计算物理试题

1、用列主元素法解线性方程组

x1x2x3612x13x23x315 18x3xx15123解：求解过程如下：

11 16183115  3 3 15 第一行与第三行互换 12  3 3 15 第一次消元 12 18311511 183115 0  1 2 . 333 5 第二行与第三行互换

18 0 01.1670.9445.1670

第二次消元

183115

01.1670.9445.167

003.1429.428由回代过程得解x33.001，x22.000，x11.000 2、求方程组

x1x25x12x24的最小二乘解。 2x13x210【解】 因为系数矩阵为

11A12

23于是有

ATA112111231269

23914ATb11252912341043

正则方程组为

6x19x2299x 114x243

1

163115.1670.9445.16712.33351

其解为x119,x21。这就是所求超定线性方程组的最小二乘解。 33、高斯赛德尔迭代法（概念）

x(k1)i1aiibiaijx(jk)j1jin

ki1,2,...n,k0,1,2,...k1由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用x的全部分量来计算xk1k1的所

x有分量,显然在计算第i个分量ik1次近似x迭代法.

k1没有被利

用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第

的分量

x时,已经计算出的最新分量1,...,xi1k1xjk1加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德（Gauss-Seidel）

用高斯赛德尔迭代法求解线性方程组

10x1x22x372x110x22x383 xx5x42123解：由Jacobi迭代法计算公式，有

(k)(k)x1(k1)0.1x20.2x37.2(k1)(k1)(k)x0.1x0.2x2238.3 x(k1)0.2x(k1)0.2x(k1)8.4123取x(0)(1)=（0，0，0）T，代入上式得x17.2000，x2=9.0200，x3=11.40

(1)(1)

如此继续下去，计算结果见下表：

0 0 0 0 1 0.72 0.902 2 10.4308 11.6719 3 4 5 6 k x1k kx2 10.9313 10.9913 10.99 10.9999 11.9572 11.9947 11.9993 11.9999 12.9778 12.9972 12.9996 13.0000 x3k 1.14 12.8205 4、解方程组 122311232 223231讨论Jacobi迭代法Gauss-Seiddl迭代法的收敛性。

解：迭代法是否收敛等价于迭代矩阵的谱半径是否小于1，故应先求迭代矩阵。因为

2

122100000022 A=111， D=010， L=100， U=001221001220000Jacobi迭代法的迭代矩阵为:

 022B=I—D-1A=101 220其特征方程为

223IB=11==0

22因此有1230，于是B0<1，所以Jacobi迭代法收敛。 若用Gauss-Seiddl迭代，由

100DL=110

221则 DL1100=110 021022=023002 于是迭代矩阵为

M=DL1100022001U=110021000其特征方程为

2223=20 IB=02002特征值为10,232,故M2>1,所以Gauss-Seiddl迭代发散。

210A121012的特征值。 5、用Jacobi方法计算矩阵

【解】首先取i=1，j=2，因为cot2φ=0，故有φ=π/4，于是cosφ=sinφ=1/2，由矩阵Vij(φ)可得：

3

V(0)=V12(φ)=A(1)=V(0)A(0)V(0)T

1/21/21/21/200001

1/21/20001

1/21/21/21/200=101/2=031/202101/21/20121101201/21/22

再取i=1，j=3，tan2φ=2，cosφ=0.8880738，sinφ=0.4597007

0.8880700.459700100.4597000.88807 V(1)=00.633970.325060.3250630.6279600.627962.36603 A(2)=V(1)A(1)V(1)T=下面应取i=2，j=3，重复上述过程。如此继续下去，可得

00.585790.00203830.00203833.414010.01675800.0167582.00020（） A5=E（A(5)）=2×[(0.0020383)2+(0.016758)2]=5.6997×10-4≈0.00056997

所以A的特征值为：

λ1≈3.41401，λ2≈2.00020，λ3≈0.58579 6、牛顿差值法计算

已知函数ylnx的函数表如下： x 10 11 2.3979 12 2.4849 13 2.59 14 2.6391 ylnx 2.3026

用Newton插值公式计算ln11.5。

解： 我们取点x011,x012,x013做抛物线插值。根据下表计算可得 xi yifxi 一阶差商 二接差商 ··· n阶差商 4

x0 x1 x2 y0 y1 y2 fx0,x1 fx1,x2 fx2,x3 ··· fxn1,xn fx0,x1,x2 fx1,x2,x3 ··· fxn2,xn1,xn fx0,x1,xn 1 xx0 x3 ··· xn y3 ··· yn xxjj0n11 ··· 据公式fx0,x1,,xk xi xxjj0 fx0,x1,,xk1fx1,x2,,xk计算如下：

x0xk 一阶差商 二阶差商 —0.00415 —0.00350 —0.00290 三阶差商 四阶差商 yilnxi 10 11 12 13 14 2..3026 2.3979 2.4849 2.59 2.6391 0.0953 0.0870 0.0800 0.0742 —0.00022 —0.00020 —0.000005 1 x10 x10x11 xkk1012 xkk1013在根据牛顿插值公式：

xx0xx1xxn1fx,x0,x1,xnNnxfx0xx0fx,x0xx0xx1fx0,x1,x2

计算可得：2.30260.09531.50.004151.50.50.000221.5

0.50.50.0000051.50.50.51.52.4423522ln11.5N411.57、

5

的最小二乘拟合直线。将此表数据代入下式

得正则方程组

发射强度公式近似为 8、

容易求出此问题的正则方程组为三阶Hilbert方程组，故先构造正交多项式。

6

于是

则可用变数变换，从legendre多项式得出[0,1]上的正交多项式 于是

7

9、蒙特·卡罗方法的基本思想 由 得

9、蒙特·卡罗方法的基本思想

当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。

10、伪随机数产生器特征

1良好的统计分布特征 2高效 33周期长

4移植性好，可重复产生 11．、第一类舍选法

设随机变量η在[a，b]上的分布密度函数为f（x），在区间[a，b]上f（x）的最大值存在，并等于

8

9

12、重要抽样法

控制变量法

控制变量法（相关抽样法） ：控制变量法利用数学上积分运算的线性特性：

fxdxf(x)g(x)dxg(x)d(x)

选择函数g(x)时要考虑到：g(x)在整个积分区间都是容易精确算出，并且在上式右边第一项

10

的运算中对（f-g）积分的方差应当要比对f积分的方差小。

在应用这种方法时，在重要抽样法中所遇到的，当g(x) 趋于零时，被积函数（f-g）趋于无穷大的困难就不再存在，因而计算出的结果稳定性比较好。该方法也不需要从分布密度函数g(x)解析求出分布函数G(x)。由此我们可以看出选择所受到的比重要抽样法要小些。

14、二维微分方程的差分格式（一阶，二阶）的推导

答：假定某方程形式上可以写为：Lφ=q （1）

（2） 考虑

（） 考虑式（3）中p为常数的情况，二维的方程（1）可以写为

（4）

（5） 或

（6）

11

（8）

将（8）代入（7），并舍去高阶项，得

（9）

（10）

在（7）中，若令

（11）

把（11）代会（7），并忽略h三阶以上的高次项，则

（12）

（13）

同理：

（14）

（15）

将（12）（14）代入（4）得带该方程的差分表达式：

（16）

12

15、

解由迭代公式

可得：

如此继续下去，计算结果如下表：

16、有限元素方法的基本思想是什么？

答：有限元素方法是基于数学上变分原理。将所要求解的物理问题化为对泛函求极值的一个变分方程，再利用差分法中的区域划分的离散方法，并通过元素划分所构成的差值函数。把求解连续的变分方程问题，离散化为求解线性方程组。 17、有限元素法场域划分的要求

13

18、简述有限元素法与有限差分法的比较

1处理问题是的求解时，所采用的数学方法上的差别

（1）有限差分法必须要从物理模型出发，列出相应的偏微分方程及定解条件，然后通过网格划分将偏微分方程的定解问题离散化为对差微分方程组的数值求解；

（2）有限元素法不需要通过建立偏微分方程这一过程，并且物理问题在离散化的整个过程中始终有明确的物理意义；

2.对区域的离散化方法上有明显的区别

（1）有限差分法中，采用矩形网格区域划分，因而很难实现网格节点在区域中的配置与边界的良好逼近； （2）有限元素法中，采用三角形划分，对边界形状比较复杂时可以在边界上做到较好的逼近； 3.各节点的精度

（1）有限差分法孤立地对微分方程及定解条件分别列差分方程，因而各节点的精度总体上不够一致 （2）有限元素法采用统一的观点对区域内的节点和边界节点对列出计算格式，这就使各节点的计算精度总体上比较协调

14

4.适用范围

（1）有限差分法的适用范围要比有限元素法的广泛的多，有很多物理问题目前还不能使用有线元素法求解但是人们总可以采用有限差分法。

（2）有限差分法使用的范围比较广，特别是边界条件比较规则时，采用有限差分法是最合适的 （3）有限元素法要求计算机的内存量比较大，需要准备输入数据量大，这是它的缺点之一 19、一维谐振子位移、动量公式的推导（一步法，二步法）。

一步法：

即

二步法：

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