初中数学竞赛知识点归纳

初中数学竞赛知识点归纳

一、数的整除（一）

如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.

一些数的整除特征 除 数 2或5 4或25 3或9 11 7,11,13 能被整除的数的特征 末位数能被2或5整除 末两位数能被4或25整除 各位上的数字和被3或9整除(如771，324) 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 (如143,1859,1287,908270等) 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等) 8或125 末三位数能被8或125整除 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）

又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）

又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）

二、倍数.约数

1 两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。

2 因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。

3 整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。

4 整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。

5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。

6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。

7 在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数 若用字母表示可记作： A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除

例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除。

三、质数.合数

1正整数的一种分类：

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。

合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正

整数叫做合数。

2根椐质数定义可知

① 质数只有1和本身两个正约数， ② 质数中只有一个偶数2

如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2， 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，

3任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。

四、零的特性

一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。 零是自然数，是整数，是偶数。

1， 零是表示具有相反意义的量的基准数。

例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高

收支衡可记作结存0元。

2， 零是判定正、负数的界限。

若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a＞0 记作 a＞0  a是正数 读作a＞0等价于a是正数 b<0  b 是负数

c≥0  c是非负数（即c不是负数，而是正数或0） d0  d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0) e0  e不是0 （即e不是0，而是负数或正数） 3， 在一切非负数中有一个最小值是0。

例如 绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。 记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，

a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。 4， 在一切非正数中有一个最大值是0。

例如 －|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数）， －（X－2）20，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。 二，零具有独特的运算性质

1， 乘方：零的正整数次幂都是零。

2，除法：零除以任何不等于零的数都得零；

零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。

3， 乘法：零乘以任何数都得零。 即a×0＝0，

反过来 如果 ab=0,那么a、b中至少有一个是0。

要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。

4， 加法 互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 即a、b互为相反数a+b=0

5， 减法 两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定， 若a-b=0,则a=b; 若a-b＞0,则a＞b; 若a-b＜0,则a＜b。 反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a三，在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。

例如 近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下：

1.55近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605

五、an 的个位数

.1. 整数a的正整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8。

2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。

3. 2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表： 底 数 2 3 7 指 数 1 2 3 7 2 4 9 9 3 8 7 3 4 6 1 1 5 2 3 7 6 4 9 9 7 8 7 3 8 6 1 1 9 2 3 7 10 4 9 9 …… …… …… …… 其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现，即24k+1与21，24K＋2＋＋

与22，24K3与23，24K4与24的个位数是相同的（K是正整数）。 3和7也有类似的性质。

4. 4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，

8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。

5. 综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：

＋

a4Km与am的个位数相同(k,m都是正整数)

六、数学符号

数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。

数学符号一般可分为：

1, 元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示园和三角形等。

2, 关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。 3, 运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。 4, 逻辑符号：略

5, 约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a和b中，如果a除以b的商的整数

部份记作Z（

aa），而它的余数记作R（）， 那么 bb3word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

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Z（

1010）＝3，R（）＝1；又如设x表示不大于x的最大整数，那么5.2＝5，5.2332＝－6，＝0，3＝－3。

3正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义） 对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。

在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。

七、用字母表示数

1， 用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字

计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。 2， 用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。 例如①写出数a的倒数 ②用字母表示一切偶数

解：①当a≠0时， a的倒数是

1 a ②设n为整数， 2n可表示所有偶数。

3， 命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且

能使题设有意义。

例题① 化简：⑴｜x －3｜（x<3） ⑵| x+5| 解：⑴∵x<3,∴x－3<0，

∴｜x－3｜＝－（x－3）＝－x＋3 ⑵当x≥－5时，｜x＋5｜＝x＋5，

当x <－5时，｜x＋5｜＝－x－5（本题x 表示所有学过的数） 例② 己知十位上的数是a,个位数是b ,试写出这个两位数

解：这个两位数是10a+b

(本题字母a、b的取值是默认题设有意义,即a 表示1到9的整数，b表示0到9的整数)

4， 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时，一般左边作为题设，所用的字母是使

左边代数式有意义的，所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。 例如用字母表示：①分数的基本性质 ②分数除法法则

解：①分数的基本性质是

bbmbbm(m≠0)， (m≠0) aamaam a作为左边的分母不另说明a≠0，

②

bdbc(d≠0) d在左边是分子到了右边变分母，故另加说明。 acad5， 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式，不仅可从左到右顺用，还可从右到左逆

用；公式可以变形，变形时字母取值范围有变化时应加说明。例如： 乘法分配律，顺用a(b+c)=ab+ac,

116822412(1624)2= 81717171717逆用5a+5b=5(a+b), 6.25×3.14－5.25×3.14=3.14(6.25－5.25)=3.14

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路程S=速度V×时间T， V=

SS(T≠0)， T=(V≠0) TV6， 用因果关系表示的性质、法则，一般不能逆用。

例如：加法的符号法则 如果a>0，b>0， 那么 a+b>0，不可逆

绝对值性质 如果a>0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a则a≥0) 7， 有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。 例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n位数呢？

解：不同的五位数可从最大 五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数，即99999-9999=90000.

推广到n位正整数，则要观察其规律 一位正整数,从1到9共9个， 记作9×1 二位正整数从10到99共90个， 记作9×10

三位正整数从100到999共900个， 记作9×102

四位正整数从1000到9999共9000个， 记作9×103 (指数3=4-1)

…… ……

∴n位正整数共9×10 n-1个

例2 _____________________________________________________

A C D E B

在线段AB上加了3个点C、D、E后，图有几条线段？ 加n点呢？ 解：以A为一端的线段有： AC、AD、AE、AB 共4条 以C为一端的线段有：(除CA外) CD、CE、CB 共3条 以D为一端的线段有：(除DC、DA外) DE、DB 共2条 以E为一端的线段有：(除ED、EC、EA外) EB 共1条 共有线段1+2+3+4=10 (条) 注意：3个点时，是从1加到4， 因此 如果是n个点，则共有线段1+2+3+……+n+1=

1n1n(n2)条 n=

22八、抽屉原则

1， 4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即

等于或多于2个）；如果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即的等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。 2， 如果用mn表示不小于mn的最小整数，例如73＝3，632 。那么抽屉原则可

定义为：m个元素分成n个集合（m、n为正整数m>n）,则至少有一个集合里元素不少

n个。

m的定义，己知m、n可求m； 3， 根据nnm，则可求m的范围，例如己知m＝3，那么2＜m≤3；己知x＝2，己知nn3nn于m则 1＜x≤2，即3＜x≤6，x有最小整数值4

3九、一元一次方程解的讨论

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的

解也叫做根。

例如：方程 2x＋6＝0， x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解 分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。 2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后， 讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=

b； a当a=0且b≠0时，无解；

当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立） 3, 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a｜b时，方程有整数解；

当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解； 当a、b同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b

十、二元一次方程的整数解

1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，

若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法：

若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解

111y1y10y1y=2y (1) , 5551y 设，则y=1-5k (2) , k(k是整数）

5解：x=

把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是方法二，公式法：

x11k2（k是整数）

y15kxx0xx0bk设ax+by=c有整数解则通解是（x0,y0可用观察法）

yyyyak003， 求二元一次方程的正整数解：

① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ② 用观察法直接写出。

十一、二元一次方程组解的讨论

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1． 二元一次方程组a1xb1yc1的解的情况有以下三种：

a2xb2yc2① 当

a1b1c1时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） a2b2c2a1b1c1时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） a2b2c2a1b1（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解： a2b2② 当

③ 当

c1b2c2b1xa1b2a2b1  （这个解可用加减消元法求得） yc2a1c1a2a1b2a2b12． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。

十二、用交集解题

1． 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约

数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。

2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集

例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。 3． 几个集合的交集可用图形形象地表示，

右图中左边的椭圆表示正数集合， 正正整整数右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 数数集集的公共部分，是它们的交集――正整数集。 集不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。 例如不等式组2x6(1)解的集合就是

x2(2)不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3. 如数轴所示： 0 2 3 4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。

有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，得

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 答案。

十三、用枚举法解题

有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： ① 按一定的顺序，有系统地进行；

② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；

③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。

十四、经验归纳法

1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。

通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如 ①由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，……， 归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），

三位数从 100 到 999 共900个（9×102）， 四位数有9×103＝9000个（9×103）， …………

归纳出n 位数共有9×10n-1(个)

③ 由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……

推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。

可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。

2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。

由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）

十五、乘法公式

1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。 公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2

立方和（差）公式：(a±b)(a2ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广：

① 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

② 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）

（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5） …………

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式

（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4 (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 …………

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数

－－－－－

(a+b)(a2n1－a2n2b+a2n3b2－…＋ab2n2－b2n1)=a2n－b2n

－－－

(a+b)(a2n－a2n1b+a2n2b2－…－ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：

－－－－－

（a－b）(an1+an2b+an3b2+…＋abn2+bn1)=an－bn 4. 公式的变形及其逆运算

由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2－2ab

由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时 an－bn能被a－b整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除,

a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

十六、整数的一种分类

1． 余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数， r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。

即：在整数集合中 被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数<除数) 例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1 （∵－1＝5（－1）＋4。 －9＝5（－2）＋1。） 2． 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。

例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。

3． 整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：

m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝ （k为整数） m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝. 或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。 m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝ 或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝， 其中5k－2表示除以5余3。

4． 余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。

举例如下：

①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2） ②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数1×3＝3） ③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 （余数22＝4） 以上等式可叙述为：

① 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。

② 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。

③ 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是

4或9。

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 余数的乘方，包括一切正整数次幂。

如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝） 5． 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。

十七、奇数.偶数

1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被

2整除的整数是奇数，如－1，1，3。

如果n 是整数，那么2n是偶数，2n－1或2n+1是奇数。如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-1是正奇数。

2． 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为：

奇数集奇数 整数 或 整数集合 偶数集偶数 这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。 3． 奇数偶数的运算性质：

奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数 奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数， 两个連续整数的和是奇数，积是偶数。

十八、式的整除

1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这

个整式被另一个整式整除。

2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式， 那么 式的整除的意义可以表示为：

若f(x)＝p(x)×q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除 例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x +1）,

∴x2－3x－4能被（x－4）和（x +1）整除。 显然当 x=4或x=－1时x2－3x－4＝0， 3． 一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，则f(a)=0 反过来也成立，若f(a)=0,则x－a能整除f(x)。 4． 在二次三项式中

若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab

在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。

十九、因式分解

我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法

1． 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x4+x2+1 ②a3+b3+c3－3abc ①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式

解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc) 例2因式分解：①x3－11x+20 ② a5+a+1

① 分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这

里16是完全平方数）

② 解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)

=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)

③ 分析：添上－a2 和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1

=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)

2． 运用因式定理和待定系数法

定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a

⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 例3因式分解：①x3－5x2+9x－6 ②2x3－13x2+3

①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次

因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。

解：∵x=2时，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x －2， ∴x3－5x2+9x－6＝（x －2）（x2－3x+3,）

②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数 ±1，±3得商±1，±2，±可知只有当x=解：∵x=

13，±，再分别以这些商代入原式求值， 221时，原式值为0。故可知有因式2x-1 21时，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式2x－1， 2设2x3－13x2+3＝（2x－1）（x2+ax－3）， （a是待定系数） 比较右边和左边x2的系数得 2a－1＝－13， a=－6 ∴2x3－13x+3＝（2x－1）（x2－6x－3）。

例4因式分解2x2+3xy－9y2+14x－3y+20

解：∵2x2+3xy－9y2＝（2x－3y）(x+3y), 用待定系数法，可设 2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a）（x+3y＋b），a,b是待定的系数， 比较右边和左边的x和y两项 的系数，得 a4a2b14 解得

b53a3b3∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)

又解：原式＝2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20) 这是关于x的二次三项式 常数项可分解为－（3y－4）（3y+5）,用待定系数法，可设 2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］ 比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1 ∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)

二十、代数恒等式的证明

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。

具体证法一般有如下几种

1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论

的形式。

2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。

3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。 4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，

二十一、比较大小

1． 比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不

等式的性质：

当a－b＞0时，a＞b； 当a－b＝0时，a=b； 当a－b＜0时a＜b。 2． 通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。 3． 需要讨论的可借助数轴，按零点分区。

4． 实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a是实

数，则a2≥0，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如

(a－b)2≥0， a2+1＞0， a2+a+1=(a+

123)+＞0 24－a2≤0， －（a2+a+2）＜0 当a≠b时，－（a－b）2＜0

二十二、分式

1． 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。 (1)分式

A中，当B≠0时有意义；当A、B同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。B分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。

A都是整数，那么A是B的倍数，B是A的约数。 BA(3)一切有理数可用来表示，其中A是整数，B是正整数，且A、B互质。

B(2)若A、B及

2． 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。

二十三、递推公式

1.先看一例：a1=b,a2=

222,a3=…… an+1=a1a2an这里a1,a2,a3……an,an+1是对应于正整数1，

2，3……n,n+1 的有序的一列数（右下标的数字表示第几项），这一列数只要给出某一项数

值，就可以推出其他各项数值。

例如: 若 a1=10, 则a2=

211=,a3=10,a4=,a5=10……

51052. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式，这可用经验归纳法。 例

如：把递推公式an+1=an+5改为用a1 和n来表示

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 ∵a2=a1+5, ∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+2×5， a4=a3+5=(a1+2×5)+5=a1+3×5 …… ∴an=a1+(n-1)5

如果 已知a1=10, 求a20,显然代入这一公式方便。A20=10+19×5=105

3.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。

二十四、连续正整数的性质

一.两个连续正整数

1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。

2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。 3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。

4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40， 111＝55＋56。 二.计算连续正整数的个数 例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是 99999－10000＋1＝90000（个）

1. n位数的个数一般可表示为 9×10n-1(n为正整数，100＝1) 例如一位正整数从1到9共9个（9×100），

二位数从10到99共90个 （9×101）

三位数从100到999共900个（9×102）…… 2.连续正整数从n 到m的个 数是 m－n+1

把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：

49－13＋1＝19 248－14从13到49的连续偶数的个数是＋1＝18

248－1. 从13到49能被3整除的正整数的个数是＋1＝12

349－13从13到49的正整数中除以3余1的个数是＋1＝13

33. 从13到49的连续奇数的个数是你能从中找到计算规律吗？ 三.计算连续正整数的和

n （n是正整数） 2ba1 连续正整数从a到b的和 记作(a+b)

21. 1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）

把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下： 2. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×

个）

3. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×

数的个数共

2355－11＝759 （∵从11到55有奇数＋1＝232215＝480 （∵从11到53正整数中除以3余2的253－11＋1＝15） 3四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和

1. 9各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 ＝9×5＝45

2. 1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98）， （2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1

∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901 五. 连续正整数的积

从1开始的n个正整数的积1×2×3×…×n记作n！，读作n的阶乘 1. n个连续正整数的积能被n！整除，

如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；

a（a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。 2. n！含某因质数的个数。举例如下：

① 1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个

其中2，4，6，8，10都含质因数2 暂各计1个，共5个 其中4＝22 含两个质因数2 增加了1个 其中8＝23 含三个质因数2 再增加2个

② 1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法

5，10，15，…125，130 均含质因数5 暂各计1个，共26个 其中25，50，75，100均含52有两个5 各加1个， 共4个

其中125＝53含三个5 再增加2个 ∴积中含质因数5的个数是32

二十五、十进制的记数法

1. 十进制的记数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10

的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：

100=1(个位数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)， 102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1位上的数) 例如307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100 2. 十进制的n位数(n为正整数)，a1a2a3an 记作：

n10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an

其中最高位a1≠0，即0例如∵999=1000－1＝103－1，9999＝104－1，∴9999＝10n-1 n个910n110n1510n1，333，555 1111＝3＝5＝939n个1n个5n个34 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上

的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论

二十六、选择题解法（一）

1. 选择题有多种类，这里只研究有唯一答案的选择题解法。

2. 对“有唯一答案”的选择题解答，一般从两方面思考：直接选择正确的答案或逐一淘汰

错误的选择项。

3. 判断的根据有：运用概念辨析，借助图形判别，直接推理演算，列举反例否定，代入特

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 殊值验证等等。 4. 必须注意：

① 先易后难，寻找突破口。

② 否定选择项，只要有一个反例。

③ 对涉及数值（包括比较大小）的选择题，可考虑用符合条件的特殊值代入判断，包

括利用连续数，奇偶数，平方数，个位数等特征。

④ 概念辨析要注意类同概念的差异，特殊点的取舍，凡分区讨论字母的取值，要做到

既不违漏又不重复。

⑤ 能借助图形判别的，应按比例画出草图。

二十七、识图

1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。

2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。

3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像

点：只表示位置，没有大小，不可再分。

线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。 面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。

4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。

识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。

二十八、三角形的边角性质

三角形边角性质主要的有：

1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线

段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下：

abca,b,c是△ABC的边长bcaab＜cab

cab推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和

2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180；任意一个外角等于和它不相邻的两个

内角和。

推广到任意多边形：四边形内角和=2×180， 五边形内角和=3×180

六边形内角和=4×180 n边形内角和=(n－2) 180

3. 边与角的关系

① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；

大边对大角，大角对大边。

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 ② 在直角三角形中，

△ABC中∠C=Rt∠a2b2c2(勾股定理及逆定理)

CRta：b：c=1：3：2 △ABC中A30CRt a：b：c=1：1：2 △ABC中A45二十九、概念的定义

1. 概念是反映事物本质属性的思维形态。概念是用词(或符号)表现出来的。例如：水果，

人，上午，方程，直线，三角形 ，平行，相等以及符号=≌，∥，⊥等等都是概念。 2. 概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。例如水果这一概念指的是桃，

李，苹果，…… 这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜)。

人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活， 3. 正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。

4. 理解概念就是对名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面：

① 明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵； ② 明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。

例如“代数式”这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式――单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。

又如“三角形”的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。

就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。 一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。 5. 概念的定义就是用语句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。

数学概念的基本定义方式是种属定义法。

在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫种概念，（如三角形），外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形） 种属定义法可表示为： 被定义的概念＝种概念＋类征（或叫属差）

例如： 方 程＝等 式＋含未知数 又如： 无理数＝小 数＋无限不循环

或 无理数＝无限小数＋不循环

再如 等腰三角形＝三角形＋有两条边相等

6. 基本概念（即原始概念）是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上位概

念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。如点，线，集合等都是基本概念。

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 不定义的基本概念一般用描述法，揭示它的本质属性。

例如：几何中的“点”是这样描述的：线与线相交于点。点只表示位置，没有大小，不可再分。“直线”我们用“拉紧的线”和“纸张的折痕”来描述它的“直”，再用“直线是向两方无限延伸的”以说明它的“无限长”的本质属性。

有了点和直线的概念，才能顺利地定义射线，线段，角，三角形等。

7. 概念的定义也可用外延法。即列举概念的全部外延，以揭示概念的内涵。 例如：单项式和多项式统称整式；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形等都是外延定义法。

对同一个概念有时可用几种不同的定义法。例如：“有理数”可定义为

① 有限小数和无限循环小数叫做有理数。②整数和分数统称有理数。

前者是用上位概念“小数”加上类征“有限，无限循环”来定义下位概念的，这是种属定义法；后者是用下位概念的“整数”、“分数”来定义上位概念的，它是外延法。 8. 正确的概念定义，要遵守几条规则。

①不能循环定义。例如周角的360分之1叫做1度的角（对），360度的角叫做周角（错，这是循环定义）

② 定义概念的外延与被定义的概念的外延必须一致。例如若用“无限小数叫做无理数”来

定义无理数就不对了，因为“无限小数”的外延比“无理数”的外延宽。 ③ 定义用语要简单明确，不要含混不清。 ④ 一般不用否定语句或比喻方法定义。

9. 定义可以反叙。一般地，定义既是判定又是性质。

例如：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。这里“等腰三角形“是被定义的概念，而“有两边相等的三角形”是用来定义的概念，这两个概念的外延是相等的，所以两者可易位，即定义可反叙。

所以由定义可得

等腰三角形的判定：如果三角形有两条边相等，那么它是等腰三角形。 等腰三角形的性质：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两条边相等。 10. 数学概念要尽可能地用数学符号表示。

例如：等腰三角形，要结合图形写出两边相等，在△ABC中，AB＝AC 直角三角形，要写出哪个是直角， 在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠ 又如 实数a的绝对值是非负数，记作 a≥0，“≥”读作大于或等于。 11. 运用定题是最本质的解题方法

a(a0)例如：绝对值的定义，可转化为数学式子表示a＝0(a0)

a(a0)含有绝对值符号的所有问题都可以根据其定义，化去绝对值符号后解答。

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x(x1)(x0)如：化简：xx1可等于x(x1)(0x1)

x(x1)(x1)解方程：x1＝2x+1可化为 当x<-1时， －（x+1）=2x+1； 当x≥－1时， x+1=2x+1。 解不等式 1-x＜2 可解两个不等式组：

三十、概念的分类

1. 概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时，按照某一

个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类概念之间的区别与联系。

2. 概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形

可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模m的余数分类。 分别表示如下：

能被4整除能被3整除正整数偶数除以4余1零除以3余1整数整数 整数 整数

奇数除以4余2负整数除以3余2除以4余33. 一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个

类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。

例如 正整数按下列分类是正确的

质数正奇数正整数合数 正整数

正偶数1如果只分为质数和合数，则外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大，因此都不对。

又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 所以三角形按边的大小分类

应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形， 而不能是三类：（不等边，等腰，等边）如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边），所以概念的分类与概念的定义有直接联系。

4. 二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。

不等边三角形相交例如三角形平面内两条直线位置等腰三角形不相交

实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 5. 从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念

与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。

例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形

又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下：

代数式 三角形等腰三角形

有理式 等边三角形

整式

单项6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念（同位概念）。 例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下:

7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。 一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系 可能就有交叉关系的概念。

例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数；

等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形。图示如下:

三十一、勾股定理

勾股定理及逆定理：△ABC中 ∠C＝Rt∠a2＋b2=c2 2. 勾股定理及逆定理的应用

1.

① 作已知线段a的2，3，

5……倍

② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ③ 证明线段的平方关系等。

3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做

一组勾股数.

4. 勾股数的推算公式

① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家17――1853）

任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2是一组勾股数。

k21k21

② 如果k是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。

22

KK③ 如果k是大于2的偶数，那么k, 1,1是一组勾股数。

22④ 如果a,b,c是勾股数，那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。

5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5，

12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。

22三十二、中位线

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，

确定线段的和、差、倍关系。

3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。 4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理

及推论，

①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半

②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

三十三、同一法

1. “同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。

2. 同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。

互逆两个命题一般是不等价的。例如 原命题：福建是中国的一个省 （真命题） 逆命题：中国的一个省是福建 （假命题）

但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如 原命题：中国的首都是北京 （真命题） 逆命题：北京是中国的首都 （真命题）

因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如 原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题） 逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题） 因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。

3. 釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是：

① 作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立） ② 证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）

三十四、反证法

1. 反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题

不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。 2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A→BBA 例如 原命题：对顶角相等 (真命题)

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题) 又如 原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)

逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等 (真命题) 3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤：

① 反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立） ② 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾） ③ 结论 从而得出命题结论正确

例如： 求证两直线平行。用反证法证明时

① 假设这两直线不平行；

② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③从而肯定，非平行不可。

三十五、两种对称

1. 轴对称和中心对称定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另一个图形重

合，那么这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴

把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这点对称，这点叫做对称中心

2. 轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴 一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 3. 性质：①成轴对称或中心对称的两个图形是全等形

②对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点 ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在

对称轴上

4. 常见的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆

等；

中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等

三十六、三点共线

1. 要证明A，B，C三点在同一直线上， A。 B。 C。 常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角

②连结AB，AC证明AB，AC重合

③连结AB，BC，AC证明 AB＋BC＝AC ④连结并延长AB证明延长线经过点C 2. 证明三点共线常用的定理有：

① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 ④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半 ⑤ 两圆相切，切点在连心线上

⑥ 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上

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三十七、不等关系

1. 不等式三个基本性质：

① 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 ② 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 ③ 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成

的一元一次不等式组的解集。 设a>b,不等式组

xa的解集是x>a xbxb的解集是 b① 三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 ② 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。 ③ 在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。

直角三角形中，斜边大于任一直角边。 ④ 有两组边对应相等的两个三角形中

如果这两边的夹角大，那么第三边也大； 如果第三边大，那么它所对的角也大。 ⑤任意多边形的每一边都小于其他各边的和

三十八、平行和垂直

一.证明两直线互相平行常用的定理

① 利用角 同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行。

② 利用第三线 都平行或都垂直于第三线的两直线平行。

③ 利用比例式 △ABC中，如果

ADAEA DBEC 那么DE∥BC D④ 其他 三角形中位线平行于第三边 EB 梯形中位线平行于两底 C 平行四边形对边平行 二.证明两直线互相垂直常用的定理

1. 按垂直定义 即证明两直线相交所成的四个角中，有一个是直角。

直角是180的一半，常见的180有：平角，邻补角，平行线的同旁内角，三角形内角和。 2. 在三角形中证明直角

① 如果一个角等于其他两个角的和，那么这个角是直角。

② 若一边平方等于其他两边的平方和，则这边所对的角是直角。 ③ 若一边中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角。 ④ 等腰三角形顶角平分线（或底边中线）是底边上的高。

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 ⑤ 和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。 3. 菱形对角线互相垂直

三十九、线段、角的相等关系

证明线段、角的相等，在直线形中，最常用的方法是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成的，则要引辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。

构造全等三角形，要充分利用已知条件中的对应相等关系，添引辅助线要有利于增加对应相等的元素，要注意总结辅助线的规律，观察两个三角形全等时的一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）

一. 证明两条线段相等常用的定理

1. 在同一个三角形中，证明等角对等边。 2. 在两个三角形中，证明全等。

3. 在平行线图形中①应用平行四边形的性质

②用平行线等分线段定理 4.运用比例式证明相等：若

xyxy 则x=y；若则x=y

yxaa5.应用等量代换、等式性质

二.证明两个角相等常用的定理

1. 在同一个三角形中，证明等边对等角。 2. 在两个三角形中，证明全等或相似。 3.在平行线图形中

① 用平行四边形的对角相等

② 行线的同位角相等，内错角相等

③ 边分别互相平行（或垂直）的两个锐角（或两个钝角）相等 ④ 角（或等角）的余角（或补角）相等 ⑤ 用等量代换、等式性质

四十、线段、角的和差倍分

证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。

一. 转化为证明相等的一般方法 ㈠通过作图转化

1. 要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法） ⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量 ⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等 2. 要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍 ⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等 ⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等 ㈡应用有关定理转化

1. 三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半 2. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半

3. 直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半 4. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 5. 等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍

6. 三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶1 7. 有关比例线段定理 二. 用代数恒等式的证明

1. 由左证到右或由右证到左

2. 左右两边分别化简为同一个第三式 3. 证明左边减去右边的差为零

4. 由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论

四十一、 线段的比、积、幂

一．有关线段的比、积、幂的主要定理 1. 比例的基本性质：

acadbc 合比，等比定理（略） bd2. 平行线分线段成比例定理（即平行截线定理）的推论

EAADAEIDDE∥BC DE推广到：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例

OBCCBCABBACB11ADBECAB11B1C1 A B a∥b11c1OAOBOaOA1OB1bOBOB1

CB3. A 相似多边形性质：对应线段成比例，面积比等于相似比的平方ABC4. 直角三角形中成比例线段定理（射影定理） 5. 三角形内（外）角平分线性质

AA2在△ABC中 121∠1＝∠2BDAB DCACBDCBCD6. 圆中成比例线段定理（即圆幂定理） 若ABCD四点共圆，

DAB、CD交于P， B则PA×PB＝PC×PD

AP＝PT2 C（PT切圆于T）

7. 三角形、平行四边形面积公式（略） 8.正弦定理：在△ABC中，

TDCBAPabc SinASinBSinC二．要运用相似三角形证明线段的积、幂，一般应把积、幂先化为比例式，然后由它来找相似三角形。有时还要用等线段或等比代换。

四十二、型如的证明

型如

1a1b1c111的证明,通常是证明它的等价命题 abc第一种 转化为线段的比例式

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（1） 可证

mncb, 和两个同分母的分式分别相等，例如,

ppaa 当m+n=p 时等式成立

（2）可证明 c,a,b－c,b 四条线段成比例，关鍵是作出b－c的差 （3）可证明 a+b,a,b,c四条线段成比例，关鍵是作出a+b的和 第二种 转化为线段的乘积式

111bc+ac=ab(4) abc(4) 常用两个图形的面积和等于另一个图形的面积

四十三、面积法

1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。运用面积公式

及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。 2. 面积公式（略）

3. 两个三角形的面积比定理

① 等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比

② 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比 ③ 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方

④ 有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线

段的比（内分比或外分比）。

A如图△ABC和△ADC有公共边AC， A M内分BD 第三顶点连线BD被公共边AC

C内分或外分于点M，

S△ABCBM＝则 S△ADCMDBCMDBMDAM M外分BD 定理④是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比 DA四十四、数的整除（二） DMBBCC第一讲介绍了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.

几个常用的定理，公式，法则：

⑴ n个连续正整数的积能被n！整除.（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）.

例如：a为整数时，2⑵ 若ab　 且a

a(a+1)， 6

(bc).

a(a+1)(a+2), 24a(a+1)(a+2)(a+3)， ……

c, 则 a

c, b

⑶ 若a, b互质，且ac ， 则ab

c， 则a

c . c, b

c.

反过来也成立：a, b互质， ab

例如：8和15互质，8｜a, 15|a， 则120｜a.

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 反过来也成立： 若120｜a. 则 8｜a, 15|a. ⑷由乘法公式（n为正整数）推得：

由(a－b)(an-1+an-2b+……+abn-2+bn-1)=an－bn . 得 (a－b)|(an－bn).

－－

(a+b)(a2n－a2n1b+……ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 . (a+b)|(a2n+1+b2n+1).

－－－－

(a+b)(a2n1－a2n2b+……+ab2n2－b2n1)=a2n－b2n . (a+b)|(a2n－b2n). 概括起来：齐偶数次幂的差式a2n－b2n含有因式a＋b和a－b.

齐奇数次幂的和或差式a2n+1＋b2n+1或a2n+1－b2n+1只分别含有因式a＋b或a－b. 例如（a+b）| (a6－b6), (a－b)| (a8－b8)；

(a+b)|(a5+b5)， (a－b)|(a5－b5).

四十五、一元二次方程的根

1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c的值确定的.

－bb24ac根公式是：x=. (b2－4ac≥0)

2a2. 根的判别式

① 实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是：

b2－4ac≥0.

② 有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是：

b2－4ac是完全平方式方程有有理数根.

③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根p2－4q是整数的平方数. 3. 设x1, x2 是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么

① ax12+bx1+c=0 (a≠0，b2－4ac≥0)， ax22+bx2+c=0 (a≠0， b2－4ac≥0)；

－b＋b24ac－b－b24ac② x1=， x2= (a≠0, b2－4ac≥0)；

2a2a③ 韦达定理：x1+x2= －bc (a≠0, b2－4ac≥0). , x1x2=

aa4. 方程整数根的其他条件

整系数方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数. 特殊的例子有：

C=0x1=0 ， a+b+c=0x1=1 ， a－b+c=0x1=－1.

四十六、完全平方数和完全平方式

一定义

1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.

例如0，1，0.36，

4，121都是完全平方数. 25在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.

2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.

如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如：

在有理数范围 m2, (a+b－2)2, 4x2－12x+9, 144都是完全平方式.

在实数范围 （a+3）2, x2+22x+2, 3也都是完全平方式.

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定

1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.

2. 若n是完全平方数，且能被质数p整除, 则它也能被p2整除.. 若整数m能被q整除，但不能被q2整除, 则m不是完全平方数.

例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数. 三. 完全平方式的性质和判定 在实数范围内

如果 ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0且a>0； 如果 b2－4ac=0且a>0；则ax2+bx+c (a≠0)是完全平方式. 在有理数范围内

当b2－4ac=0且a是有理数的平方时，ax2+bx+c是完全平方式. 四. 完全平方式和完全平方数的关系

1. 完全平方式（ax+b）2 中

当a, b都是有理数时, x取任何有理数，其值都是完全平方数；

当a, b中有一个无理数时，则x只有一些特殊值能使其值为完全平方数.

2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.

所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. 五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1. 在整系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)中

① 若b2－4ac是完全平方数，则方程有有理数根； ② 若方程有有理数根，则b2－4ac是完全平方数. 2. 在整系数方程x2+px+q=0中

① 若p2－4q是整数的平方，则方程有两个整数根； ② 若方程有两个整数根，则p2－4q是整数的平方.

四十七、配方法

1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式

（a±b）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种：

①由a2+b2配上2ab， ②由2 ab配上a2+b2， ③由a2±2ab配上b2. 2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：

① 用完全平方式来因式分解

例如：把x4+4 因式分解.

原式＝x4+4＋4x2－4x2=(x2+2)2－4x2＝…… 这是由a2+b2配上2ab.

② 二次根式化简常用公式：aa，这就需要把被开方数写成完全平方式.

例如：化简526.

我们把5－26写成 2－223＋3

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22＝(2)－223＋(3)

＝（2－3）2.

这是由2 ab配上a2+b2.

③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.

即∵a2≥0， ∴当a=0时， a2的值为0是最小值. 例如：求代数式a2+2a－2 的最值. ∵a2+2a－2= a2+2a+1－3=(a+1)2－3

当a=－1时, a2+2a－2有最小值－3. 这是由a2±2ab配上b2

④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需

要配方.

例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0.

配方的可化为 （x+1）2+(y－2)2=0. 要使等式成立，必须且只需x10.

y20x1解得 

y2此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识

和技巧.

四十八、非负数

1. 非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.

a是非负数，可记作a≥0,读作a大于或等于零，即a不小于零. 2. 初中学过的几种非负数：

⑴实数的绝对值是非负数. 若a是实数，则a≥0.

⑵实数的偶数次幂是非负数. 若a是实数，则a2n≥0（n是正整数）. ⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数. 若a是二次根式，则a≥0， a≥0.

⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立. 若二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 有两个实数根， 则b2－4ac≥0. 若b2－4ac≥0 (a≠0)， 则二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.

⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数. 3. 非负数的性质：

⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.

例如：a2有最小值0（当a=0时）， x1也有最小值0（当x=－1时）.

28word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 ⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零. 若a≥0且－a ≥0， 则a=0；

如果a－b≥0且b－a≥0，那么a－b=0. ⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.

例如：若a，b，x都是实数数，则a2+b2≥0, a×b≥0, a2x≥0. ⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零. 例如 若a1（b＋3）2+2c1=0

a10a10a12 那么(b3)0 即b30 ∴b3

2c10c0.52c10 四十九、对称式

一.定义

1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z任意交换两个后，代数式的值

不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.

例如： 代数式x+y， xy， x3+y3+z3－3xyz, x5+y5+xy,

11， xyxyyzzx. 都是对称式. xyzxyzxyz 其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.

2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z循环变换后代数式的值不变，

则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.

例如：代数式 a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b), 2x2y+2y2z+2z2x,

1111， abcabc（xy+yz+zx）(

111111)， 2. xyzab2c2b2c2a2c2a2b2都是轮换式.

显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式. 二.性质

1. 含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍. 2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，

且系数相等.

例如：在含x, y, z的齐二次对称多项式中，

如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有xy项，则必同时有yz, zx两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为： m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n是常数.

3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 一切同型式，且系数相等.

例如：轮换式a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有因式a－b一项, 必有同型式b－c和 c－a两项.

4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.

例如：∵x+y, xy都是对称式，

∴x+y＋xy， （x+y）xy，

xy等也都是对称式. xy∵xy+yz+zx和

111都是轮换式， xyz∴

111111＋xy+yz+z， （）（xy+yz+z）. 也都是轮换式 xyzxyz五十、基本对称式

1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y和xy是两个变量x, y的基本对称式.

2. 含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.

例如x2+y2, x3+y3, (2x－5)(2y－5), －

22yx

……都是含两个变量，

xy3x3y的对称式，它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示：

x2+y2＝（x+y）2－2xy， x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，

(2x－5)(2y－5)＝4xy－10(x+y)+25, －

22（2xy)=－, 3x3y3xyyxy2x2(xy)22xy==.

xyxyxy

3. 设x+y=m, xy=n.

则x2+y2＝（x+y）2－2xy＝m2－2n；

x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)=m3－3mn； x4+y4＝（x2+y2）2－2x2y2＝m4－4m2n+2n2；

x5+y5＝（x2+y2）(x3+y3)－x2y2(x+y)=m5－5m3n+5mn2； ………

一般地，xn+yn(n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：

－－

xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)－xy(xk1+yk1) (k 为正整数).

含x, y的对称式，x+y, xy这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.

五十一、待定系数法

1. 多项式恒等的定义：设f(x) 和g(x)是含相同变量x的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两

个多项式恒等.就是说x在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式. 例如：

（x+3）2=x2+6x+9, 5x2－6x+1=(5x－1)(x－1), x3－39x－70=(x+2)(x+5)(x－7). 都是恒等式.

根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值. 例如：

已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x－2). 求：①a+b+c ； ②a－b+c.

解：①以x=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c＝－4. ②以x=－1，代入等式的左右两边，得a－b+c＝0.

2. 恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.

－－

即 如果 a0xn+a1xn1+……+an－1x+an= b0xn+b1xn1+……+bn－1x+bn

那么 a0=b0 ， a1=b1， …… ， an－1=bn－1 ， an=bn. 上例中又解： ∵ax2+bx+c=2x2－2x－4.

∴a=2, b=－2, c=－4.

∴a+b+c＝－4， a－b+c＝0.

3. 待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性

质，确定待定系数的值.

五十二、换元法

1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.

例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.

3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.

5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0.

11)+b(x+)+c=0. 2xx11设x+=y, 那么x2+2= y2－2,

xx两边都除以x2,得a(x2+

原方程可化为ay2+by+c－2=0.

对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.

ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ，这是四次倒数方程.

形如 ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 的方程，其特点是：

与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.

两边都除以x2, 可化为a(x2+

11)－b(x－)+c=0. 2xx11设x－=y, 则x2+2=y2+2,

xx原方程可化为 ay2－by+c+2=0.

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五十三、条件等式的证明

1. 恒等式：如果等式中所含的字母在允许值范围内，用任何实数值代替它，等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式.

4x24例如： ①a+b=b+a， ②(a+b)=a+2ab+b ， ③ x－=(x≠0)，

xx2

2

2

④ (a)2=a (在实数范围内a≥0)， ⑤nan=a(在实数范围内n为正奇数). 都是恒等式.

只含常数的等式是恒等式的特例. 如：3－2=1，

12323.

2. 条件等式：满足一定条件下的等式，称为条件等式. 方程是条件等式，解方程就是

求出能满足等式的条件(未知数的值).

3. 证明条件等式就是在题设的条件下，判断恒等式.

4. 证明条件等式的方法，除和证明恒等式的一般方法(见第20讲)以外，要特别注意如何把已知的条件用上. 一般有以下几种：

① 用已知的条件直接代入(即等量代换).

② 变形后代入(包括把已知变形，或把结论变形). ③ 引入参数后代入(包括换元).

5. 分式，根式在恒等变形时，要注意字母保持允许值的范围不变.

五十四、整数解

1. 求方程或不等式的整数解，就是求适合等式或不等式的未知数的整数值，包括判断无整数解.

2. 求整数解常用的性质、法则： ①.数的运.算性质：

整数＋整数＝整数， 整数－整数＝整数，

整数×整数＝整数， 整数的自然数次幂＝整数, 整数÷（这个整数的约数）＝整数.

②.整系数的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)只有当b2－4ac是完全平方数时，才有整数根. 有时用韦达定理x1+x2与x1x1 都是整数，来确定整数解，但必须检验（因为它们只是整数解必要条件）.

③.运用二元一次方程求整数解（见第10讲）. ④.用列举法.

3. 判定方程或不等式没有整数解，常用反证法.即设有整数解之后，把整数按某一模m分类，逐一推出矛盾.

五十五、未知数比方程个数多的方程组解法

在一般情况下，解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组，所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数.

解这类方程或方程组，一般有两种情况：

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几个未知数的和(积)等，无需求出所有的解； 二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数. 例如，利用取值范围，非负数的性质等.

五十六、列表法

只要有可能，依题意画个图或列个表给问题以直观的描述，对解题大有好处.因为图表常能把数据的题设和结论之间的相互关系，有条不紊地形象表达出来，特别是纵横关系较多的问题，利用图表，不仅便于思考答题方案，还可以作为答题的步骤. 图解已在枚举法，交集法等处介绍过，本讲主要介绍表解.

使用表解的关键是合理地设计纵横栏目.其前提是正确地理解题意，明确各条件之间的从属、并列、交叉关系.数学逻辑推理有一个最基本的定律，就是排中律，即“不是真，必为假”，“不是假，便是真”，列表推理就是把诸多数据按题目条件，逐一填入表中，当发现与题设矛盾时就排除，在排除淘汰的基础上，推出满足所有条件的结论.

五十七、逆推法

1. 如果把探求问题的常规方法叫做顺向推理，那么与习惯方法相反的逆向推理方法，就可以叫做逆推法.顺与逆是相对而言，没有绝对的界限.

2. 逆向推理包括了公式、法则、定义 、定理的逆向应用. 例如：

① 乘法公式的逆向应用之一，就是因式分解. 还有其他变形的应用，如：

(x+y)2=x2+xy+y2，以x, y的基本对称式，表示x, y的平方和、立方和(差)： x2+y2=(x+y)2－2xy ， x3+y3=(x+y)3－3xy(x+y).

② 分数的加减法则的逆向应用，可把一个分数(或整数)化为几个分数的和(差)：

1=

111ab， . n(n1)nn1abab③ “互为相反数相加得零”的逆向应用：0=a+(－a).

在因式分解中折项，添项，配方都用到它，在证明恒等式或化简、计算中也常用它. ④ 公式的逆向应用要注意公式成立的前提.例如：

a(a0)的逆向应用是： a2aa(a0)当a≥0时，a=a2；当a<0 时,a= －a2； 如 x⑤ 因为定义可以反叙，所以定义既是判定又是性质. 例如：

相似多边形的定义：

对应边成比例相似多边形.

对应角相等方程解的定义：若m 是方程ax2+bx+c=0的解，则 am2+bm+c=0；

反过来，若an2+bn+c=0,则n是方程ax2+bx+c=0的解.

⑥ 对于定理的逆用，当然要先判断定理的逆命题为真.

一个定理的题设和结论不只一项时，交换题设和结论中的一项，就组成一个逆命题，故逆命题有多个，有真，有假.

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 一般地，若题设和结论都是唯一对象的定理，它有逆定理； 对于分段式的定理也有逆定理.

3. 解答数学题通常是：在顺向推理有困难时用反向推理；在正面探求有困难时用反面探求；直接解答有困难时用简接解答.顺、逆两种方法都能熟练掌握，灵活应用，那么解题能力就能较大地提高.

五十八、观察法

数学题可以猜测它的结论（包括经验归纳法），但都要经过严谨的论证，才能确定是否正确.

观察是思维的起点，直觉是正确思维的基础. 观察法解题就是用清晰的概念，直觉的思维，根据题型的特点，得出题解或猜测其结论，再加以论证.

敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握.

例如：用观察法写出方程的解，必须明确方程的解的定义，掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时，必有一个解是1；而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时，则有一个根是－1；n次方程有n个根，这样才能判断是否已求出全部的根，当根的个数超过方程次数时，可判定它是恒等式.

对题型的特点的观察一般是注意已知数据，式子或图形的特征，分析题设与结论，已知与未知这间的联系，再联想学过的定理，公式，类比所做过的题型，试验以简单的特例推导一般的结论，并探求特殊的解法.

选择题和填空题可不写解题步骤，用观察法解答更能显出优势

五十九、“或者”与“并且”

1.“或者”与“并且”的词义是清楚的，区别也是明显的. 例如：

① 正整数a是3或5的倍数，那么a=3, 5, 6, 9, 10, 12, 15……；

如果正整数b是3的倍数且是5的倍数，那么b=15，30，45，60，……. 在正整数中，设3的倍数的集合为P，5的倍数集合为Q，那么 ： a 是P和Q两个集合中的所有元素，而b是这两个集合中的公共元素. ② x2，是方程x+y=1的一个解. 这里的大括号表示“并且”即当

y1.x=2并且y=－1时，等式x+y=1成立.

x2，等价于x=2并且y=－1. y1.记作

x2 x=2并且y=－1. y1x=2, x=－2是方程x2－4=0 的两个解. 即当x=2或者x=－2时，等式x2－4=0成立. x=2或x=－2 可记作 x=±2 . 即 x=±2 x=2或x=－2.

2. 用“或者”与“并且”表示命题的等价命题.

①.x≥4x>4或x=4.

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②.－4－4且x<4x4，x4.

③.x ≠2x<2或x<2

④.x≠±2x≠2且x≠－2x2x2 x<－2 或－2< x<2 或x>2 (实数x记在数轴上)如图：

－2 0 2

3. 判断带有“或者”词义的命题的真假：

第一种，命题结论带有“或者”的. 例如：

⑤ 命题3≥2，读作3大于2或等于2，它是真命题. 因为“3大于2”， “3等于2”两个命题，用“或者”连结，只要有一个成立，就是真命题. ⑥命题“如果a=0,那么a2≥0”，也是真命题，因为这个命题等价于： 若a=0, 则a2>0或a2=0，两个结论，用“或者”连结，有一个成立即可. 第二种，命题的题设出现“或者”的. 例如

⑦ 命题“如果a≥0，则a2=0”. 读作如果a=0或a>0, 则a2=0. 它是假命题 为命题的两个题设都使结论成立是不可能的. 这个命题等价于： 若a=0,则a2=0且若a>0，则a2=0. 两个命题要同时成立才是真命题. ⑧ 方程和方程组的解：

方程( x－a)(x－b)=0， 同解于x－a=0或者x－b=0.

方程组xa0，xb0. 同解于x－a=0并且x－b=0.

⑨ 不等式和不等式组的解集：

不等式组xa0，xb0. 等价于x+a>0并且x+b>0.

不等式(x+a)(x+b)>0 等价于xa0，xb0； 或者xa0，xb0.

六十、解三角形

1. 由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.

2. 解直角三角形所根据的定理 (在Rt△ABC中，∠C=Rt∠). ① 边与边的关系： 勾股定理－－－－――c2=a2+b2. ② 角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt∠ ③ 边与角的关系：（锐角三角函数定义）

SinA=

ac， CosA=bc, tanA=ab, CotA=ba. A④ 互余的两个角的三角函数的关系：

Sin(90c－A)= CosA， Cos(90－A)= SinA， btan(90－A)= CotA, Cot(90－A)= tanA.

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因

文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 ⑤ 特殊角的三角函数值：

角A的度数 0 SinA的值 CosA的值 tanA的值 0 1 0 30 45 1 60 90 1 0 不 存 在 0 CotA的值 不 存 在 1 锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.

3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC中)

① 正弦定理：

abc=2R. (R是△ABC外接圆半径). SinASinBSinC② 余弦定理： c2=a2+b2－2abCosC； b2=c2+a2－2ca CosB； a2=c2+b2－2cbCosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系：

Sin(180－A)= sinA， Cos(180－A)= － cosA ， tan(180－A)=－cotA， cotA(180－A)=－tanA. ④ S△ABC＝

111absinC=bcsinA=casinB. 2224. 与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，

方位角等.

六十一、函数的图象

1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵

y坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象.

l例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线l. ① l 上的任一点p0(x0,y0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y0=kx0+b； P(x,y)② 若y1=kx1+b，则点p1(x1,y1) 在直线l 上.

2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元

ox一次方程kx－y+b=0, 那么直线l就是以这个方程的解为坐标

的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.

二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c是常数，a≠0,b≠0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如：

二元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y=

k(k≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. x3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如：

① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值；

② 由图象的上升，下降反映函数 y是随x的增大而增大(或减小)；

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 ③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应

的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解.

④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公

共解.等等

4. 画函数图象一般是：

①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界.

②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).

③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式.

六十二、绝对值

1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.

a(a0)用式子表示如下：aa(a0)

0(a0)2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答

时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法. 例如： （1）化简 x(x2)

X<0 02 2 解：当x=0, x=2时, x(x2)=0； 当x<0或x>2时, x(x2)=x(x－2)=x2－2x； 当0解：当x<0时，x=－2；

当0≤x≤2时，方程无解； 当x>2时，x=4.

∴原方程的解是：x=－2， x=4.. （3）作函数y=xx2的图象.

解：化去绝对值符号，得y=－2x+2 (x<0)；

y=2 (0≤x≤2) ； y=2x－2 (x>2).

分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=xx2的图象.

3. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法. 例如： ①解方程x3； ②解不等式x3； ③解不等式x＋23.

解：①∵x3的几何意义是：x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，

即3和－3，

∴方程x3的解是x=3, x=－3.

②∵x3的几何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，∴不等式x3的解集是 －3＜x＜3. ③∵x2的零点是x=－2,

∴x＋23的几何意义是：x是数轴上到点（－2）的距离大于3个单位的点所表示的数，

∴x＋23的解集是x<－5或x>1.（如下图）

4. 绝对值的简单性质： --5 -2 0 1 ①绝对值是非负数； ②两个互为相反数，它们的绝对值相等. 根据这些性质，可简化函数的作图步骤. 例如：

（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的

部份，绕x轴向上翻折

作函数图象：①y=x1 ②y=x2x2

（2） 当f（－x）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于纵

轴对称的图象.

例如：y=x2－2x－3的图象，

可先作y=x2+2x－3自变量x<0时的图象（左半图） 再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.

（3） 把y=x的图象向上平移a个单位，所得图象解析式是y=xa； 把y=x的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=x－3. 利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便.

六十三、动态几何的定值

1. 动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系. 用动的观点看几何定理，常可把几个定理归为一类. 例如：

① 梯形的中位线，当梯形的上底逐渐变小，直到长度为零时，则为三角形的中位线； ② 两圆相交，两个公共点关于连心线对称，所以连心线垂直平分公共弦，当两个交点

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 距离逐渐变小，直到两点重合时，则两圆相切，这时切点在连心线上；

③ 相交弦定理由于交点位置、个数的变化，而演变为割线定理，切割线定理，切线长

定理等等.

2. 动态几何的轨迹、极值和定值. 几何图形按一定条件运动，有的几何量随着运动的变化

而有规律变化，这就出现了轨迹和极值问题，而有的量却始终保持不变，这就是定值问题. 例如：

半径等于RA的圆A与半径为RB (RB>RA) 的定圆B内切.那么：

动点A有规律地变化，形成了一条轨迹：以B为圆心，以RB－RA的长为半径的圆. 而A，B两点的距离，却始终保持不变：AB=RB－RA.

若另有一个半径为RC的圆 C与圆B外切，则A，C两点的距离变化有一定的范围： RB+RC－(RB－RA)≤AC≤RB+RC+(RB－RA).

即RC+RA≤AC≤2RB+RC－RA .

所以AC有最大值：2RB+RC－RA ； 且有最小值：RC+RA. 3. 解答动态几何定值问题的方法，一般有两种： 第一种是分两步完成 ：

① 先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示. ② 再证明它能成立.

探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.

第二种是采用综合法，直接写出证明.

六十四、最大最小值

1. 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：

b24acb2①配方法：原函数可化为y=a(x+)+.

4a2a∵在实数范围内(x+

b2

)≥0， 2a4acb2b∴若a>0时，当x=－ 时， y 最小值=；

4a2a4acb2b若a<0时，当x=－ 时， y 最大值=.

4a2a②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax2+bx+c－y=0.

∵x 在全体实数取值时，

∴ △≥0

即b2－4a(c－y)≥0， 4ay ≥4ac－b2.

4acb24acb2若a>0，y≥，这时取等号，则y 为最小值；

4a4a4acb24acb2若a<0，y≤，这时取等号，则y 为最大值.

4a4a39word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.

2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：

定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.

例如：两正数x和y， 如果x+y=10, 那么xy的积有最大值，最大值是25.

定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.

例如：两正数x和y，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法. 设a>0, b>0, a+b=k . (k为定值).

那么ab=a(k－a)

2k1=－a2+ka=－(a－k)2+.

42k2k当a=时，ab有最大值.

42证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.

设a>0, b>0, ab=k (k为定值)，再设 y=a+b. 那么y=a+

k, a2－ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程） a ∵ a 为正实数，

∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0， y2－4k≥0.

∴y≤－2k(不合题意舍去)； y ≥2k. ∴ y最小值=2k.

解方程组ab2k，abk. 得a=b=k.

∴当a=b=k时，a+b 有最小值 2 k.

3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：

定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相

等时，其和的值最大.

定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.

定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.

六十五、图象法

1. 在第45讲（一元二次方程）中，根据根的判别式和根与系数的关系，介绍了存在实数

根，有理数根，整数根的充分必要条件.

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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 2. 要讨论两个实数根的符号，则可以建立不等式组.方程ax2+bx+c=0中，

① 有两个实数根的充分必要条件是

a0

0

0 cb②有两个正实数根的充要条件是-0(a≠0包含在0之中)

aac0a③有一正一负实数根的充要条件是

c0(a≠0，△>0均已包含在内) ac0a④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是

b0a3. 在较小区间内讨论实数根，则常利用图象来建立不等式组.

4. 一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解，也可借助图象.

六十六、辅助圆

1. 经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以

作一个圆，并且只能作一个圆.

2. 经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理：

① 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义). ② 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上. ③ 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆. ④ 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.

推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径). 3. 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有：

① 同弧所对的圆周角相等.

② 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. ③ 圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系.

A④ 圆中成比例线段定理：相交弦定理 ，切割线定理. 4. 证明 型如ab+cd=m2常用切割线定理

六十七、参数法证平几 O1.联系数量间关系的变数叫做参变数，简称参数.

ED2.有一类平面几何的证明，可以根据图形性质引入参数，布列方程，通过计算来完成，我G们称它为参数法.其关键是正确选定参数和准确的进行计算. C六十八、选择题(二)

BF1. 在第26讲《选择题（一）》中，介绍了“有唯一正确答案”的选择题的解法，内容41word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 着重于代数方面.本讲则将侧重于几何.

几何的选择题大都是判定图形的形状、位置、大小，计算长度、面积、体积以及判定命题的真假等.

2. 解题方法与代数一样，可用直接选择法或逐步淘汰法.

几何的特点是要更多地借助图形，并运用定义、公理、定理、推论等概念进行辨析、推理、演算；利用准确的图形(包括按比例尺放缩)或特殊图形判断；也可以先猜测结论而后验证.

淘汰法就是要举出反例，逐一否定选择项；要注意图形之间的从属关系和并列，互斥关系以便全面分析，正确解答.

六十九、数的整除(三)

在第1讲《数的整除(一)》和44讲《数的整除(二)》中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.

一. 同余的概念 两个整数a和b被同一个正整数m除，所得的余数相同时，称a, b

关于模m 同余.记作a≡b(mod m).

如：8和15除以7同余1，记作8≡15(mod 7), 读作8和15关于模7同余.

∵2003=7×286+1， ∴2003≡1 (mod 7)；

∵－7和6对于模13同余6（余数是非负数） ∴－7≡6（mod 13）；

∵35和0除以5，余数都是0（即都能整除） ∴35≡0（mod 5）. 二. 用同余式判定数的整除

若a≡b(mod m)， 则m|(a－b). 即a－b≡0(mod m)m|(a－b).

例如：11≡25(mod 7)7|(25－11)； 或 7|(11－25). ∵25+35≡2+3≡0 (mod 5)， ∴5|25+35.

三. 同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点)

1. 传递性：

ab(modm)ac(modm).

bc(modm)ab(modm)，acbd(modm)；2. 可加可乘性： cd(modm).acbd(modm).推论 可移性：a≡b+c (mod m)(a－b)≡c(mod m).

可倍性：a≡b(mod m)ka≡kb(mod m) (k为正整数). 可乘方：a≡b(mod m) an≡bn(mod m) (n为正整数). 3. 当d 是a, b, m的正公因数时， a≡b(mod m)abm(mod ). ddd 如：2是20，26，6的正公因数， 20≡26(mod 6)1013(mod 3). 四. 根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m同余.

即至少有两个，其差能被m 整除.

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例如：任给5个数a, b, c, d, e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.

∵除以4的余数只有0，1，2，3四种. ∴5个数除以4至少有两个同余.

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