《高等数学Ⅰ》课程标准

《高等数学Ⅰ》

课程教学标准

第一部分：课程的性质、目标与教学要求

《高等数学Ⅰ》课程是我院理工科专业(目前针对工科电类专业)的一门必修的重要基础理论课。 高等数学的知识、思想、方法是理工科专业学生提高自身素质和学习后续课程必不可少基础。本课程是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

《高等数学Ⅰ》的课程目标是：通过本课程学习要使学生掌握一元函数微积分、向量代数和空间解析几何、多元函数微积分、无究级数、常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为今后各专业的后继学习或熟练使用数学工具奠定必要的数学基础。在进行数学教学的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生深入细致的洞察和抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

数学教学就是数学活动的教学, 学数学就是“做数学”。要求教师在教学中注意深入浅出，注意再现数学思维过程，引导学生进行数学思考，要求学生认真阅读教材、听课，思考，认真完成作业。

第二部分：课程教学内容纲要及课时安排

一、 函数、极限与连续（约24学时）

教学内容

函数的概念及表示法 函数的几何特性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立

数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左、右极限 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则 两个重要极限 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质

教学要求

1、 理解函数的概念，掌握函数的表示法，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 2、 理解复合函数及分段函数的概念、了解反函数、隐函数的概念。 3、 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 4、 会建立简单应用问题中的函数关系式

5、 理解数列与函数极限、左极限与右极限的概念以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6、 掌握极限的性质及四则运算法则。

7、 掌握极限存在的两个基本判别准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限

的方法。

8、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

9、 理解无穷小、无穷大的概念、性质及其关系，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求

极限。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值

最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。 二、一元函数微分学（约26学时）

教学内容

导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数的最大值和最小值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 教学要求

1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义及物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，会求反函数的导数，掌握基本初等函数的导数公式

3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

4、会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。

5、了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用，会求函数的微分。

6、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。了解柯西中值定理。

7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

8、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

9、会用导数判断函数图形的凹凸性与拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

三、一元函数积分学（约26学时）

教学内容

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 积分上限的函数及其导数 牛顿－莱不尼茨公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 广义积分 定积分的应用

教学要求

1、理解原函数、不定积分的概念，掌握不定积分性质，掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分换元积分法与分部积分法。

2、理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分中值定理。

3、理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿—莱布尼兹公式。 4、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 5、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

6、掌握定积分的元素法，会用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功等）。 四、空间解析几何与向量代数（约14学时）

教学内容

向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 两向量垂直、平行的条件 两向

量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程、直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、

垂直的条件 点到平面和点到直线的距离 球面 母线平行于坐标轴的柱面方程 旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程

教学要求

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及表示；掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量

积），掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

2、 掌握平面方程和直线方程及其求法；了解两个向量垂直、平行的条件。

3、 了解曲面方程和空间曲线方程的概念；了解常用二次曲面的方程及其图形；了解空间曲线

参数方程和一般方程。

4、 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角；会利用平面、直线的相互关系（平行、

垂直、相交等）解决有关问题。 5、 会求点到平面和点到直线的距离

6、 会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

7、 了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程。 五、多元函数微分学（约18学时）

教学内容

多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数地偏导数和全微分 全微分存在的必要条件和充分条件 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 多元函数的极值和条件极值 多元函数的最大值、最小值及其简单应用 教学要求

1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义

2、了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4、 理解方向导数与梯度的概念并掌握计算方法。

5、 掌握多元复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

6、 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数（简介由两个方程组成的方程组所确定的

隐函数的偏导数）。

7、 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的概念，并会求它们的方程。

8、 理解多元函数极值与条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数

极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些简单的最大值和最小值的应用问题。 六、多元函数积分学（约24学时）

教学内容

二重积分与三重积分的概念、性质、计算与应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系 格林公式 平面曲线积分与路径无关的条件 二元函数全微分的原函数 两类曲面积分的概念、性质及计算 高斯公式 斯托克斯公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应用

教学要求

1、 理解二重积分的概念，了解三重积分的概念；了解重积分的性质，了解二重积分的中值定

理。

2、 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、

球面坐标）。

3、 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，掌握计算两

类曲线积分的方法。

4、 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。 5、 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，

掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，会用斯托克斯公式计算曲线积分 6、 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 七、无穷级数（约16学时）

教学内容

常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 收敛级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p-级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱不尼茨定理 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶系数与傅里叶级数 狄利克雷定理 函数在l,l上的傅里叶级数 函数在0,l上的正弦级数和余弦级数 教学要求

1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、掌握几何级数与p-级数的收敛与发散的条件。

3、掌握正项级数的比较审敛法及其极限形式、掌握正项级数的比值审敛法，会用正项级数的根值审敛法。

4、掌握交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差

5、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系 6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7、理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8、了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分）。 9、会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，掌握e,sinx,cosx,ln(1x)和(1x)的麦克劳林展开式，会将一些简单函数间接展开为幂级数。

10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件，了解幂级数在近似计算上简单应用。

11、了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在l,l上的函数展开为傅里叶级数，

会将定义在0,l上的函数展开为正弦级数和余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 八、常微分方程（约16学时）

教学内容

常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用

教学要求

1、了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。 2、掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

x

3、会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4、会用降阶法解特殊高阶方程。

5、理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程 7、会解简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 8、会用微分方程解决一些简单的应用问题。

第三部分 教学方案简要说明

本课程的课时计划是每周6学时，总计168学时（含习作课），分两个学期完成。由于第一学期新生入学迟及军训等原因，第一学期安排前五章，第二学期安排七章。由于本课程的课时少与讲授内容多是一个突出矛盾，这就要求教师根据各专业的特点和需要以及学生的学习情况，掌握好教学进度，可根据实际情况适当调整部分教学内容。在教学中做到精讲，加强概念的理解，削减运算技巧，注重数学思想的培养。提倡采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。

第四部分 课程作业与考核评价的说明

本课程需要学生自主完成一定量的习题才能较好地达到课程教学目的，一般每次课（2学时）由教师统一布臵作业，每次作业批改二分之一。鼓励教师布臵综合性较强的作业一至二次，由学生自主或分组完成。

本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型：（1）填空题、选择题、判断题：基本概念或基本计算、分析；（2）计算题：求极限、求导数、求积分等；（3）理论分析和应用的证明题；（4）实际问题的建摸和求解。

本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括：平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的60%，平时学习情况占总评成绩的40%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。

第五部分 关于教材与学习参考书的建议

本课程拟采用同济大学应用数学系主编的《高等数学》第五版上、下册（高等教育出版社出 版、“十五”国 家级规划教材）一书，作为本课程的主教材。

为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书： 1. 2. 3. 4.

《高等数学》(理工类)上、下册，吴赣昌主编 ，中国人民大学出版社 《高等数学例题与习题》 同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社 《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社 《高等数学讲义》樊映川等编，人民教育出版社

5. 《数学分析》(第二版)上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社