实验三Z变换、离散系统零极点分布和频率分析

一、 实验目的

 学会运用MATLAB求离散时间信号的z变换和z反变换；  学会运用MATLAB分析离散时间系统的系统函数的零极点；  学会运用MATLAB分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系；  学会运用MATLAB进行离散时间系统的频率特性分析。 二、 实验仪器：电脑一台，MATLAB6.5或更高级版本软件一套。 三、 实验原理及实例分析

（一）离散时间信号的Z变换

1．利用MATLAB实现z域的部分分式展开式

MATLAB的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：

[r,p,k]=residuez(num,den)

式中，num和den分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r为部分分式的系数向量，p为极点向量，k为多项式的系数向量。 【实例3-1】 利用MATLAB计算F(z)18的部分分式展开式。 123183z4zz解：利用MATLAB计算部分分式展开式程序为 % 部分分式展开式的实现程序

num=[18]; den=[18 3 -4 -1]; [r,p,k]=residuez(num,den) 2．Z变换和Z反变换

MATLAB的符号数学工具箱提供了计算Z变换的函数ztrans()和Z反变换的函数iztrans（），其调用形式为

Fztrans(f)fiztrans(F)

上面两式中，右端的f和F分别为时域表示式和z域表示式的符号表示，可应用函数sym来实现，其调用格式为

SsymA

式中，A为待分析的表示式的字符串，S为符号化的数字或变量。 【实例3-2】求（1）指数序列anun的Z变换;(2)Fz解 （1）Z变换的MATLAB程序 % Z变换的程序实现 f=sym('a^n'); F=ztrans(f) 程序运行结果为： z/a/(z/a-1)

可以用simplify( )化简得到 : -z/(-z+a)

（2）Z反变换的MATLAB程序 % Z反变换实现程序 F=sym('a*z/(z-a)^2'); f=iztrans(F) 程序运行结果为 f = a^n*n

（二）系统函数的零极点分析 1. 系统函数的零极点分布

离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即

H(z)Y(z) （3-1） X(z)azza2的Z反变换。

如果系统函数H(z)的有理函数表示式为：

b1zmb2zm1bmzbm1 （3-2） H(z)nn1a1za2zanzan1那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到，tf2zp的语句格式为：

[Z,P,K]=tf2zp(B,A)

其中，B与A分别表示H(z)的分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将

H(z)的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即：

H(z)k(zz1)(zz2)(zzm) （3-3）

(zp1)(zp2)(zpn)【实例3-3】 已知一离散因果LTI系统的系统函数为

H(z)z0.32 2zz0.16试用MATLAB命令求该系统的零极点。

解：用tf2zp函数求系统的零极点，MATLAB源程序为 B=[1,0.32]; A=[1,1,0.16]; [R,P,K]=tf2zp(B,A) R= -0.3200 P= -0.8000 -0.2000 K= 1

因此，零点为z0.32，极点为p10.8与p20.2。

若要获得系统函数H(z)的零极点分布图，可直接应用zplane函数，其语句格式为：

zplane(B,A)

其中，B与A分别表示H(z)的分子和分母多项式的系数向量。它的作用

是在Z平面上画出单位圆、零点与极点。

z20.36【实例3-4】 已知一离散因果LTI系统的系统函数为H(z)2，

z1.52z0.68试用MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。

解：用zplane函数求系统的零极点，MATLAB源程序为 B=[1,0,-0.36]; A=[1,-1.52,0.68]; zplane(B,A),grid on legend('零点','极点') title('零极点分布图')

程序运行结果如图3-1所示。可见，该因果系统的极点全部在单位圆内，故系统是稳定的。

图3-1 零极点分布图

2、系统函数的零极点分布与其时域特性的关系

与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，z变换建立了时域函数h(n)与z域函数H(z)之间的对应关系。因此，z变换的函数H(z)从形式可以反映h(n)的部分内在性质。我们仍旧通过讨论H(z)的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。

【实例3-4】 试用MATLAB命令画出现下列系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位取样响应h(n)的波形，并分析系统函数的极点对时域波形的影响。

（1）H1(z)zzz （2）H2(z) （3）H3(z)2

z0.8z0.8z1.2z0.72zzz（4）H4(z) （5）H5(z)2 （6）H6(s)

z1z1.2z1.6z1z（7）H7(z)2

z2z1.36解：MATLAB源程序为 b1=[1,0]; a1=[1,-0.8]; subplot(121) zplane(b1,a1)

title('极点在单位圆内的正实数') subplot(122)

impz(b1,a1,30);grid on; figure b2=[1,0]; a2=[1,0.8]; subplot(121) zplane(b2,a2)

title('极点在单位圆内的负实数') subplot(122)

impz(b2,a2,30);grid on; figure b3=[1,0]; a3=[1,-1.2,0.72]; subplot(121) zplane(b3,a3)

title('极点在单位圆内的共轭复数') subplot(122)

impz(b3,a3,30);grid on; figure b4=[1,0];

a4=[1,-1]; subplot(121) zplane(b4,a4)

title('极点在单位圆上为实数1') subplot(122) impz(b4,a4);grid on; figure b5=[1,0]; a5=[1,-1.6,1]; subplot(121) zplane(b5,a5)

title('极点在单位圆上的共轭复数') subplot(122)

impz(b5,a5,30);grid on; figure b6=[1,0]; a6=[1,-1.2]; subplot(121) zplane(b6,a6)

title('极点在单位圆外的正实数') subplot(122)

impz(b6,a6,30);grid on; figure b7=[1,0]; a7=[1,-2,1.36]; subplot(121) zplane(b7,a7)

title('极点在单位圆外的共轭复数') subplot(122)

impz(b7,a7,30);grid on;

程序运行结果分别如图32的（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）所示。

(a)

(b)

(c)

(d)(e)(f)

(g)

图3-2 系统函数的零极点分布与其时域特性的关系

从图3-2可知，当极点位于单位圆内时，h(n)为衰减序列；当极点位于单位圆上时，h(n)为等幅序列；当极点位于单位圆外时，h(n)为增幅序列。若h(n)有一阶实数极点，则h(n)为指数序列；若h(n)有一阶共轭极点，则h(n)为指数振荡序列；若h(n)的极点位于虚轴左边，则h(n)序列按一正一负的规律交替变化。

（三）离散时间LTI系统的频率特性分析

对于因果稳定的离散时间系统，如果激励序列为正弦序列x(n)Asin(n)u(n)，则

jj系统的稳态响应为yss(n)A|H(e)|sin[n()]u(n)。其中，H(e)通常是复

数。离散时间系统的频率响应定义为

H(ej)|H(ej)|ej() （3-4）

其中，|H(ej)|称为离散时间系统的幅频特性；()称为离散时间系统的相频特性；

H(ej)是以s（s析H(ej2，若零T1，s2）为周期的周期函数。因此，只要分T)在||范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。

MATLAB提供了求离散时间系统频响特性的函数freqz，调用freqz的格式主要有两种。一种形式为

[H,w]=freqz(B,A,N)

其中，B与A分别表示H(z)的分子和分母多项式的系数向量；N为正整数，默认值为512；返回值w包含[0,]范围内的N个频率等分点；返回值H则是离散时间系统频率响应H(ej)在0~范围内N个频率处的值。另一种形式为

[H,w]=freqz(B,A,N,’whole’)

与第一种方式不同之处在于角频率的范围由[0,]扩展到[0,2]。

z20.96z0.9028【实例3-4】 用MATLAB命令绘制系统H(z)2的频率响应

z1.56z0.8109曲线。

解：利用函数freqz计算出H(ej)，然后利用函数abs和angle分别求出幅

频特性与相频特性，最后利用plot命令绘出曲线。MATLAB源程序为

b=[1 -0.96 0.9028]; a=[1 -1.56 0.8109];

[H,w]=freqz(b,a,400,'whole'); Hm=abs(H); Hp=angle(H); subplot(211) plot(w,Hm),grid on

xlabel('\\omega(rad/s)'),ylabel('Magnitude') title('离散系统幅频特性曲线') subplot(212) plot(w,Hp),grid on

xlabel('\\omega(rad/s)'),ylabel('Phase') title('离散系统相频特性曲线') 程序运行结果如图3-3所示。

图3-3 离散系统频响特性曲线

四、 实验内容

1、计算X(z)1,121(10.9z)(10.9z))|z|0.9的Z反变换。

提示：b=1;a=poly([0.9 0.9 -0.9]); [r,p,k]=residuez(b,a)

因此得到X(z)0.250.50.25|z|0.9

10.9z1(10.9z1)210.9z15相应的 x(n)0.25(0.9)nu(n)(n1)(0.9)n1u(n1)0.25(0.9)nu(n)

9z22z12、已知某离散系统的系统函数为H(z)3 2z0.5z0.005z0.3试用MATLAB求出该系统的零极点，并画出零极点分布图，求系统的单位冲激响应和幅频响应，并判断系统的是否稳定。 五、 思考题

1、讨论极点与系统稳定性的关系？根据程序运行结果判断该系统的稳定性。 2、根据实验程序的运行结果写出z反变换x(n)。