基于事件时间触发方法的切换系统稳定性研究

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ABSTRACT

Inrecentyears,switchingsystemsplayanimportantruleinstudyinghybridsys-temsandbecomeahottopicforcontroltheoryresearch.Switchingsystemiscomposedbyafamilyofsubsystemsandtheswitchingruleswhichorchestratetheswitching.Forengineeringapplication,thereisacommonphenomenonthatthelimitedbandwidthleadstoconstrainedcomputationandinformationtransmission.Theissueischalleng-ingforthepracticalapplicationofswitchingsystems.Therefore,itisofgreattheo-reticalvalueandpracticalsigniﬁcancetostudythestabilityofswitchingsystemusingevent/timetriggeredapproach.Thisthesisconcernswiththeswitchingsystemwithevent/timetriggeredcontrol.Themaincontentsarelistedasfollows:

First,thesubsystemsoftheswitchedsystemsarestabilizable.Bycombiningthemode-dependentaveragedwelltimeandthemulti-Lyapunovfunction,weanalyzethestabilitywitheventtriggeredmechanism.Theswitchingrulethatisrelatedtotheeventtriggeredruleisdesigned.Thenwegivesomesuﬃcientconditionstoensureuniformlyultimateboundedness.

Second,wefocusonasymptoticstabilityissueofswitchingsystems.Basedonthemode-dependentaveragedwelltimemethodandcomparisonprinciple,weupdatetheeventtriggeredmechanismandderivethesuﬃcientconditionstoguaranteeasymptoticstability.Meanwhile,thestatetransitionmatrixapproachisalsoapplied.Simulationexamplesareprovidedtoillustratethevalidityofourresultsaswellasthecomparisonoftheabovemethods.

Finally,theproblemofswitchingsystemwithunstablesubsystemsisdiscussed.Weproposeaneweventtriggeredmechanismwhichisnotonlyrelyingontheeventtriggeredrule,butalsorelatedtotimetriggeredrule.TheelementarytimeunitandconvexLyapunovfunctionarecombinedtodesigntheswitchingsignalstoguaranteetheasymptoticstabilityoftheswitchingsystemswithunstablesubsystems.

KEYWORDS：SwitchingSystems,Event/timetriggeredmechanism,Exponential

stability,Elementarytimeunit,Unstablemode

III

中文摘要..........................................................................................ABSTRACT.......................................................................................目录................................................................................................符号表.............................................................................................第1章绪论.......................................................................................1.1研究背景及意义

..................................................................

1.2

基础知识简介........................................................................

1.2.1基于事件触发的切换系统.............................................

1.2.2稳定性

...........................................................................

1.2.3基于模态的平均停留时间和基本单元法........................1.2.4相关引理........................................................................

1.3本文的主要研究内容和结构安排..........................................第2章基于事件触发方法的切换系统有界性.................................2.1系统模型与问题描述............................................................2.2主要结果及证明..................................................................

2.3数值仿真..............................................................................2.4本章小结

..............................................................................

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

...........................

3.1系统模型与问题描述............................................................3.2

主要结果及证明

..................................................................

3.2.1基于模态的平均停留时间方法.......................................3.2.2状态转移矩阵方法

.........................................................

IIIIIV

VII11446681011111317182121222226

3.3数值仿真..............................................................................3.4本章小结..............................................................................

第4章

时间/事件触发切换系统的稳定性.......................................

4.1系统模型与问题描述............................................................4.2主要结果及证明..................................................................

4.3数值仿真..............................................................................4.4本章小节..............................................................................

第5章

结论与展望...........................................................................

5.1结论.......................................................................................5.2展望.......................................................................................参考文献

..........................................................................................

发表论文和参加科研情况说明.........................................................致

谢................................................................................................

29323535374244475153

符号表

Rn：Rn×n：AT：A>0：σ：∀：∈：He(A)：0：λmin(A)：λmax(A)：⋆：

n维欧几里德空间n×n的实矩阵集合矩阵A的转置矩阵A为正定矩阵切换信号任意的属于AT+A

具有适当维数的零矩阵方阵A的最小特征值方阵A的最大特征值对称矩阵中的对称元

VII

第1章绪论

科学技术的发展不断推动着社会生活的进步，社会生产的发展又给自动控制科学提出了新的问题和挑战，然而现有的理论知识还不能完全解决发展中所遇到的问题。想要解决这些问题，单单采用传统的连续系统或者离散系统控制策略是不够的。基于实际应用的需求，应运而生了一类新的系统——复杂系统。混杂系统作为复杂系统的一种，具有不太繁琐的数学模型，这一优点使其成为理论上探索复杂系统的一个重要研究方向，从而获得了人们的广泛关注。切换系统是从系统与控制科学的角度来研究混杂系统的一类重要模型，也是混杂系统理论研究的一个国际前沿方向。

1.1研究背景及意义

在控制理论中，有一类称为间歇控制的系统，是指在单一控制系统中，控制器时而工作时而停歇，这种系统的优点在于能够节省控制器的使用并减少损坏。这种对控制器何时工作何时休息的设计作为“切换”序列的思想来源。与此同时诸多学者将实际工程中的工业过程建模为切换系统，并从子系统变化的角度对此类系统进行了分析，从而逐渐形成了切换系统理论。例如，在飞机从静止到稳定飞行这一过程中，实际上可以分为多个阶段，有加速阶段，上升阶段，巡航阶段，稳定飞行等等过程。对于不同的阶段其动力学模型各不相同，将每个阶段动力学模型作为切换系统的子系统，设计一定的切换规则，对通过每个子系统施加不同的控制器来实现飞机在整个过程中能够平稳飞行。在以上的动力学模型中，我们要从切换的角度进行分析与综合[1]。实际上，当今许多化工过程中，切换/混杂建模与控制是不可避免的：化学工业通常可视作连续的动态过程，其控制往往需要一些二值开关(加热与制冷)，何时开关为是，何时为否关系着化工过程的产物及稳定性，在后续的生产过程中扮演着重要角色。此外，在工业过程控制系统中[2][3]、电力系统中[4][5][6]、智能交通[7]等，切换系统也具有重要的作用。尽管切换系统存在于生活的各个方面，但它们的共同点是系统有着变化的模式和控制参数，原来单一模型表征的系统已不能完整地刻画其系统的动力学方程，系统

第1章绪论

变得难以控制和处理。与此同时，人们所关心的连续或离散系统的稳定性问题也变得复杂化。基于以上问题的提出与分析，切换系统适时地解决了建模的难题，人们可以使用切换系统对以上实际问题进行动力学建模与分析，并用切换系统的理论方法来研究系统稳定性[8][9][10][11]及镇定性[12][13][14][15]等问题。

通过以上的分析，切换系统是由一系列的连续或离散的子系统以及描述它们之间联系的切换规则组成的混杂系统。在整个系统运行中，切换规则决定着子系统何时进行切换，并且在每一个时刻只能有唯一子系统处于激发状态。在理论上对切换系统的分析主要有稳定性、控制器设计、鲁棒性、自适应等相关方面，为系统的完全运行以及克服参数不确定性提供比较好的解决办法。人们早在多年之前就已经将“切换思想”引入到了控制理论中，如Bang-Bang控制，变结构控制等。在实际的工业过程中，由于过程的多阶段性和复杂性及其本身的特点，如切换模式，切换规则、以及每个子系统参数的变化，使得传统的分析方法以及工具变得不再适用，因此切换思想恰恰是解决这一问题的有效方法和切实可行的工具。

无论是单纯的切换系统还是为了减少信息量的传输和计算而研究的事件触发切换系统，针对其研究的方法有许多，大多研究者是从能量的角度出发，采用了Lyapunov函数的方法，如公共Lyapunov函数[16]、多Lyapunov函数[17]、分段Lyapunov函数[18]、类Lyapunov函数[19]、凸包Lyapunov函数[20]等，来研究事件触发切换系统稳定性等问题，而选择不同的Lyapunov函数方法目的在于逐渐的减少理论研究的保守性。除此之外，学者Shorten、Narenda等还提出了代数方法，如系统的状态转移矩阵[21]。

在切换规则设计上，也有很多种方法，应根据实际工业过程系统的需要，选择不同的切换规则。从大方向上来说，切换主要分为两个方面：状态切换和时间切换。对于状态切换，顾名思义其切换规则与状态相关，通常选取的是最小能量函数(包含最小Lyapunov函数或最小代价函数)，如在研究飞机飞行距离最优问题上，采用最优控制的思想，通过寻找最优的代价函数来实现飞行过程中换向器的换向，最终实现飞机飞行距离最远的实例研究。时间切换[22]主要包含周期切换方法[23]、停留时间方法[24]、最小停留时间[25]、平均停留时间[19][26][27][28]、基于模态的平均停留时间方法[29]等等，相比于平均停留时间方法，基于模态的平均停留时间方法在保守性上更小且与每个子系统的相关性更大。对于时间切换，该方法的主要思路是，当系统包含的子系统都是稳定时，只需切换的过程足够慢，系统最终能保证稳定。当然，如果存在快速切换，只要保证子系统运行的时间足够长，那最终系统也

第1章绪论

能实现稳定。如果稳定的子系统与不稳定的子系统同时存在，一方面要满足所说的慢切换原则以外，还要考虑这两类子系统运行时间的长短，通常使不稳定子系统运行时间短一些，稳定的子系统运行时间长一些，使得系统的总能量在稳定期间尽量的消耗掉，以达到最终的稳定。

在切换系统的研究中，对渐近稳定(asymptoticstability)和指数稳定(ex-ponentialstability)的研究比较多，并且出现了很多优秀的结果。近年来，越来越多学者们将切换系统立足于实际的工业系统中，目的是将切换系统理论进一步完善。由于受到带宽的，对于网络中信息的传输和计算已经成为一大挑战，许多学者由此提出了事件触发控制[30][31]策略。针对网络系统问题，Zhang等分析了一般系统的稳定性、有界性等问题，并且求得了两次事件触发之间的最小时间间隔，以避免Zeno现象的发生。此外，网络技术和计算机技术迅猛的发展，将传统的工业控制过程和网络系统有机的结合变得尤为重要和有意义，由此提出了网络化控制系统[32][33]的概念。随着系统复杂性的不断增加，具有切换性质的网络化系统普遍应用，而传统的周期网络控制系统受到网络传输带宽和计算资源有限，网络的信息交流、数据传输情况和负载状况等不利因素影响，进而可能导致系统性能降低或变差。

为了解决上述问题，本文引入事件触发控制协议[31][34]来取代传统的周期控制协议。事件触发控制（event-triggeredcontrol）是一种传输控制协议，只有当某些事件发生时（即设计的触发条件满足时）系统反馈环节才进行信息交流，信息从事件发生器反馈作为控制器输入。触发的条件根据需要有多种设计方案，可能是状态误差、参考输入与输出的误差等。主要目的是基于事件对系统的实时通讯提出需求，按照所提出的需要执行控制任务，进而减少网络控制系统的传输负载，通讯资源的占用，同时仍能保证系统具有期望的控制效果。

传统的时间触发控制是指：系统在没有任何外部干扰的情况下，控制器周期地执行控制任务，这一结果必然导致通讯资源的浪费。而事件触发能够在确保系统性能的前提下，按需要来执行控制任务，由此能够减少控制信号的产生次数，使得系统仅在必要的时候进行数据的传输要求，同时能够满足带宽有限情况下数据量的传输，还能减少传输带来的延时问题。事件触发控制是在90年代末被提出。瑞典隆理工学院的Arzen教授于1999年在文献[35]中提出了基于事件触发的PID控制机制。王晓峰给出了事件触发模型[36]和自触发模型[37]，并对事件触发稳定性作了深入的分析。

总而言之，事件触发切换系统是一类重要而又十分有意义系统，而且有很强的工业应用背景，近些年来吸引了不少学者参与到其中[38][39]。同时，

第1章绪论

事件触发切换系统的稳定性问题，作为控制领域中基础而富有挑战性的课题，还需不断完善。因此，本文的研究既具有重要的理论价值，也具有实际意义。

1.2基础知识简介

1.2.1基于事件触发的切换系统

本文考虑的是基于事件触发的切换系统，图1-1是具有n个子系统的事件触发切换系统。事件触发切换系统是指在一个复杂系统中有多个子系统存在，每个子系统都有一个事件触发机制，并且这些子系统会在事件触发机制和切换规则的共同作用下，相互影响，共同决定系统的运行过程，进而来决定整个系统的动态行为。从这个角度来讲，对于许多实际系统，在信号的传输过程中，带宽受限所引起的问题是普遍存在的。同时，在系统的运行中，切换所引起的系统状态突变或能量突变等问题亦存在，此时便可以用事件触发切换系统来建模。

图1-1事件触发切换系统示意简图

切换系统

在实际的工业过程中，通过单一控制器对复杂系统实现良好作用有很大的难度，此时就需要多个控制器相互配合，协作完成对整个系统的控制。例如过程控制中常常提到的锅炉液位的控制，其中有温度传感器、液位控制器、流量控制器等装置，只有当这些传感器（控制器）按照一定规则相

第1章绪论

互协作时，才能实现锅炉液位的正常控制。由此可得对切换系统的研究，目的在于实现系统的良好运行，达到预期的效果。切换子系统的一般数学模型为：

˙(t)=Aσ(t)x(t)+Bσ(t)u(t)xy(t)=Cσ(t)x(t)

(1-1)

其中，σ(t):(0,T)→M󰀂{1,···,m}是切换信号，其中m>0是子系统的个数。本文中，当第i个子系统处于激活状态时，切换信号表示为：σ(t)=σi,t∈[tis,tis+1)，其中tis代表着切换时刻，x(t)∈Rn是系统的状态，Ai,Bi是系统的常数矩阵，其中i∈{1,···,m}，u(t)∈Rm是控制输入，y(t)是测量输出。当每个子系统的控制方程确定后，整个系统的协制就依赖于所设计的切换信号了，因此切换系统的性能很大程度上取决于切换信号的选取。通常我们将切换序列表示为：

sss

{x0;(i0,t0),(i1,t1),···,(ik,tk),···|ik∈M,k=0,1,···}

其中，x0代表系统的初始状态，ik表示激发的子系统，tk表示切换时刻。

事件触发控制

随着科技的不断发展，生活中使用的网络带宽不断提升，但实际工业过程中仍存在信息量的传输和计算过大等问题，为此学者提出了事件触发控制策略。它是一种传输协议，只有到达触发条件，信息才会进行交流。图1-2是在单一系统中的事件触发控制回路，由图可知只有当满足事件触发规则，系统的反馈回路才得以进行信息交流，信息此时从事件生成器反馈作为控制器的输入。事件触发控制的核心是图中所示的事件生成器，可以把它看做为满足某些事件条件后才能传输信息的传感器的一种。与之前研究的固定时间间隔的时间触发机制相比，事件触发控制更加依赖于所设计的触发条件，由此可见，事件触发机制是非周期的。

图1-2事件触发控制回路

第1章绪论

1.2.2稳定性

对于切换系统，稳定性问题是一个基本的问题，也是关键性问题。针对稳定性，众多学者近年来已经做了大量深入的研究，并取得了大量研究成果[24][26][27]。稳定性一般有两种意义，一种是渐近稳定，另外一种是有限时间稳定。渐近稳定研究的是系统在无限时间上的动力学行为，而有限时间稳定则只关心一定时间内系统的特性，该系统最终可能是稳定的也可能是发散的。换句话说，具有渐近稳定性的系统在最终虽然能够保证系统稳定，但在一定时间段内其暂态性能可能是很坏的。对于有限时间稳定，系统可能达不到最终的渐近稳定，甚至是发散的，但是在一定时间内其系统的暂态性能比较好。我们这里考虑第一种情况，接下来将给出切换系统的相关定义。定义1.1且满足

V(0)=0,V(x)>0∥x∥→∞⇒V(x)→∞

˙(x)<0,∀x󰀁0V

那么x=0是全局渐近稳定的。定义1.2

[1][28]

全局渐近稳定：

设x=0是方程x˙=f(x)的平衡点，V:Rn→R是一个连续可微的函数，

指数稳定：

如果存在常数β>0和常数C>0，使得对任意初始状态x(t0)，系统x˙=f(x)的解满足不等式∥x(t)∥1.2.3基于模态的平均停留时间和基本单元法

切换系统的性能一方面取决于系统本身特性，另一方面还取决于切换信号σ(t)。因此，设计恰当的切换信号，对切换系统的性能分析起到不可或缺的作用。可以证明当全部子系统都是稳定的，如果设计的切换信号不恰当，切换系统最终可能是不稳定的；反之，如果设计了合适的切换信号，即使切换系统的子系统是部分不稳定的甚至是全部不稳定的，最终也可能实现整个切换系统的稳定。本文涉及的切换规则都是基于与时间相关的切换信号的设计。在之前的研究中，有停留时间方法、最小停留时间、平均停留时间等等。随着设计规则的不断深入，对系统的研究来讲，其保守性越来越小。本着这个原则，本文采用基于模态的平均停留时间方法，其切换规则的设计与切换

第1章绪论

系统的子系统息息相关，同时较之前的平均停留时间方法降低了保守性。接下来我们分别给出其相关定义。定义1.3

[28]

平均停留时间：

对于任意给定的时刻T≥t≥0,记Nσ(t,T)为σ(t)在(t,T)内的切换次数。如果对于τa≥0，N0≥0，满足Nσ(t,T)≤N0+(T−t)/τa，那么τa称为平均停留时间，N0称为震颤界。

上述平均停留时间的概念与子系统的模态无关，这导致了切换系统具有一定的保守性，于是文献[29]将平均停留时间扩展到模态相关的平均停留时间。在分析研究切换系统的稳定性问题上，模态相关的平均停留时间方法减少了平均停留时间的一些，处理问题更加灵活。定义1.4

[29]

模态相关的平均停留时间：

对于切换信号σ(t)和任意给定的时刻T≥t≥0,记Nσi(t,T)为第i个子系统在[t,T]内被激活的切换次数，Ti(t,T)为第i个子系统在[t,T]时间内运行的时间，如果对于τai≥0，N0i≥0，满足

Nσi(t,T)≤N0i+

Ti(t,T)

,τai

∀T≥t≥0

那么τai称为模态相关的平均停留时间，N0i称为模态相关的震颤界。

基于模态的平均停留时间方法在切换系统中的应用可由图1-3表示。其中，Tp(0,T)表示的是：第p个子系统在时间段[ti,ti+1)[tp,tp+1)[tq,tq+1)内处于激活状态的总时间；Nσp(0,T)代表的是在整个运行时间段内切换到第p个子系统的次数。定义1.5

[25]

最小停留时间：

如果存在dmin，使得对于切换系统的每个子系统其运行时间τi≥dmin，那么称dmin为最小停留时间。定义1.6

[20]

基本时间单元方法：

基本时间单元方法的核心内容不再是基于单个子系统，而是在最小停留时间的基础上，将单个子系统按照新的时间单元进行划分，划分的份数由Li表示，基本时间单元由Ti表示，满足：Ti=关时间。

τ∗

，其中τ∗表示子系统运行的相

第1章绪论

图1-3基于模态的平均停留时间方法结构图

1.2.4相关引理

在研究切换系统以及事件触发控制过程中，会涉及到许多数学相关理论。与此同时，相关不等式也会在求解LMI的过程中有所体现。接下来我们简单地介绍本文所用到的引理。引理1.1

[42]

Schur补引理：

，矩阵S11,S12,S21,S22维数适当，



S11S12给定任意对称矩阵S=S

21S22

S11,S22可逆，则以下表达式等价：

(i)S<0;

−1

(ii)S11<0,S22−S21S11S12<0;−1(iii)S22<0,S11−S12S22S21<0.

(1-2)

可以通过S过程将多个二次型函数的不等式加上一些正的标量后，变为一个单独的不等式。引理1.2

[40]

S过程：

若以x∈Rn为变量的二次型函数F0,···,Fn定义为

TFi(x)=xTTix+2aTi+bi,i∈{0,p},Ti=Ti.

第1章绪论

若存在标量τ1≥0,···,τp≥0，使得对于所有x，均有

p∑

F0(x)−τiFi(x)≥0

i=1

成立，那么对于i∈{0,···,p}时Fi(x)≥0成立。引理1.3

[43]

考虑标量微分方程

u˙=f(t,u(t)),u(t0)=u0

对于所有的t≥0和所有的u∈J⊂R,f(t,u)对于t连续可微，且对u是局部利普希茨的。设[t0,T)(T可以是无限的)是解u(t)存在的最大区间，并且假设对于所有t∈[t0,T)，有u(t)∈J。设v(t)是连续函数，其上右导数D+v(t)对于所有t∈[t0,T),v(t)∈J满足微分不等式

D+v(t)≤f(t,v(t)),v(t0)≤u0

那么，对所有t∈[t0,T)，有v(t)≤u(t)，这里n是系统状态的个数。引理1.4

[44]

如果子系统(Ai,Bi)是可控的，n为系统的阶数，那么对于任意的λ>0，总存在Ki满足

∥e(Ai+BiKi)t∥≤Mλn−1e−λt,t≥0

其中，M>0是一个常数，且于λ，并且可以由Ai,Bi和n精确计算出来。引理1.5

[44]

GrownwallBellman不等式:

令x和f是定义在[0,t]上的连续函数，t>0,c,d是常数。如果

∫t

∥x(t)∥≤c(1+d∥x(τ)∥f(τ)dτ)

成立，那么

∥x(t)∥≤ce

cd∫t

f(τ)dτ

第1章绪论

1.3本文的主要研究内容和结构安排

本文针对实际工程中大量存在的信息计算与传输受限这类问题的切换系统，通过设计事件/时间触发机制和切换规则，从理论上进行探讨。本文主要研究了基于事件/时间触发控制的切换系统的稳定性问题，主要内容安排如下：

第一章首先对切换系统的研究背景进行了详细的介绍，其次介绍了切换系统、时间/事件触发机制、渐近稳定、指数稳定的概念以及将要用到的相关知识和引理，为文章之后所得出的主要结果做了铺垫。

第二章讨论了切换系统在事件触发控制下实现最终有界性的问题。通过设计事件触发机制，将基于模态的平均停留时间方法和多Lyapunov函数方法相结合，给出了这类切换系统最终有界的条件，设计得到了与事件触发机制相关的切换信号。较之以往不同的是该切换信号既与子系统相关又与事件触发机制相关，同时给出了基于平均停留时间方法的相关推论。

第三章主要是在前一章的基础上，将原有的事件触发机制进行改良，采用了比较原理和多Lyapunov函数相结合的方法得到了能够保证事件触发切换系统渐近稳定的充分条件。同时，采用状态转移矩阵方法得到了与模态相关的切换规则，并推导出系统最终稳定的充分条件。最后通过数值仿真验证结果的有效性，并对上述两种方法所得到的结果做了比较。

第四章考虑的对象是仍是线性切换系统，通过设计与事件/时间同时相关的触发机制，并且基于与模态相关的平均停留时间方法，分析了具有不稳定子系统的切换系统，设计了与触发机制相关的切换信号，最终得到能够保证切换系统状态趋于零的充分条件。

第五章对本文的研究内容做了总结，并指出本文研究结果的不足之处，且对研究课题为了方向做出了展望。

第2章基于事件触发方法的切换系统有界性

本章主要探讨了采用事件触发方法实现切换系统稳定的问题，用以克服网络存在的信息计算受限和传输受限。首先设计了触发机制，并且基于触发机制利用基于模态的平均停留时间方法以及多Lyapunov函数方法，建立了保证系统最终有界的判据。同时给出了切换信号的选择，一方面它基于子系统的信息，即模态，另一方面它与我们设计的事件触发机制息息相关，从而有效地实现了事件触发切换系统的稳定。最后，给出数值仿真说明本章所得结果的正确性。

2.1系统模型与问题描述

考虑如下一类切换系统：

x˙(t)=Aσ(t)x(t)+Bσ(t)u(t)

(2-1)

式中，x(t)∈Rn是系统的状态，u(t)∈Rm是控制输入。σ(t):(0,T)→M󰀂{1,···,m}是切换信号，其中m>0是子系统的个数。(Aσ(t),Bσ(t))是已知的具有适当维数的常数实矩阵，并且是可镇定。具体的切换信号可有如下表示：

),...,(ik,tk),...,|ik∈M,k=0,1,...},{x0;(i0,t0

上式t0为初始时间，x0为初始状态，切换信号σ(t)是右连续的。当t∈

[tis,tis+1),σ(t)=σi时，表明系统(2-1)的第i个子系统是处于激活状态的。定义

sst0,t1,...,tls,...,l=0,1,2,...为时间段[0,T)之间切换系统的切换时刻。如果选

用的是状态反馈控制器，即u=Kix(t)，其中Ki是由后面条件确定，那么闭环系统将变为：

x˙(t)=(Ai+BiKi)x(t)

可以由如下公式表示：

eeee

u(t)=u(tk)=Kix(tk),∀t∈[tk,tk+1),k∈N

(2-2)

如果我们的控制器用于实际的数字平台上，那么系统(2-1)的实际控制输入

(2-3)

第2章基于事件触发方法的切换系统有界性

其中，文中tk代表的是第k次触发时刻，并且用图2-1表示切换时刻与事件

触发时刻之间的关系。于是，事件触发切换系统可以写成：

x˙(t)=Aix(t)+BiKix(tk)

(2-4)

图2-1切换时刻与事件触发时刻关系图

由于事件触发涉及到系统的当前状态与上一次网络传输的状态，为了研究系统的稳定性，定义误差函数为：

eeee(t)=x(tk)−x(t),∀t∈[tk,tk+1)

(2-5)

那么系统的闭环表达式为：

x˙(t)=Aix(t)+BiKi(x(t)+e(t)),

(2-6)

对于事件触发控制,它触发的原则需满足一定的事件，并且该事件是与系统

本身的状态相关，我们将需要满足的事件称为事件触发机制。文中以x(tS+1)

表示最后一次触发时刻，我们设计的事件触发机制为：

t0=0,

tk+1

=inf

{

t∈[0,T)|t>

tk,

e(t)Pie(t)≥max{ηx(t)Pix(t),ρ}

}

(2-7)

其中，η∈(0,1),ρ>0为相关参量，Pi>0是具有合适维度的矩阵。

由以上讨论可知，事件触发机制的设计具有现实意义。对于事件触发问题，一定要考虑“Zeno”现象，我们通过在原有的事件触发机制的基础上加入ρ这一常数项来解决。一方面它能够避免“Zeno”现象的发生，另一方面它能使得系统最终稳定在趋于零的很小区域内。那么由事件触发的实际定义出发，必然存在参数τ>0使得两次触发时间的间隔满足以下关系：

eetk+1−tk≥τ,∀k∈N

本章将研究切换事件触发系统(2-1)的最终有界性问题，并给出系统最终有界的充分条件。

第2章基于事件触发方法的切换系统有界性

2.2主要结果及证明

本小节将针对系统(2-1)，结合多Lyapunov方法和基于模态的平均停留时间方法（平均停留时间方法），得到系统最终有界性的充分条件，该结果主要包含两部分，第一部分是与模态相关的平均停留时间方法；二与模态不相关的平均停留时间方法的应用。

定理2.1考虑切换线性系统(2-1)，采用(2-7)所设计的事件触发机制和(2-3)形式的线性反馈控制器。如果存在标量参数0<η<1,βi>0,µ>1和对称正定矩阵Pi>0，满足



MiPiBiKi(BK)TP−Piiii

Pi≤µPj,i󰀁j



<0

(2-8)

(2-9)

其中Mi=(Ai+BiKi)TPi+Pi(Ai+BiKi)+(βi+η)Pi，那么具有事件触发的闭环切换系统(2-6)是全局最终有界的，且其收敛的界与参数ρ相关，满足以下公式：

∥x(tS+1)−x(t)∥=∥e(t)∥<δ(ρ)=

√

ρλmin(Pi)

其中，Pi矩阵为最后一次触发时刻所在子系统的参数。此时基于模态的平均停留时间方法所得到的切换信号应满足：

lnµ∧ss∗es

{τai≥τai=}{τai=tk+1−ti},i∈M,k∈N.βi

(2-10)

这里，tk+1,k∈N是由下面的算法2.1计算得来的，τai代表的是基于模态的平e均停留时间，τ∗ai代表的是基于模态平均停留时间的下界，tS+1代表的是切换

系统的最后一次触发时刻。

证明：当t∈[tis,tis+1)时，构造如下形式的Lyapunov函数：

Vi=xT(t)Pix(t)

那么，Vi(t)关于时间t求导，可得

˙i(x(t))=xT(t)[(Ai+BiKi)TPi+Pi(Ai+BiKi)]x(t)+2xT(t)PiBiKie(t)V

由公式(2-8)，可以得到：

˙i(x(t))+βiVi(x(t))V

(2-11)

第2章基于事件触发方法的切换系统有界性

+(βi+η)x(t)TPix(t)−eT(t)Pie(t)<0

也就是说，在t∈[tis,tis+1)时，其Lyapunov函数满足：

˙i(x(t))<−βiVi(x(t))V

对于任意时间t∈[tis,tis+1)，考虑到切换系统本身的性质(2-9)，我们有

Vσ(tis)(x(t))≤e−βi(t−ti)Vσ(tis)(x(tis))≤µe−βi(t−ti)Vσ(tis)(x(tis−))

整体性质。当t∈(0,T)，通过对不等式(2-13)进行积分，可得

s)(T−tσ(ts))−mVs)(x(tV(x(T))≤µe−βσ(tms)))σ(tmσ(tm

s)(T−tσ(ts))me≤µe−βσ(tm

(2-12)

(2-13)

以上是从切换系统中的单一子系统方面来分析，接下来分析切换系统的

−βσ(ts

m−1

s)−tσ(ts)))(tσ(tm

m−1s)−tσ(ts)))(tσ(tm

m−1

s)(x(tσ(ts)))Vσ(tm−1m−1

−βσ(ts

m−1

−s)(x(tµVσ(tm

σ(ts−1−s)(x(tVσ(tm

σ(ts−1

m−1)

))

s)(T−tσ(ts))

me≤µ2e−βσ(tm

s)(T−tσ(ts))me≤µ3e−βσ(tm

−βσ(ts

m−1

s)−tσ(ts)))(tσ(tm

m−1s)−tσ(ts)))(tσ(tm

m−1

m−1)

))

m−2)s

−βσ(ts

m−1

−s)(x(t···Vσ(tm

σ(ts−2

))

s)(T−tσ(ts))

me≤µΣi=1Nσi(0,T)e−βσ(tm

−βσ(ts

m−1

s)−tσ(ts)))(tσ(tm

m−1

...e−β1(t1−t0)V(x(0))

≤µΣi=1Nσi(0,T)e−β1Γ1(0,T)...e−βkΓk(0,T)V(x(0))

∏

ΣmN(0,T)σi

e−βiΓi(0,T)V(x(0))=µi=1=∏

i∈M

eNσi(0,T)lnµe−βiΓi(0,T)V(x(0))

考虑到定义1.4中的Nσi的表达式，应用于上式，可得∏Γ(0,T)

(N0i(0,T)+iτ)lnµ−βiΓi(0,T)

aieV(x(T))≤eV(x(0))

i∈m

=eΣi=1(N0i(0,T)eΣi=1(τai−βi)Γi(0,T)V(x(0))

lnµ

另一方面，考虑到

τai≥

则

V(x(T))≤e

µmax(lnΣmτai−βi)Γi(0,T)i=1(N0i(0,T)

lnµ

,i∈Mβi

eV(x(0))V(x(0))

−min(βi−lnΣmτai)Γi(0,T)i=1(N0i(0,T)

(2-14)

随着时间的推移，系统的状态逐渐趋近于平衡点，在到达一定程度时，触发条件变为阈值型eT(t)Pie(t)≥ρ。由上文可知，加入阈值型条件目的是避

第2章基于事件触发方法的切换系统有界性

免“Zeno”现象。本着这一目的，我们此时以eT(t)Pie(t)≥ρ这一触发机制为主，换句话说，此时系统的误差与所选取的参数ρ紧密相关，通过计算可得

∥e(t)∥≥δ(ρ)。由上面的分析，我们可知tS+1为事件触发在切换系统中的最后

一次触发时刻，那么，在此次事件触发之后，系统的状态满足：

√

ρe

∥x(tS)−x(t)∥=∥e(t)∥<δ(ρ)=+1

λmin(Pi)

通过以上的计算，可以很明显地看出，根据选取参数ρ的不同，系统的状态最终会收敛至与其相关的一个小区域。由此我们可以得出，切换系统在事件触发机制和基于模态的平均停留时间方法下最终能够收敛到一有界的区域，且其界限可以通过参数ρ进行调整。

󰀁

注2.1值得注意的是，定理2.1是在基于模态的平均停留时间方法基础上推导得来的，它是依赖于每个子系统自身的性质，接下来使用平均停留时间的方法得到其一个推论。

推论2.1考虑切换线性系统(2-1)，采用(2-7)所设计的事件触发机制和(2-3)形式的线性反馈控制器。如果存在标量参数0<η<1,βi>0,µ>1和对称正定矩阵Pi>0，并且满足

MiPiBiKi(BK)TP−Piiii

Pi≤µPj,i󰀁j



<0

(2-15)

(2-16)

其中Mi=(Ai+BiKi)TPi+Pi(Ai+BiKi)+(βi+η)Pi，那么具有事件触发的切换系统(2-6)是全局最终有界的，且其收敛的界与参数ρ相关，满足以下公式：

√

∥x(tS+1)−x(t)∥=∥e(t)∥<δ(ρ)=

ρλmin(Pi)

其中，Pi矩阵为最后一次触发时刻所在子系统的参数。此时依赖于平均停留时间方法所得到的切换信号σ(t)满足：

lnµ∧s∗ess

{τa≥τa=}{τa=tk+1−ti},i∈M,k∈Nβ其中β=min{βi}。

证明：与定理2.1的证明相类似，根据平均停留时间方法和式(2-15)，可得

˙i(x(t))≤−βVi(x(t))V

(2-17)

(2-18)

第2章基于事件触发方法的切换系统有界性

值得注意的是，此时β=min{βi}。在时间段t∈[tis,tis+1)对公式(2-18)进行积分，得到

Vσ(t)(x(t))≤e−β(t−ti)Vσ(t)(x(ti))

之后关于推论2.1的证明与定理2.1相同，此处省略。

(2-19)

󰀁

对事件触发这一问题来讲，“Zeno”现象的讨论是不可避免的，下面明确给出了事件触发间隔的最小下界。

定理2.2考虑事件触发的切换系统(2-6)和事件触发机制(2-7)。τi为事件触发间隔函数的下界，其表达式为

τmin=minτi{τi=t−

其中ϵi=∥Ai+BiKi∥,i∈M.

证明：由公式(2-5)，对e(t)求导，可得

e˙(t)=−x˙(t)

=−Aix(t)−BiKix(tk)e=Aie(t)−(Ai+BiKi)x(tk)

当t>tk时，对e(t)求解可得：

tk|

∫∥

etk

eAisds∥2=

ηλmin(Pi)

}

ϵi2λmax(Pi)

(2-20)

e(t)=e

e)Ai(t−tk

∫

etk

e(t0)−

eAi(t−τi)(Ai+BiKi)x(tk)dτi

∫=−

对上式两端同时取范数

et−tk

eAis(Ai+BiKi)x(tk)ds

∥e(t)∥=∥x(tk)−x(t)∥∫t−tk=∥eAis(Ai+BiKi)x(tk)ds∥∫0t−tk≤∥eAisds∥∥(Ai+BiKi)∥∥x(tk)∥

0∫τ

=ϵi∥eAisds∥∥x(tk)∥

根据事件触发机制(2-7)和矩阵论的相关知识，以下公式中τi的解就是事件触发间隔的最小值：

∥e(tk+τi)∥2λmax(Pi)=ηiλmin(Pi)∥x(tk)∥2

第2章基于事件触发方法的切换系统有界性

󰀁

接下来，我们给出事件触发切换系统结果中应用过程中的算法。算法2.1

步骤一：定义is=1,ke=0，用LMI求解定理2.1（推论2.1）中的条件，并记录此时的τ∗ai，继续；

步骤二：计算事件触发条件(2-7)是否满足，如果满足，继续步骤三；反之无触发。

sse∗e∗步骤三：判断是否满足“tk：如果不满足，那么eti+τai”esseeke=ke+1，跳入步骤二；反之，设置tis+τai=tke+1，i=i+1,k=k+1，继

续；

步骤四：对新的处于激活状态的is子系统，求解相应的稳定性条件并更新τ∗ai然后跳入步骤二。

在以上的讨论中，is代表的是第i个子系统是处于激活状态的，tke代表

的是事件触发时刻。

2.3数值仿真

在本节中，我们将通过一个仿真例子来说明定理2.1结论的有效性。例2.1考虑如下两个子系统构成的切换系统(2-1)：

010A1=,B=1−2−310−11A2=,B=25−60

应用定理2.1求解不等式(2-8)，(2-9)，可得



[]2.00990.9060P1=0.90601.70,K1=0.21950.75



[]18.16770−16.1113P2=−16.111319.7661,K2=−12.349911.1421

取η=0.9,β1=0.5,β2=0.7,µ=1.5,ρ=0.1。在满足公式(2-10)的情况下，通过计算得到τa1≥0.811s,τa2≥0.579s。与此同时，基于模态的平均停留时

第2章基于事件触发方法的切换系统有界性

间还要同时满足算法2.1。

1050−5xtk1(t)0246t8101220(t)x−4−60246t81012tk2−2图2-2系统基于事件触发下的状态轨迹

在实际仿真中，本文选取两个子系统的停留时间分别是τa1=1.778s,τa2=0.722s。为了证明结果的有效性，本文采用上述计算所得参数，分别对事件触发条件下的状态以及误差进行了仿真，其结果如图2-2至2-3。由图中可以明显地看出系统最终收敛到了一定范围内，同时触发次数也不过于频繁。在仿真中，我们选取步长为h=0.001，此时整个时间段12s内，总的触发次数只有12次，其事件触发间隔如图2-4。由此可以明显地看出，事件触发仅仅占用了系统能。

11000的信息，最终使得系统具有良好的性

2.4本章小结

本章针对切换线性系统的稳定性问题，提出了事件触发方法，通过设计相应的事件触发规则并且采用基于模态的平均停留时间方法得到了与两者相关的停留时间。这一问题的提出，实际上是针对当今复杂网络在信息计算与传输受限所面临的问题。我们得到了能够保证系统最终有界的充分条件。最后，以一个数值仿真为例，验证了本章结果的有效性。

第2章基于事件触发方法的切换系统有界性

42e1(t)0−20246t81012e2(t)20−20246t81012图2-3系统的误差轨迹

1.41.210.8δt/s0.60.40.200123t/s456图2-4系统的事件触发间隔

第2章基于事件触发方法的切换系统有界性

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

在上一章中，我们考虑的是线性切换系统在事件触发控制下实现系统最终有界的结果，然而在很多情况下，人们更多的关注渐近稳定问题。为此，本章通过改进已有的事件触发机制，在基于比较原理和多Lyapunov泛函的基础上，研究了事件触发切换系统的渐近稳定性问题，并给出与时间触发机制相关的切换信号。与此同时，我们还采用了状态转移矩阵方法得到了相应的条件。最后，采用两个数值仿真验证了所得结果的有效性，并对多Lyapunov函数方法和状态转移矩阵方法进行了比较。

3.1系统模型与问题描述

考虑的线性切换系统与上一章相同：

x˙(t)=Aσ(t)x(t)+Bσ(t)u(t)

(3-1)

式中，x(t)∈Rn是系统的状态，u(t)∈Rm是控制输入。σ(t):(0,T)→M󰀂{1,···,m}是切换信号，其中m>0是子系统的个数。(Aσ(t),Bσ(t))是已知的具有适当维数的常数实矩阵，并且是可控的。具体的切换信号表示如下：

),...,(ik,tk),...,|ik∈M,k=0,1,...},{x0;(i0,t0

上式t0为初始时间，x0为初始状态，切换信号σ(t)是右连续的。当t∈

[tis,tis+1),σ(t)=σi时，表明系统(2-1)的第i个子系统是处于激活状态的。定义

sst0,t1,...,tls,...,l=0,1,2,...为时间段[0,T)之间切换系统的切换时刻。本章仍

考虑状态反馈控制器u(t)=Kix(t)。与此同时，考虑到控制器用于实际的数字平台上，那么系统(3-1)的实际控制输入可以由下面公式表示：

eeee

u(t)=u(tk)=Kix(tk),∀t∈[tk,tk+1),k∈N

(3-2)

其中，tk代表的是第k次触发时刻。此时，事件触发切换系统可由以下公式

表示：

x˙(t)=Aix(t)+BiKix(tk)

(3-3)

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

由于事件触发涉及到系统的当前状态与上一次网络传输的状态，为了研究系统的稳定性，定义误差函数是：

eee

e(t)=x(tk)−x(t),∀t∈[tk,tk+1)

(3-4)

那么系统的闭环表达式为：

x˙(t)=Aix(t)+BiKi(x(t)+e(t))

=(Ai+BiKi)x(t)+BiKie(t)

我们设计的事件触发机制是：

t0=0

tk+1

(3-5)

e在以下的讨论中，与上一章的触发条件(2-7)不同，这里针对t∈[0,t∞)，

=inf

{

t∈[0,T)|t>

tk,

e(t)Pie(t)≥max{ηx(t)Pix(t),ρe

−αt

}

(3-6)

其中，η∈(0,1),ρ>0为相关参量，Pi>0是具有合适维度的矩阵。

注3.1值得注意的是，事件触发机制通过引入ρe−αt这一项实现了切换系统的最终渐近稳定。

本章将研究切换事件触发系统(3-1)的渐近稳定性问题，并给出依赖模态与事件触发相关的切换规则。

3.2主要结果及证明

本小节将针对系统(3-1)，结合多Lyapunov方法和基于模态的平均停留时间方法（平均停留时间方法），得到系统最终渐近稳定的充分条件。主要包含四部分：第一部分是与模态相关的平均停留时间方法；二与模态不相关的平均停留时间方法的应用；第三部分：状态转移矩阵方法下的系统稳定性条件；第四部分：给出了事件触发时间间隔的相关下界。

3.2.1基于模态的平均停留时间方法

定理3.1考虑切换线性系统(3-1)，采用(3-6)所设计的事件触发机制和公式(3-2)形式的线性反馈控制器。如果存在标量参数0<η<1,βi>0,µ>1和对称正定矩阵Pi>0，并且满足MiPiBiKi(BK)TP−Piiii



<0

(3-7)

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

(Ai+BiKi)TPi+Pi(Ai+BiKi)+PiBiKiKiTBTiPi<0

(3-8)

Pi≤µPj,i󰀁j

统(3-5)是全局渐近稳定的。

此时基于模态的平均停留时间方法所得到的切换信号满足：

lnµ∧ss∗es

}{τai=tk{τai≥τai=+1−ti},i∈M,k∈N.βi

(3-9)

其中Mi=(Ai+BiKi)TPi+Pi(Ai+BiKi)+(βi+η)Pi，那么事件触发下的切换系

(3-10)

其中，tk+1,k∈N是由本文的算法2.1计算得到的，文中τai代表的是基于模态

的平均停留时间，τ∗ai代表的是基于模态平均停留时间的下界。证明：与第二章相同，本章仍选用如下Lyapunov函数：

Vi=xT(t)Pix(t)

由此，可得其沿时间的导数：

˙i(x(t))=xT(t)[(Ai+BiKi)TPi+Pi(Ai+BiKi)]x(t)+2xT(t)PiBiKie(t)V

如果不等式(3-7)成立，换句话说，此时满足以下事件触发条件：

t0=0

tk+1

(3-11)

=inf

{

t∈[0,T)|t>

tk,

e(t)Pie(t)≥ηx(t)Pix(t)

}

(3-12)

当满足上式触发条件时，其证明过程与上一章相同，这里省略。与此同时，如果满足下面不等式

τai≥

那么可得

V(x(T))≤e

max(lnΣmτai−βi)Γi(0,T)i=1(N0i(0,T)

lnµ

,i∈Mβi

V(x(0))V(x(0))

−min(βi−lnΣmτai)Γi(0,T)i=1(N0i(0,T)

(3-13)

并且，当时间t→∞时，系统的状态逐渐趋**衡点，此时(3-8)成立，即，此时满足以下事件触发条件

t0=0

tk+1

=inf

{

t∈[0,T)|t>

tk,

e(t)Pie(t)≥ρe

−αt

}

(3-14)

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

此时可得

˙i(x(t))=xT(t)[(Ai+BiKi)TPi+Pi(Ai+BiKi)]x(t)V

+2xT(t)PiBiKie(t)

=xT(t)[(Ai+BiKi)TPi+Pi(Ai+BiKi)+PiBiKiKiTBTiPi]x(t)

−∥e(t)−(BiKi)TPix(t)∥2+∥e(t)∥2≤−λmin(−Ni)∥x(t)∥2+∥e(t)∥2

其中，Ni=(Ai+BiKi)TPi+Pi(Ai+BiKi)+PiBiKiKiTBTiPi。

值得注意的是此时我们满足的时间触发规则是公式(3-14)。同时可以知

道，如果此时t∈[tk,tk+1)，那么会以下不等式成立。

eT(t)Pie(t)≤ρe−αt

ee因此，对于∀t∈[tk,tk+1)得到

˙i(x(t))≤−λmin(−Ni)∥x(t)∥2+∥e(t)∥2V

|ρe−αt|

≤−λmin(−Ni)∥x(t)∥+

λmin(Pi)

−λmin(−Ni)T|ρe−αt|≤x(t)Pix(t)+

λmax(Pi)λmin(Pi)

(3-15)

=−ξVi(x(t))+δ2(t)

其中，公式中涉及到的参数分别是：ξ=

−λmin(−Ni)

,δ(t)λmax(Pi)=

√

|ρe−αt|

λmin(Pi)s

)时，对公式(3-15)运用比较原理可得：当t∈(0,t1

∫t

Vσ(0)(x(t))≤e−ξtVσ(0)(x(0))+e−ξ(t−s)δ2(s)ds

(3-16)

对不等式(3-16)，我们针对以下三种情况进行讨论:

当ξ=α，可得

Vσ(0)(x(t))≤e−ξt(Vσ(0)(x(0))+

当ξ>α时，得到

Vσ(0)(x(t))≤e−ξt(Vσ(0)(x(0))−

e−αt

(ξ−α)λmin(Pi)

)

λmin(Pi)

)

(ξ−α)λmin(Pi)

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

当ξ<α时，可得

Vσ(0)(x(t))≤e−ξt(Vσ(0)(x(0))−

e−αt

(ξ−α)λmin(Pi)

)

(ξ−α)λmin(Pi)

由上述结果可知，对公式(3-15)任意时间段使用引理1.3，都能得到以下结论：当t→∞，李雅普诺夫函数V(x(t))→0，也就是说，最终切换系统能够实现全局渐近稳定。

󰀁

注3.2值得注意的是，定理3.1是在基于模态的平均停留时间方法基础上推到得来的，它是依赖于每个子系统自身的性质，接下来使用平均停留时间的方法得到其推论结果。

推论3.1考虑切换线性系统(3-1)，采用(3-6)所设计的事件触发机制和公式(3-2)形式的线性反馈控制器。如果存在标量参数0<η<1,βi>0,µ>1和对称正定矩阵Pi>0，并且满足：

MiPiBiKi(BK)TP−Piiii



<0

(3-17)

(Ai+BiKi)TPi+Pi(Ai+BiKi)+PiBiKiKiTBTiPi<0

(3-18)

Pi≤µPj,i󰀁j

规则σ(t)满足：

{τa

(3-19)

那么系统(3-5)是全局最终渐近稳定的，此时基于平均停留时间方法的切换

τ∗a

lnµ∧ses

=}{ti+1=tk+1−ti},i∈M,k∈N.β≥(3-20)

其中Mi=(Ai+BiKi)TPi+Pi(Ai+BiKi)+(βi+η)Pi,β=min{βi}.

证明：按照定理3.1的证明过程，运用平均停留时间方法和不等式(3-17)，可以得到

˙i(x(t))≤−βVi(x(t))V

(3-21)

此时参数β=min{βi}。对不等式(3-21)在时间t∈[tis,tis+1)上进行积分，可得

Vσ(t)(x(t))≤e−β(t−ti)Vσ(t)(x(ti))

推论3.1余下的证明过程和定理3.1相同，在此省略。

(3-22)

󰀁

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

3.2.2状态转移矩阵方法

对于系统(3-5)，我们还可以采用状态转移矩阵方法进行处理，即对于任意时间T≥0，其中t0=0并且在时间段[0,T]内用以下序列代表切换时刻

∑m

t1,t2,···,tk,tk+1,···,tNσ(0,T)，这里Nσ(0,T)=i=1Nσi(0,T)。

定理3.2考虑具有事件触发控制的切换系统(3-5)，满足事件触发机制(3-6)，如果存在参数κi,λi>0,0<η<1，且满足以下切换规则

κi

τai≥

λ−Ci

√

min(−diag(Ki))

其中Ci=∥BiKi∥ηλ，则系统是渐近稳定的。λmax(−diag(Ki))证明：当时间t∈(0,t1]，由微分方程的解的性质可得：

∫t

x(t)=e(A0+B0K0)tx0+e(A0+B0K0)(t−τ)B0K0e(τ)dτ

(3-23)

那么，可知

x(t1)=e

(A1+B1K1)t

∫x0+

e(A1+B1K1)(t1−τ)B1K1e(τ)dτ

与此相类似的方法，当t∈(t1,t2]时，

∫t

x(t)=e(A1+B1K1)(t−t1)x(t1)+e(A1+B1K1)(t−τ)B1K1e(τ)dτ

∫t

=e(A1+B1K1)(t−t1)e(A0+B0K0)tx0+e(A1+B1K1)(t−t1)e(A0+B0K0)(t1−τ)B0K0e(τ)dτ

∫t+e(A1+B1K1)(t−τ)B1K1e(τ)dτ

通过不断重复以上的推导过程，当t∈(ti,ti+1]时：

x(t)=e(Ai+BiKi)(t−ti)···e(A0+B0K0)t1x0

+e(Ai+BiKi)(t−ti)···e(A1+B1K1)(t2−t1)

∫t1×e(A0+B0K0)(t1−τ)B0K0e(τ)dτ+···

(Ai+BiKi)(t−ti)0

+ee(Ai−1+Bi−1Ki−1)(ti−τ)e(τ)dτ

ti−1

∫t+e(Ai+BiKi)(t−τ)e(τ)dτ

∫

(3-24)

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

i：如果满足事件触发条件：

t0=0

etk+1



et∈[0,T)|t>tk

=infeT(t)Pie(t)≥ηxT(t)Pix(t)



(3-25)

此时我们考虑矩阵Pi=−diag(Ki)，表示为由状态反馈控制器构成的对角阵。由于系统是可控的，那么应用引理1.4，可以得到

n−1−λ0t1

∥x(t)∥≤(Miλin−1)e−λi(t−ti)···(M0λ0)e∥x(0)∥

−1−λi(t−ti)−1−λ1(t2−t1)−1−λ0t1

+(Miλn···(M1λn(M0λni)e1)e0)e∫t1

e−(A0+B0K0)τB0K0e(τ)dτ×0

(3-26)

+···+

−1MiλniBiKi

∫

e−(Ai+BiKi)τe(τ)dτ

−1

对于参数Miλin−1，总能找到一个常数κi，使得不等式Miλn≤eκi成立，i

并且当系统不满足触发条件时，总会有

√

ηλmin(−diag(Ki))

∥e(t)∥≤∥x(t)∥

λmax(−diag(Ki))那么可以得到；

∥x(t)∥≤eκiNσ(0,t)e−λit∥x(0)∥

√∫t1

ηλmin(−diag(Ki))

∥x(τ)∥dτ+eκiNσ(0,t)×e−λ0(t1+τ)∥B0K0∥

λ(−diag(K))maxi0

+···+eκi∥BiKi∥

∫

tit

√e−λi(t+τ)

ηλmin(−diag(Ki))

∥x(τ)∥dτ

λmax(−diag(Ki))

≤eκiNσ(0,t)−λt∥x(0)∥

√∫tηλmin(−diag(Ki))

×+∥BiKi∥eκiNσ(0,t)−λ(t+τ)∥x(τ)∥dτ

λmax(−diag(Ki))0

√

min(−diag(Ki))

令Ci=∥BiKi∥ηλ，上式可化简为：λmax(−diag(Ki))∫t

∥x(t)∥eλit−κi(Nσ,0+τai)≤∥x(0)∥+C1×e−λiτ∥x(τ)∥dτ

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

应用引理1.5，可以得到：

∥x(t)∥eλit−κi(Nσ,0+τai)

≤∥x(0)∥e∥x(t)∥≤e

∫t

e−λiτdτ

−λit+κi(Nσ,0+τt)C1t

κe∥x(0)∥

∥x(t)∥≤eκiNσ,0e−(λi−τai−C1)t∥x(0)∥

≤C2e

−(λi−τi−C1)t

aiκ

其中，C2=eκiNσ,0∥x(0)∥。由条件(3-23)可得系统是渐近稳定的。ii：同理，当满足如下事件触发条件时

t0=0

etk+1

=inf

{

t∈[0,T)|t>

tk,

e(t)Pie(t)≥ρe

−αt

}

(3-27)

与以上证明相同，仍令Pi=−diag(Ki)，当系统不发生触发时，对于系统的误差，总满足：

∥e(t)∥≤

那么由公式(3-26)，可得

∥x(t)∥≤eκiNσ(0,t)e−λit∥x(0)∥

√∫t1

+eκiNσ(0,t)×e−λ0(t1+τ)∥B0K0∥

√

|ρe−αt|

λmin(−diag(Ki))

|ρe−ατ|

dτ

λmin(−diag(Ki))

+···+e∥BiKi∥

κi

∫

√e

−λi(t+τ)

|ρe−ατ|

dτ

λmin(−diag(Ki))

≤eκiNσ(0,t)−λit∥x(0)∥

√∫t

∥ρ∥α×eκNσ(0,t)−λ(t+τ)e−2τdτ+∥BiKi∥

λmin(Ki)0≤eκNσ(0,t)−λt∥x(0)∥√+∥BiKi∥

∥ρ∥

eκiNσ(0,t)−λit

λmin(−diag(Ki))

√

∥ρ∥

=eκiNσ(0,t)−λit(∥x(0)∥+∥BiKi∥)

λmin(−diag(Ki))√

κit∥ρ∥)κiNσ,0−(λi−τai

≤e(∥x(0)∥+∥BiKi∥)e

λmin(−diag(Ki))

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

由定理3.2可得到τai≥件下都能达到渐近稳定。

κi

，那么切换系统是渐近稳定的。由此我们有如λi

下结论无论是Lyapunov函数方法还是状态转移矩阵方法，系统在满足一定条

󰀁

对于事件触发控制，一个不能忽视的问题是“Zeno”现象。这里，我们给出事件触发间隔相关下界，以此来证明在本文中“Zeno”现象不会发生。

定理3.3考虑具有事件触发控制的切换系统(3-5)，并结合本文设定的事件触发机制(3-6)，则最小事件触发间隔时间τ可由正标量参数󰀵τ>0的下界给󰀵出，并且󰀵τ=min{τi,τi}。

证明：当满足事件触发条件(3-25)时，其证明过程与上一章相同，在这里省略。而当时间触发规则满足设计的指数项条件

t0=0

tk+1

=inf

{

t∈[0,T)|t>tk,eT(t)Pie(t)≥ρe−αt

}

时，由误差方程：

ee˙(t)=Aie(t)−(Ai+BiKi)x(tk)

可得

∥e(t)∥≤∥e˙(t)∥dt

≤∥λmax(Ai)∥∥e(t)∥+∥(Ai+BiKi)x(tk)∥

关于e(t)的解在等式dt∥e(t)∥=a∥e(t)∥+b中包含着，其中a=∥λmax(Ai)∥,b=ba(t−tk)ee

∥(Ai+BiKi)x(tk)∥。设定∥e(tk(e−1)的)∥=0，此时可以得到方程∥e(t)∥=ae

解，结合我们的讨论，我们只需要取它们之间最小的，即可证明存在大于0的最小事件触发时间间隔。

√−αt

ρe|

，那么下一个触发时刻将在∥e(t)∥=δ(t)之后，由于Ai󰀁0，其中δ(t)=λ|min

(Pi)1a󰀵可得τi=aln(bδ(t)+1)>0

󰀁

3.3数值仿真

在本节中，我们给出两个数值仿真例子，来验证结论的有效性。

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

例3.1考虑具有两个子系统的切换系统，其事件触发机制满足(3-6)。

011A1=,B=1101



101,B=A2=211−1方法一：Lyapunov方法

应用定理3.1并求解不等式(3-7)，(3-8)可得



[]3.0687−0.5628P1=−0.56288.7596,K1=−1.0799−2.8853



[]2.45980.7753P2=0.77532.9849,K2=−1.27−1.3850

选取参数η=0.9,β1=0.5,β2=0.7,µ=1.5,ρ=0.1。我们首先计算满足基于模态的切换信号(3-10)，可得τa1≥0.811s,τa2≥0.579s。与此同时，还需要满足算法2.1。最终我们在仿真中取τa1=1.585s,τa2=0.669s。方法二：状态转移矩阵

0.8，通过引理1.4计算可得K1=

选取η=0.16,λ1=1.5，对于子系统1，可以计算出M1=2,κ1=1.1,C1=()

−1−1，即子系统1的平均停留时间

τ1≥1.57s；对于子系统2，给定参数λ2=2,M2=2，通过引理1.4计算得:

()

K2=−1−2,κ2=2,C2=0.8，即子系统2的平均停留时间τ2≥1.67s。

通过仿真，我们分别得到了系统事件触发状态轨迹以及事件触发时间间隔的轨迹图，见图3-1到图3-2。在仿真过程中，我们选取步长为h=0.001，可以发现，以上两种方法系统都能达到渐近稳定。但是，在最终的事件触发间隔轨迹中，我们可以发现在相同的时间段[0,10]s内，采用方法一多的触发次数是20次，但是此时采用状态转移矩阵方法的触发次数是16次。由以上的分析，我们会有这样的疑问：是不是状态转移矩阵方法在同样能达到渐近稳定的情况下需要传输的系统信息更少？答案是否定的，这两种方法各自有自身的优点，要因系统而异，根据不同的系统，选取相应适当的方法。下面我们给出一个例子。

例3.2考虑具有以下两个子系统的切换系统，其事件触发机制满足(3-6)。

010A1=,B=1−2−31

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

108xtk1(t)xtk1(t)108220012345t67100012345t67100.50(t)xtk2(t)0−0.5−1−1.5−2012345t/s6710−0.5xtk2−1−1.5012345t6710(a)Lyapunov方法：τa1=1.585s,τa2=0.669s(b)状态转移矩阵方法：τa1=1.8s,τa2=2s

图3-1触发状态轨迹

10.90.80.70.6δ t/s0.50.40.30.20.10012345t/s6710δ t/s10.90.80.70.60.50.40.30.20.10012345t/s6710(a)Lyapunov方法：τa1=1.585s,τa2=0.669s(b)状态转移矩阵方法：τa1=1.8s,τa2=2s

图3-2事件触发时间间隔

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

0−1A2=5−6

方法一：Lyapunov函数方法



1,B=20





应用定理3.1并求解不等式(3-7)，(3-8)可得



[]0.50700.0725P1=,K1=−2.0638−0.19930.07250.1456



[]0.4933−0.0171P2=−0.01710.1410,K2=−0.71070.0081

选取参数η=0.9,β1=0.5,β2=0.7,µ=1.5,ρ=0.1。我们首先计算满足基于模态的切换信号(3-10)，计算可得τa1≥0.811s,τa2≥0.579s。我们在仿真中取τa1=1.585s,τa2=0.669s。方法二：状态转移矩阵方法

对子系统1给定λ1=2,η=0.72，则可计算得到相应参数

()

κ1=1.7,M1=2.5,K1=−2−1,C1=1.2，那么系统1的平均停=2.125s(；同理对于子系统2，给定λ2=1.5，相应计算)

结果κ2=2,M1=5,K2=−1−1,C2=0，那么系统2的平均停留时间τa2≥

21.5−0留时间τa1≥

1.72−1.2=1.33s。

通过仿真，分别得到了事件触发状态轨迹以及事件触发时间间隔轨迹图，如图3-3到3-4。在仿真过程中，我们选取步长为h=0.001，可以发现，不管是哪一种方法系统仍旧都能达到渐近稳定。但是，在最终的事件触发间隔轨迹中，我们可以发现在相同的时间段[0,10]s内，采用方法一的触发次数是28次，但是此时采用状态转移矩阵方法的触发次数变为33次。

我们可以得出这样的结论：Lyapunov方法与状态转移矩阵方法由于出发点不同，所用的数学工具也不相同，各自有自身的特点。具体采用哪种方法，应根据实际情况而定。

3.4本章小结

本章在上一章的基础上，运用比较原理，结合基于模态的平均停留时间技术和事件触发的方法实现了切换系统全局渐近稳定问题，并给出了基于平

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

10105x(t)x(t)500−5012345t6710−5012345t6710550x(t)x(t)0−5−5−10012345t6710−10012345t6710(a)Lyapunov方法：τa1=1.585s,τa2=0.669s(b)状态转移矩阵方法：τa1=2.5s,τa2=1.5s

图3-3触发状态轨迹

1.51.511δ t/s0.5δ t/s0.50012345t/s67100012345t/s6710(a)Lyapunov方法：τa1=1.585s,τa2=0.669s(b)状态转移矩阵方法：τa1=2.5s,τa2=1.5s

图3-4事件触发时间间隔

第3章基于事件触发方法的切换系统渐近稳定

均停留时间方法的相关推论，设计了可以确保系统基于模态和事件触发机制的切换信号，同时我们还采用通过状态转移矩阵的方法实现事件触发控制下的稳定性。最后用两个仿真实例来验证所得结果的有效性。通过比较，说明针对不同的系统要根据实际情况选择相应的方法。

第4章时间/事件触发切换系统的稳定性

前面两章内容主要研究的是切换系统在事件触发控制下系统的稳定性包含有界稳定和渐近稳定。本章我们仍研究切换系统在触发控制下的问题，但由于实际系统中并不是所有子系统都是稳定的，所以本文考虑了具有不稳定子系统的切换系统稳定性问题。同时在设计触发机制上面，考虑了系统切换的问题。我们提出了时间/事件共同作用触发规则，同时给出了保证系统稳定的切换信号设计。

4.1系统模型与问题描述

考虑如下一类切换系统：

x˙(t)=Aσ(t)x(t)+Bσ(t)u(t)

(4-1)

式中，σ(t):(0,T)→M󰀂{1,···,m}是切换信号，其中m>0是子系统的个数。本文中，当第i个子系统处于激活状态时，切换信号表示为：t∈[tis,tis+1),σ(t)=σi，其中tis代表着切换时刻，x(t)∈Rn是系统的状态，u(t)∈Rm是控制输入，Ai,Bi是系统的常数矩阵，其中Mi=Mis+Miu,i∈{1,···,m}，Mis表示第i个子系统是稳定的；Miu表示第i个子系统是不稳定的。

本章中，基于模态的控制器设计如下：

u(t)=Kσ(t)x(t);

(4-2)

针对时间触发规则，本章提出了较之前不同的策略，即本章同时考虑时间触发和事件触发两种触发规则，接下来我们将分别阐述这两种事件触发机制。

一方面，考虑时间触发机制和状态反馈控制器，此时切换系统为：

x˙(t)=Aσ(t)x(t)+Bσ(t)Kσ(t)x(tk)

=(Aσ(t)+Bσ(t)Kσ(t))x(tk)

另一方面，考虑到事件触发机制，此时切换系统表示为：

ex˙(t)=Aσ(t)x(t)+Bσ(t)u(tk)

Bσ(t)Kσ(t)x(tk)

(4-3)

=Aσ(t)x(t)+

(4-4)

第4章时间/事件触发切换系统的稳定性

对于子系统，不同的触发规则对子系统的影响各不相同。时间触发机制，它与时间间隔有很大关系，决定于我们给出的时间间隔；而事件触发规则与设计的事件相关，通常来讲，会用系统的状态和误差这两个相关信息来设计触发机制。本章仍采用第二、三章类似的触发规则，其事件设计为与状态误差相关的规则。其中，误差相关的定义如下：

e=x(tk)−x(t)

此时，基于事件触发控制的切换系统可以表示为：

x˙(t)=Aix(t)+BiKi(x(t)+e(t))

=(Ai+BiKi)x(t)+BiKie(t)

本章的事件触发机制设计如下：

t0=0,

tk+1

(4-5)

=inf

{

t∈[0,T)|t>

tk,

e(t)Pi,ne(t)≥ηx(t)Pi,nx(t)

∧

Ti=

τ∗a,i

}Li

}

(4-6)

其中，η∈(0,1)是相关参数，Pi,n是一系列正定矩阵，τ∗a,i是基于模态相关的平均停留时间的下界，Li代表的是系统所需分割的基本单元数，Ti表示基本时间单元。此时，存在标量τ>0满足：

tk+1−tk≥τ,∀k∈N

注4.1本章与前两章最大的区别在于所设计的触发规则上，该触发规则一方面取决于系统的相关信息，也就是我们说的事件；另一方面触发机制还与切换系统的切换规则息息相关，那么在实际的切换系统中引入触发控制时，需要以上条件同时满足，此时针对单一模态，我们可以用图4.1进行描

述。换句话说，如果当前时刻满足了事件触发规则，但是tk−t+1k切换系统该时刻并不发生触发，此时用时间触发规则进行判断，直到满足

eeetk+1−tk=Ti。当然，如果条件tk−t+1k≥Ti始终满足，那么此系统可以整个

认为由事件触发控制，由此我们也可以得到，每个子系统的运行时间将总是等于或者大于τ∗a,i，也就是说，如果满足触发规则，则切换信号将自动满足τa,i≥τ∗a,i。

图4-1切换系统事件触发机制下的示意图

第4章时间/事件触发切换系统的稳定性

4.2主要结果及证明

本章在给出主要结果定理4.1之前，将给出以下相关引理4.1-4.4：引理4.1给定标量参数λi>0,0<η<1，考虑系统(4-4)和设计的事件触

发规则，如果存在一系列正定对称矩阵Pi,n>0，满足Φ1i,n<0,Φi,n<0，

∀n=1,2,···,Li,i∈M,其中



He{(Ai+BiKi)TPi,n}+(η−λi)Pi,n+=⋆

Pi,n+1−Pi,n

Φ1i,n



Pi,nBiKi,−Pi,nPi,n+1BiKi,−P

i,n+1

(4-7)

Φ2i,n



He{(Ai+BiKi)TPi,n+1}+(η−λi)Pi,n+1+=⋆

Pi,n+1−Pi,n

(4-8)

那么当子系统i∈Miu时，在事件触发控制时间段t∈[tk,tk+1)内，满足：

Vi(x)≤eλi(t−tk)Vi(x),i∈Miu

证明：

本章选取如下Lyapunov函数：

Vi(x)=xT(t)Pi,n(αn)x(t)

其中Pi,n(αn)=(1−αn)Pi,n+αnPi,n+1并且αn=

e/t

t−tke/t

，其中tkTi

(4-9)

(4-10)

上标表示第k次触

发为事件或者时间触发。对上述Lyapunov函数沿时间求其导数为：

˙i,n(αn)x(t)˙i(x)=xV˙T(t)Pi,n(αn)x(t)+xT(t)Pi,n(αn)x˙(t)+xT(t)P

=xT(t)(Ai+BiKi)TPi,n(αn)x(t)+eT(t)(BiKi)TPi,n(αn)x(t)+xT(t)Pi,n(αn)(Ai+BiKi)x(t)+xT(t)Pi,n(αn)BiKie(t)

Pi,n+1−Pi,nT

+x(t)x(t)

Pi,n+1−Pi,n

=xT[(Ai+BiKi)TPi,n(αn)+Pi,n(αn)(Ai+BiKi)+]x(t)

Ti+2xT(t)Pi,n(αn)BiKie(t)

=xT{(Ai+BiKi)T[(1−αn)Pi,n+αnPi,n+1]+[(1−αn)Pi,n+αnPi,n+1]

Pi,n+1−Pi,n

(Ai+BiKi)+}x(t)+2xT(t)[(1−αn)Pi,n+αnPi,n+1]BiKie(t)

Ti=xT{(1−αn)[(Ai+BiKi)TPi,n+Pi,n(Ai+BiKi)]+αn[(Ai+BiKi)TPi,n+1

第4章时间/事件触发切换系统的稳定性

+Pi,n+1(Ai+BiKi)]+

Pi,n+1−Pi,n

}x(t)Ti

+2xT(t)[(1−αn)Pi,n+αnPi,n+1]BiKie(t)

在事件触发控制时间内对于不稳定的子系统(即i∈Miu)，我们可得：˙i(x)−λiVi(x)V

=xT{(1−αn)[(Ai+BiKi)TPi,n+Pi,n(Ai+BiKi)−λiPi,n]+αn[(Ai+BiKi)TPi,n+1

Pi,n+1−Pi,n

+Pi,n+1(Ai+BiKi−λiPi,n+1)]+}x(t)

Ti+2xT(t)[(1−αn)Pi,n+αnPi,n+1]BiKie(t)≤xT{(1−αn)[(Ai+BiKi)TPi,n+Pi,n(Ai+BiKi)+(η−λi)Pi,n]+αn[(Ai+BiKi)TPi,n+1+Pi,n+1(Ai+BiKi)+(η−λi)Pi,n+1]+

Pi,n+1−Pi,n

}x(t)Ti

+2xT(t)[(1−αn)Pi,n+αnPi,n+1]BiKie(t)−eT(t)[(1−αn)Pi,n+αnPi,n+1]e(t)



()x(t)12TT=x(t)e(t){(1−αn)Φi,n+αnΦi,n}e(t)又因为4-7,4-8成立，所以我们有：

˙i(x)≤λiVi(x)V

上式两边同时求积分，即可得到条件4-11，证毕。

󰀁

引理4.2给定标量βi>0,0<η<1，考虑参考系统(4-4)和已设计的事件

触发规则，如果存在一系列正定对称矩阵Pi,n>0，且Φ3i,n<0,Φi,n<0，

∀n=1,2,···,Li,i∈M，其中



He{(Ai+BiKi)TPi,n}+(η+βi)Pi,n+=⋆

Pi,n+1−Pi,n

Φ3i,n



Pi,nBiKi,−Pi,n

Pi,n+1BiKi,−P

i,n+1

(4-11)

Φ4i,n



THe{(A+BK)Pi,n+1}+(η+βi)Pi,n+1+iii=⋆

Pi,n+1−Pi,n

(4-12)

那么当子系统i∈Mis时，事件触发控制时间段t∈[tk,tk+1)内，满足：

Vi(x)≤e−βi(t−tk)Vi(x),i∈Mis

(4-13)

第4章时间/事件触发切换系统的稳定性

证明：

我们仍选用上文提到的Lyapunov函数，在事件触发控制时间内对于稳定的子系统，可得：

˙i(x)+βiVi(x)V

=xT{(1−αn)[(Ai+BiKi)TPi,n+Pi,n(Ai+BiKi)+

Pi,n+1−Pi,n

+βiPi,n]

Pi,n+1−Pi,n

+αn[(Ai+BiKi)TPi,n+1+Pi,n+1(Ai+BiKi)++βiPi,n+1]}x(t)

Ti+2xT(t)[(1−αn)Pi,n+αnPi,n+1]BiKie(t)≤xT{(1−αn)[(Ai+BiKi)TPi,n+Pi,n(Ai+BiKi)+(η+βi)Pi,n]+αn[(Ai+BiKi)TPi,n+1+Pi,n+1(Ai+BiKi)+(η+βi)Pi,n+1]+

Pi,n+1−Pi,n

}x(t)Ti

+2xT(t)[(1−αn)Pi,n+αnPi,n+1]BiKie(t)−eT(t)[(1−αn)Pi,n+αnPi,n+1]e(t)



()x(t)34TT=x(t)e(t){(1−αn)Φi,n+αnΦi,n}e(t)又因为4-11与4-12成立，则：

˙i(x)≤−βiVi(x)V

上式两边同时进行积分，很容易得到4-13，证毕。

󰀁

引理4.3给定标量λi>0，考虑参考系统(4-3)和已设计的时间触发规则，如

果存在一系列正定对称矩阵Pi,n>0，并且Ψ1i,n<0,Ψi,n<0,∀n=1,2,···,Li,i∈

M,其中

Ψ1i,n=He{(Ai+BiKi)Pi,n}+

Pi,n+1−Pi,n

−λiPi,n

(4-14)

Pi,n+1−Pi,n

−λiPi,n+1

那么当子系统i∈Miu时，时间触发控制时间段下t∈[tk,tk+1)，满足：

Ψ1i,n=He{(Ai+BiKi)Pi,n+1}+

(4-15)

Vi(x)≤eλi(t−tk)Vi(x),i∈Miu

(4-16)

证明：对于切换系统位于时间触发控制下，系统(4-3)的Lyapunov函数沿时间求其导数为：

˙i,n(αn)x(t)˙i(x)=xV˙T(t)Pi,n(αn)x(t)+xT(t)Pi,n(αn)x˙(t)+xT(t)P

第4章时间/事件触发切换系统的稳定性

Pi,n+1−Pi,n

=xT(t)[(Ai+BiKi)TPi,n(αn)+Pi,n(αn)(Ai+BiKi)+]x(t)

=x(t)(Ai+BiKi)T[(1−αn)Pi,n+αnPi,n+1]+[(1−αn)Pi,n+αnPi,n+1]

}

Pi,n+1−Pi,n

x(t)(Ai+BiKi)+

Ti对于引理4.3余下的证明与引理4.1相类似，可得：

˙i(x)≤λiVi(x)V

(4-17)

󰀁

引理4.4给定标量βi>0，考虑参考系统(4-3)和已设计的时间触发规则，如

果存在一系列正定对称矩阵Pi,n>0，并且Ψ3i,n<0,Ψi,n<0,∀n=1,2,···,Li,i∈

M,其中

Ψ3i,n=He{(Ai+BiKi)Pi,n}+

Pi,n+1−Pi,n

+βiPi,n

(4-18)

Pi,n+1−Pi,n

+βiPi,n+1

那么当子系统i∈Mis时，时间触发控制时间段t∈[tk,tk+1)内，满足：

Ψ4i,n=He{(Ai+BiKi)Pi,n+1}+

(4-19)

Vi(x)≤e−βi(t−tk)Vi(x),i∈Mis

(4-20)

证明：引理4.4的证明通过与以上其他引理的证明相类似，很容易得出，这里不再赘述。可得：

˙i(x)≤−βiVi(x)V

(4-21)

󰀁

定理4.1考虑切换系统(4-1)，控制器(4-2)和触发机制(4-6)，给定分割基本单元参数Li,i=1,2,3···,m，如果存在标量参数µ>1,λi>0,βi>0,0<β∗i<βi，一系列正定对称矩阵Pi,n>0,∀n=1,2,···,Li，满足：

1).Φ1i,n<0,Φi,n<0,∀n=1,2,···,Li,i∈M42).Φ3i,n<0,Φi,n<0,∀n=1,2,···,Li,i∈M23).Ψ1i,n<0,Ψi,n<0,∀n=1,2,···,Li,i∈M44).Ψ3i,n<0,Ψi,n<0,∀n=1,2,···,Li,i∈M

5).Pj,0≤µPi,Li,i󰀁j

第4章时间/事件触发切换系统的稳定性

2341234

其中，Φ1i,n,Φi,n,Φi,n,Φi,n,Ψi,n,Ψi,n,Ψi,n,Ψi,n是由引理4.1-4.4所定义，那么闭

环系统(4-3)和(4-4)是指数稳定的。此时基于模态的平均停留时间方法所得到的切换信号满足：

τai≥τ∗ai=

lnµ

,i∈M,k∈N.β∗i

(4-22)

并且切换时间满足：

tusβi−β∗i(4-23)

其中，ts(tus)表示整个系统中稳定子系统（不稳定子系统）的运行时间。证明：由定理4.1中条件5，可得：

+s−

Vj(x(tis+1))≤µVi(x(ti+1))

(4-24)

又由公式(4-17)、(4-21)、(4-24)，在时间(0,t)内，我们有：

s−−βi(t−tm−1)

V(t)≤µV(tm−1)e

s−βi(t−tm−1)−βi(tm−1−tm−2)

≤µV(tme−2)es−βi(t−tm−2)≤µ2V(tm−2)e

)≤µNσ,ie−βi(t−tm−2)···eλi(tk−tk−1))tm−2)V(t0

≤µ

Nσ,0+τt−ts

0a,i

e−βitseλitusV(t0)

通过以上推导以及定理4.1中条件(4-22)可得tusβi−β∗i

∗

(βi−β∗i)ts>(λi+βi)tus

(4-25)

βits−λitus>β∗i(ts+tus)e−(βits−λi(tus)于是，可以导出：

V(t)≤µ

≤µ

Nσ,0+τNσ,0+τt−ts

0a,it−ts0a,i

∗

e−(βits−λitus)V(t0)se−βitV(t0)

∗

≤µ≤e

中，β∗i的取值是(0,βi)。

Nσ,0+τ∗a,i

e−βi(ts+tus)V(0)

V(0)

∗

∗lnµ

Nσ,0lnµ−(βi−τa,i)

(4-26)

lnµ

，其τa,i

由定理4.1中条件(4-23)可得系统是指数收敛的且其收敛速度为β∗i−

󰀁

第4章时间/事件触发切换系统的稳定性

4.3数值仿真

在本节中，将通过一个数值仿真来说明我们所得结果的有效性。考虑如下具有两个子系统的切换系统，系统参数为：



1010,A=A1=2,0−101

01B1=,B=210,

通过对系统进行计算，可知子系统1是不可控的，子系统2经过极点配置后达到稳定，其中反馈矩阵为：[][]K1=0−2,K2=−20,

10x1(t)x(t)2 86x(t)420−2 0510t/s1520图4-2系统的状态轨迹

对于系统的稳定性问题，为了简便起见取λ1=λ2=1.6,β1=β2=

∗∗

0.8,µ=1.5，则β∗1=β2=0.6,τa,i=0.675s此时取T1=T2=0.3375s，根据定

理4.1，可求得如下可行解：

0.2763P11=0.10960.3781P21=0.0694



0.10960.2012,P=120.08420.39070.06940.2747,P=220.07430.3907

0.0842,0.28300.0743,0.2830

第4章时间/事件触发切换系统的稳定性

0.41680.0032P13=0.00320.0951

0.08330.0012,P=230.00120.0951



,

7xtk1(t)63xtk(t)210−1−2 0xtk2(t) 510t/s1520图4-3系统的触发机制下状态轨迹

2.521.5δ t10.500510t/s1520图4-4触发时刻图

根据条件(4-22)知，对于任何平均停留时间满足τa,1≥τ∗a,1=0.675s，τa,2≥τ∗a,2=0.675s的切换信号σ(t)而言，切换系统(4-1)在触发规则(4-6)下是渐近稳定的。图4-2描述了切换系统(4-1)在[0,25)s内的状态轨迹，其中子系统1的平均停留时间τa1=2s，子系统2的平均停留时间τa2=2s。从图中可以看出此系统既有不稳定部分也有稳定部分存在。图4-3表示在触发机制

第4章时间/事件触发切换系统的稳定性

作用下系统的状态xtk的轨迹，从图中可以看出此系统是稳定的。最后我们给出了触发时刻的示意图4-4。

4.4本章小节

本部分主要探讨了当切换系统中存在不稳定子系统时，用时间/事件触发方法来研究其稳定性问题，设计了由时间/事件触发共同构成的触发机制，在与模态相关的平均停留时间方法的基础上，建立了保证系统渐近稳定的充分条件，并给出了设计的切换信号。

第5章结论与展望

5.1结论

国内外控制界以切换系统这一类重要的数学模型来研究混杂系统。近年来，关于它的的研究已经获得了广泛的重视并且取得丰硕的成果。另一方面，在网络迅猛发展的现代，信息的计算与传输受限是普遍存在的问题，其会使系统的稳定性和性能受到影响，因此成为众多学者研究的热点。对于存在上述受限的复杂系统，描述这个复杂系统的各个子系统之间按照某种规则相互切换、相互影响；单个子系统之间按照某种触发机制提取传输信息，共同决定整个系统的动态行为，我们称之为事件/时间触发切换系统。本文基于事件/时间触发控制就切换系统的稳定性问题进行了分析与综合，主要的工作如下：

1.针对线性切换系统，结合多Lyapunov方法和基于模态的平均停留时间方法，研究了线性切换系统的最终有界性，得到了相关充分条件——保证系统最终有界性，并给出了与时间触发机制相关的切换信号。其特点在于切换信号一方面基于模态信息，另一方面基于事件触发时刻。最后给出了数值仿真，验证了所得结果的有效性。

2.对于实际的系统，我们不仅关注系统最终是否有界，还关心系统能否最终达到渐近稳定，因此第三章就事件触发线性切换系统的渐近稳定性问题进行了研究。设计了事件触发规则，基于比较原理，建立了保证系统稳定的充分条件。与此同时，采用了状态转移矩阵方法，并得到了保证系统稳定性的充分条件。最后，两个仿真例子验证了所得结果的有效性，并就两种方法进行了比较。

3.第四章主要研究了在事件触发和时间触发控制的共同作用下，切换系统的稳定性问题。本文设计了新的事件/时间触发机制，通过采用基本时间单元方法，利用与子系统相关的平均停留时间，分析了切换系统稳定性。在本文提出的事件/时间触发规则下，与模态信息相关的切换信号部分自动满足，以上两部分信息共同构成了本文的切换信号。

第5章结论与展望

5.2展望

本文主要分析了几类事件触发机制作用下切换系统的稳定性问题，通过对本文研究工作的总结与思考，发现还有许多问题亟待解决，对未来的工作有以下展望：

1.从研究的系统来看，本文针对的是线性切换系统，而实际系统大都是非线性的，并且在现实的切换系统中，脉冲和切换同时存在，另一方面，本文主要研究了系统的稳定性问题，并没有涉及到有限时间有界控制等问题，因此，我们需要认真考虑这些工作。

2.从理论研究方法来看，本文通过建立Lyapunov函数以及相关事件/时间触发机制都有一定的保守性，随着学者对结果的不断完善，这些方法所能够改善的结果也是有限的，需要找到一些新的处理方法来进一步降低结果的保守性和实用性。

3.从实践工程上来看，通过理论分析所得到的能够保证系统稳定的充分条件，在实际系统应用中存在诸多困难。目前，绝大多数结果是通过数值仿真的方法进行验证的，因此，如何将系统理论与实际应用真正的结合还需要进一步研究。

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