等比数列常考题型归纳总结很全面

等比数列及其前n项和

教学目标：

1、熟练掌握等比数列定义；通项公式；中项；前n项和；性质。

2、能熟练的使用公式求等比数列的根本量，证明数列是等比数列，解决与等比数列有关的简单问题。 知识回忆： 1．定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。用递推公式

aa表示为nq(n2)或n1q。注意：等比数列的公比和首项都不为零。〔证明数列是

an1an等比数列的关键〕 2．通项公式：

等比数列的通项为：ana1qn1。推广：anamqnm 3．中项：

如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项；其中G2ab。 4．等比数列的前n项和公式

na1(q1)Sna1(1qn)

1q(q1)5．等比数列项的性质

〔1〕在等比数列an中，假设m，n，p，qN且mnpq，那么amanapaq；特别的，假设m，p，qN且2mpq，那么amapaq。 〔2〕除特殊情况外，Sn,S2nSn,S3nS2n,...也成等比数列。q'qn。

〔其中特殊情况是当q=-1且n为偶数时候此时Sn=0，但是当n为奇数是是成立的〕。 4、证明等比数列的方法

2- 优选

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〔1〕证：

an12an1·an1〔n2〕. q〔常数〕；〔2〕证：anan考点分析

考点一：等比数列根本量计算

5a4与2a7的等差中项为，an为等比数列，a2a32a1，S假设且n是它的前n项和。例1、

4求S5。

例2、成等差数列的三项正数的和等于15，且这三个数加上2、5、13后成等比数列bn中的b3,b4,b5。

〔1〕求数列bn的通项公式； 〔2〕求数列bn的前n和为Sn。

练习：1、设an是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。a2a41,S37,那么S5

A．

15313317 B ．C． D．2442

2、在等比数列{an}中，假设a4－a2＝6，a5－a1＝15，那么a3＝________.

3、正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，假设a2＝2，那么该数列的前5项的和为( )

3331

A. B．31 C. D．以上都不正确 124

4、设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．假设S1，S2，S4成等比数列，那么a1的值为________．

- 优选

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15、〔4〕、an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，那么数列an的前5项和为〔〕。

A．

15313115或5 B．或5 C． D．816168

考点二：等比数列性质应用

例2、设Sn为等比数列an的前n项和，3S3a42，3S2a32，那么公比q

A．3 B．4 C．5 D．6

练习：1、在等比数列an中，a20108a2007，那么公比q的值为

A．2 B．3 C．4 D．8

例3、等比数列an满足：a1a611，a3a4〔1〕数列an的通项公式；

〔2〕假设该数列的前n项和Sn21，求n的值。

2练习：1、正项等比数列an满足a3a92a5，a22，那么a1。

32，且公比q0,1 922、等比数列an满足a3a92a5，a22，那么a1。

3、等比数列an满足a12,a518，那么a2a3a4___________。

4、在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，那么a4＋a8＝________. 例4、等比数列an满足an0，nN*，且a3•a74，那么当n1时，

log2a1log2a2log2a3...log2a9.

- 优选

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S1031

例5、等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，假设＝，那么公比q＝________.

S532练习：1、正项等比数列an满足a1a2a35，a7a8a910，那么a4a5a6_______。 2、在等比数列{an}中，假设a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，那么a41a42a43a44＝________. 例6、设等比数列{an}的前n项和为Sn，假设S6∶S3＝1∶2，那么S9∶S3＝________. 练习：1、设等比数列{an}的前n项和为Sn，假设

S6S3，那么9＝________. S3S6考点三：等比数列的证明

例7、〔2017市高三一诊〕数列an满足a12,an12an4。 （1）证明数列an4是等比数列。 （2）求数列an的前n项和Sn。

练习：1、数列an满足a13,an12ann1，数列bn满足bnann。证明数列bn为等比数列。

22、数列an满足an1an2an，数列bn满足bnlg(an1)。证明数列bn为等比数列。

1n1aan,nN*。求证：数列n为等比数列。 3、在数列an中，a1,an122nn

-

优选

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例8、fx(x1)2,gx4(x1)，数列an满足：a12,an1且

（anan1)g(an)f(an)(nN*)。证明：数列an1是等比数列。

练习1、函数f(x)2x1，数列an满足a1t(t2,tR)，an1f(an)(nN) x2〔1〕假设数列an是常数列，求t； 〔2〕当a12时，记bn通项公式。

例9、数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n. (1)设＝an－1，求证：{}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．

练习：1、设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．

2例10、数列an的首项a1，an13an1(nN)，证明：数列bn是等比数列，并求出数列an的an112an*nN，证明：数列1是等比数列。

an1an

-

优选

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小结与拓展： 〔1〕定义法：

an1q〔nN，q是常数〕an是等比数列； an2〔2〕中项法：an1anan2 (nN)an是等差数列。 考点四：等差、等比数列的综合应用 例11、在等差数列an中，a1030,a2050 (1)求数列an的通项公式；

(2)令bn2an10，证明：数列bn为等比数列；

练习：一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。

例12、某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元．该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．

(1)求该企业2014年年底分红后的资金；

(2)求该企业从哪一年开场年底分红后的资金超过32 500万元．

- 优选

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习题15.3

1、在等比数列an中， 〔1〕

a427,q3,求a7；

〔2〕a5a115,a4a26,求a3；

39〔3〕a3,S3,求a1与q。

222、an为等比数列，a32,a2a4

20，求an的通项式。 33、等比数列an满足a3a114a7，数列bn是等差数列满足a7b7那么b5b9 4、设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，那么

A．2B．4C．

1517D． 22S4〔〕 a25、设Sn为等比数列an的前n项和，3S3a42，3S2a32，那么公比q

A．3 B．4 C．5 D．6

6、设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50那么

A．-11B．8C．5D．11

7、设正项等比数列an的前n项和为Sn，a34，a4a5a2212 〔1〕数列an的通项公式；

〔2〕假设该数列的前n项和Sn2101，求n的值。

- 优选

S5 S2. .

8、设Sn为数列an的前n项和，Snkn2n，nN*，其中k是常数。 〔1〕求a1及an；

〔2〕假设对于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值

9、在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.

(1)证明数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn.

10、〔选做题〕数列an，bn满足：a1，an1其中为实数，n为正正数。

2ann4，bn(1)n(an3n21)3〔1〕对任意的实数，证明数列an不是等比数列； 〔2〕试判断数列bn是否是等比数列，并证明你的结论。

- 优选