出来，0为不出现，1为出现，进而可得答案； （2）十进制211等于二进制11010011，将其对应的集合写出即可． 解答： 解：（1）{a1，a3}={a3，a1}化成二进制101（0为不出现，1为出现）， 这里a3出现，a2不出现，a1出现，所以是101； 二进制的101等于十进制5，故第一个空填5； 故答案为：5． （2）十进制211等于二进制11010011， 即对应集合{a8，a7，a5，a2，a1}， 又由{a8，a7，a5，a2，a1}={a1，a2，a5，a7，a8} 故第二空填{a1，a2，a5，a7，a8}． 故答案为：{a1，a2，a5，a7，a8}． 点评： 本题是转化思想的典型题目，注意从题目的条件中寻找突破点，进而结合题意解题，

解题中，特别注意与原题的验证． 25．（2013•福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：

（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：

*

①A=N，B=N；

②A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣8≤x≤10}； ③A={x|0＜x＜1}，B=R．

其中，“保序同构”的集合对的序号是 ①②③ ．（写出“保序同构”的集合对的序号）． 考点： 命题的真假判断与应用；子集与交集、并集运算的转换． 专题： 新定义；简易逻辑． 分析： 本题考查的是函数的性质，由题意可知S为函数的一个定义域，T为其所对应的值域，且函数y=f（x）为单调增函数， 对题目给出的三个命题中的集合对逐一分析看是否能找到这样的函数y=f（x）即可． 解答： 解：对于命题①中的两个集合，可取函数f（x）=x+1，x∈N，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），故A是“保序同构”； 对于命题②中的两个集合，可取函数对于命题③中的两个集合，可取函数f（x）= （﹣1≤x≤3），是“保序同构”； （0＜x＜1），是“保序同构”． 故答案为①②③． 点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了函数值域的求法，解答此题的关键是明白新定义“保序同构”指的是什么意思，是基础题． 26．（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 ①②③⑤ （写出所有正确命题的编号）． ①当0＜CQ＜时，S为四边形 ②当CQ=时，S为等腰梯形

③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R= ④当＜CQ＜1时，S为六边形 ⑤当CQ=1时，S的面积为

．

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 空间位置关系与距离；简易逻辑． 分析： 由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误． 解答： 解：如图 =， 当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确； 由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ， 即可得截面为四边形APQM，故①正确； ③当CQ=时，如图， 延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR， 可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确； ④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；

⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF， 可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确． 故答案为：①②③⑤． 点评： 本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题． 27．（2012•四川）设a，b为正实数，现有下列命题：

22

①若a﹣b=1，则a﹣b＜1； ②若

，则a﹣b＜1；

③若，则|a﹣b|＜1；

33

④若|a﹣b|=1，则|a﹣b|＜1． 其中的真命题有 ①④ ．（写出所有真命题的编号） 考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑． 222分析： ①将a﹣b=1，分解变形为（a+1）（a﹣1）=b，即可证明a﹣1＜b，即a﹣b＜1；33②③可通过举反例的方法证明其错误性；④若a＞b，去掉绝对值，将a﹣b=1分23解变形为（a﹣1）（a+1+a）=b，即可证明a﹣b＜1，同理当a＜b时也可证明b﹣a＜1，从而命题④正确． 22222解答： 解：①若a﹣b=1，则a﹣1=b，即（a+1）（a﹣1）=b，∵a+1＞a﹣1，∴a﹣1＜b＜a+1，即a﹣b＜1，①正确； ②若，可取a=7，b=，则a﹣b＞1，∴②错误； ③若，则可取a=9，b=4，而|a﹣b|=5＞1，∴③错误； 33④由|a﹣b|=1， 3322322若a＞b＞0，则a﹣b=1，即（a﹣b）（a+ab+b）=b，∵a+1+a＞b，∴a﹣1＜b，即a﹣b＜1 332322若0＜a＜b，则b﹣a=1，即（b﹣1）（b+1+b）=a，∵b+1+b＞a，∴b﹣1＜a，即b﹣a＜1 ∴|a﹣b|＜1，∴④正确． 故答案为①④． 点评： 本题主要考查了不等式的证明方法，间接证明和直接证明的方法，放缩法和举反例法证明不等式，演绎推理能力，有一定难度，属中档题． 三．解答题（共3小题） 28．（2003•上海）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．

（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；

xx

（2）设函数f（x）=a（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a∈M； （3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围． 考点： 集合的包含关系判断及应用；指数函数综合题；已知三角函数模型的应用问题． 专题： 证明题；压轴题；新定义．

分析： （1）将f（x）=x代入定义（x+T）=T f（x）验证知函数f（x）=x不属于集合M． （2）由题意存在x∈R使得a=x，由新定义知存在非零常数T使得a=T，将函数关系式代入f（x+T）=T f（x）验证知 xf（x）=a∈M． （3）若函数f（x）=sinkx∈M，依据定义应该有sin（kx+kT）=Tsinkx∈[﹣1，1]对任意实数都成立，故T=±1．将T=±1代入sin（kx+kT）=Tsinkx求k的范围即可． 解答： 解：（1）对于非零常数T， f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx． 因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立， 所以f（x）=x∉M； x（2）因为函数f（x）=a（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点， 所以方程组：xxT有解，消去y得a=x， Tx显然x=0不是方程a=x的解，所以存在非零常数T，使a=T． xx+TTxxx于是对于f（x）=a有f（x+T）=a=a•a=T•a=Tf（x）故f（x）=a∈M； （3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M． 当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T， 对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立， 即sin（kx+kT）=Tsinkx． 因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R， 于是sinkx∈[﹣1，1]，sin（kx+kT）∈[﹣1，1]， 故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立， 只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立， 则k=2mπ，m∈Z． 当T=﹣1时，sin（kx﹣k）=﹣sinkx成立， 即sin（kx﹣k+π）=sinkx成立， 则﹣k+π=2mπ，m∈Z，即k=﹣（2m﹣1）π，m∈Z． 综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}． 点评： 考查新定义下问题的证明与求解，此类题的特点是探究时只能以新定义的规则为依据，不能引入熟悉的算法，这是做此类题时要注意的． 29．（2010•北京）已知集合Sn={X|X=（x1，x2，…，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a1，a2，…an，），B=（b1，b2，…bn，）∈Sn，定义A与B的差为A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|an﹣bn|）； A与B之间的距离为

．

（Ⅰ）当n=5时，设A=（0，1，0，0，1），B=（1，1，1，0，0），求d（A，B）； （Ⅱ）证明：∀A，B，C∈Sn，有A﹣B∈Sn，且d（A﹣C，B﹣C）=d（A，B）； （Ⅲ）证明：∀A，B，C∈Sn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数． 考点： 交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换．

专题： 证明题；综合题；压轴题；集合． 分析： （Ⅰ）由题意中的定义和集合A、B求出A﹣B，再由A与B之间的距离公式，求出d（A，B）； （Ⅱ）根据题意设出集合A、B、C，则ai，bi，ci∈{0，1}（i=1，2，n），故得A﹣B∈Sn，再分ci=0和ci=1两种情况求出d（A﹣C，B﹣C）和d（A，B）； （Ⅲ）根据题意设出集合A、B、C，再根据（Ⅱ）的结论，表示出d（A，B），d（A，C），d（B，C），再根据集合的元素为“0，1”，确定所求三个数中至少有一个是偶数． 解答： 解：（Ⅰ）由题意得，A﹣B=（|0﹣1|，|1﹣1|，|0﹣1|，|0﹣0|，|1﹣0|）=（1，0，1，0，1）， d（A，B）=|0﹣1|+|1﹣1|+|0﹣1|+|0﹣0|+|1﹣0|=3 （Ⅱ）证明：设A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn），C=（c1，c2，…，cn）∈Sn 因为ai，bi∈{0，1}，所以|ai﹣bi|∈{0，1}（i=1，2，n） 从而A﹣B=（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|an﹣bn|）∈Sn 由题意知ai，bi，ci∈{0，1}（i=1，2，n） 当ci=0时，||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||=|ai﹣bi| 当ci=1时，||ai﹣ci|﹣|bi﹣ci||=|（1﹣ai）﹣（1﹣bi）|=|ai﹣bi| 所以 （Ⅲ）证明：设A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn），C=（c1，c2，…，cn）∈Sn， d（A，B）=k，d（A，C）=l，d（B，C）=h， 记0=（0，0，…，0）∈Sn， 由（Ⅱ）可知 因为|ai﹣bi|∈{0，1}，=k， 所以|bi﹣ai|（i=1，2，n）中1的个数为k，|ci﹣ai|（i=1，2，n）中1的个数为l， 设t是使|bi﹣ai|=|ci﹣ai|=1成立的i的个数．则h=l+k﹣2t， 由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数， 即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数． 点评： 本题考查了利用新定义和集合的运算性质综合应用的能力，属于高难度题，需要认真审题，抓住新定义的本质． 30．（2007•北京）已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．

（Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；

（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A，证明：

；

（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论． 考点： 元素与集合关系的判断；集合的含义． 专题： 综合题；压轴题；分类讨论；转化思想． 分析： （I）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合，利用集合S，T的定义写出S，T． （II）据具有性质P的集合满足a∈A，总有﹣a∉A，得到0∉A得到（ai，ai）∉T；当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）∉T，求出T中的元素个数． （III）对应S中的元素据S，T的定义得到也是T中的元素，反之对于T中的元素也是s中的元素，得到两个集合中的元素相同． 解答： （I）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P． 集合{﹣1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是 S=（﹣1，3），（3，﹣1），T=（2，﹣1），（2，3）． （II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k个． 因为0∉A，所以（ai，ai）∉T（i=1，2，k）； 又因为当a∈A时，﹣a∉A时，﹣a∉A， 所以当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）∉T（i，j=1，2，k）． 从而，集合T中元素的个数最多为即． ， 2（III）解：m=n，证明如下： （1）对于（a，b）∈S，根据定义， a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T． 如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素， 那么a=c与b=d中至少有一个不成立， 从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立． 故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素． 可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n， （2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A， 且a﹣b∈A，从而（a﹣b，b）∈S． 如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素， 那么a=c与b=d中至少有一个不成立， 从而a﹣b=c﹣d与b=d中也至少有一个不成立， 故（a﹣b，b）与（c﹣d，d）也是S的不同元素． 可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m， 由（1）（2）可知，m=n． 点评： 本题考查利用题中的新定义解题；新定义题是近几年常考的题型，要重视．