辽宁省辽阳市2019届高三下学期第二次模拟测试数学(文)试题(解析版)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合A＝{x∈R|0≤x≤4}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∪B＝（ ） A．（1，+∞） 2．（5分）A．

B．[0，+∞）

C．（1，4]

D．[0，1）

﹣1﹣i＝（ ）

B．

C．

D．

3．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（m+1，3m），若⊥，则||＝（ ） A．1

2

B．3 C．3 D．7

4．（5分）抛物线C：y＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（6，y0）是C上一点，|AF|＝2p，则p＝（ ） A．8

B．4

C．2

D．1

5．（5分）已知等比数列{an}的首项为1，且a6+a4＝2（a3+a1），则a1a2a3…a7＝（ ） A．16

B．

3

2

C．128 D．256

6．（5分）若x＝1是函数f（x）＝x+x+ax+1的极值点，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为（ ） A．﹣1

B．1

C．﹣5

D．5

7．（5分）某学生5次考试的成绩（单位：分）分别为85，67，m，80，93，其中m＞0，若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为（ ） A．70

B．75

C．80

D．85

8．（5分）已知某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．2

2

2

C． ），则（ ）

D．

9．（5分）已知函数f（x）＝cosx+sin（x+A．f（x）的最小正周期为π，最小值为

B．f（x）的最小正周期为π，最小值为﹣ C．f（x）的最小正周期为2π，最小值为 D．f（x）的最小正周期为2π，最小值为﹣

10．（5分）已知数列{an}的首项a1＝21，且满足（2n﹣5）an+1＝（2n﹣3）an+4n﹣16n+15，则{an}的最小的一项是（ ） A．a5

B．a6

C．a7

D．a8

＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近

2

11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：

2

2

线与圆（x﹣2）+（y﹣1）＝1相切，则＝（ ） A．

B．

C．，若f（

）+f（

D．

）

12．（5分）已知函数f（x）＝cosx+ln＝1009（a+b）lnπ（a＞0，b＞0），则A．2

B．4

）+…+f（

的最小值为（ ） C．6

D．8

二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上 13．（5分）已知函数f（x）＝

，若f（1）＝a，则f（a）＝ ．

14．（5分）设x，y满足约束条件，z＝x﹣2y的最小值是 ．

15．（5分）已知长方体的外接球的半径为5，且长方体的表面积为156，则这个长方体的所有棱长之和为 ．

16．（5分）某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A，B，C，D，E五部影片于是他们商量一起看其中的一部影片： 小赵说：只要不是B就行；

小张说：B，C，D，E都行；

小李说：我喜欢D，但是只要不是C就行； 小刘说：除了E之外，其他的都可以

据此判断，他们四人可以共同看的影片为 ．

三、解答题本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第17～21题为必考题每道试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分

17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（1）求B；

（2）若b＝1，求△ABC面积的最大值．

18．（12分）从某工厂生产的某种零件中抽取1000个，检测这些零件的性能指标值，由检测结果得到如下频率分布直方图：

（1）求这100零件的性能指标值的样本平均数和样本方差s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）在性能指标值落在区间[115，125），[125，135），[135，145）的三组零件中，用分层抽样的方法抽取158个零件，则性能指标值在[125，135）的零件应抽取多少个？

2

．

19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ACD＝45°，CD＝2，△PAC是边长为

的等边三角形，PA⊥CD．

（1）证明：平面PCD⊥平面ABCD

（2）在线段PB上是否存在一点M，使得PD∥平面MAC？说明理由

20．（12分）设椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，

O为坐标原点，点O到直线AF2的距离为（1）求椭圆C的标准方程；

，△AF1F2为等腰直角三角形．

（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，若直线AM与直线AN的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标． 21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e． （1）求函数f（x）的单调区间和零点；

（2）若f（x）≥ax﹣e恒成立，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为

x+y+a＝0，曲线C的参数方程为

x

（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2）若直线θ＝AB的中点，求a． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f（x）＝|x+a|+|x|．

（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜3的解集；

（2）设关于x的不等式f（x）＜3有解，求a的取值范围．

（ρ∈R）与l的交点为M，与C的交点为A，B，且点M恰好为线段

2019年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【解答】解：集合A＝{x∈R|0≤x≤4}＝[0，4]，B＝{x|x﹣1＞0}＝（1，+∞），则A∪B＝[0，+∞）， 故选：B． 2．【解答】解：故选：C．

3．【解答】解：∵向量＝（2，﹣1），＝（m+1，3m），⊥， ∴

＝2（m+1）﹣3m＝0，解得m＝2，

﹣1﹣i＝

．

∴＝（3，6）， ||＝故选：B．

4．【解答】解：抛物线C：y＝2px（p＞0）的准线方程x＝﹣，点A在C上，|AF|＝2p， 可得：6+＝2p， 解得：p＝4． 故选：B．

5．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a6+a4＝2（a3+a1）， ∴q+q＝2（q+1），解得q＝2． 则a1a2a3…a7＝q故选：C．

6．【解答】解：函数f（x）＝x+x+ax+1，f′（x）＝3x+2x+a，

因为x＝1是函数f（x）的极值点，所以f′（1）＝5+a＝0，得a＝﹣5， f′（x）＝3x+2x﹣5＝（3x+5）（x﹣1）

2

3

2

2

0+1+……+6

5

3

2

32

＝3．

＝q＝2＝128．

217

此时由不等式f′（x）＞0，解得x＞1，x，

），（1，+∞）单调递增，

所以f（x）在区间（﹣，1）单调递减，在区间（﹣∞，x＝1是函数f（x）的极小值点，满足题意，

所以f′（x）＝3x+2x﹣5，所以切点为（0，f（0）），切线斜率k＝﹣5， 故选：C．

7．【解答】解：∵某学生5次考试的成绩（单位：分）分别为85，67，m，80，93，其中m＞0，

该学生在这5次考试中成绩的中位数为80， ∴m≤80，

∴得分的平均数：≤∴得分的平均数不可能为85． 故选：D．

8．【解答】解：根据三视图知该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组合而成的， 画出直观图如图所示，

＝81，

2

则该几何体的体积为

V＝V三棱柱+V三棱锥＝×1×1×3+××1×1×3＝2． 故选：B．

9．【解答】解：∵函数（fx）＝cosx+sin（x+﹣cos（2x+

）＝1+•cos2x+

22

）＝+

），

＝1+cos2x

sin2x＝1+cos（2x﹣

故函数f（x）的最小正周期为故选：A．

＝π，最小值为1﹣＝，

10．【解答】解：由题意，可知： ∵4n﹣16n+15＝（2n﹣3）（2n﹣5），

∴（2n﹣5）an+1＝（2n﹣3）an+（2n﹣3）（2n﹣5）， 等式两边同时除以（2n﹣3）（2n﹣5），可得：

，

可设bn＝

，则

，

2

∴bn+1＝bn+1，即：bn+1﹣bn＝1． ∵b1＝

．

∴数列{bn}是以﹣7为首项，1为公差的等差数列． ∴bn＝﹣7+（n﹣1）×1＝n﹣8，n∈N． ∴an＝（n﹣8）（2n﹣5）＝2n﹣21n+40．

可把an看成关于n的二次函数，则根据二次函数的性质，可知： 当n＝5或n＝6时，an可能取最小值． ∵当n＝5时，a5＝2×5﹣21×5+40＝﹣15， 当n＝6时，a6＝2×6﹣21×6+40＝﹣14． ∴当n＝5时，an取得最小值． 故选：A．

11．【解答】解：双曲线C：即为ax﹣by＝0，

圆（x﹣2）+（y﹣1）＝1的圆心（2，1），半径为1， 由直线和圆相切可得，

2

2

2

2

2

222

2

*

＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，

＝1，

化为a+b＝4a﹣4ab+b， 可得3a＝4b， ∴＝． 故选：B．

12．【解答】解：因为函数f（x）＝cosx+ln

，

所以f（π﹣x）+f（x）＝cos（π﹣x）+cosx+ln设S＝f（所以S＝f（①+②得： 2S＝2018×2lnπ， 所以S＝2018lnπ， 所以f（

）+f（

）+…+f（

）+f（

）+f（

）+…+f（

）+…f（

），①

），②

+ln＝2lnπ，

）＝1009（a+b）lnπ＝2018lnπ，

所以a+b＝2，（a＞0，b＞0）， 则则

＝（a+b）（的最小值为2，

）＝（2+

）

（2+2

）＝2，

故选：A．

二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上 13．【解答】解：∵函数f（x）＝

，f（1）＝a，

∴a＝f（1）＝log4（1+1）＝， f（a）＝f（）＝4﹣＝． 故答案为：．

14．【解答】解：由z＝x﹣2y得y＝x﹣，

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC） 平移直线y＝x﹣，

由图象可知当直线y＝x﹣，过点B时，直线y＝x﹣的截距最大，此时z最小， 由

，解得B（0，2）．

代入目标函数z＝x﹣2y， 得z＝0﹣2＝﹣2

∴目标函数z＝x﹣2y的最小值是﹣2．

故答案为：﹣2．

15．【解答】解：设长方体的长宽高分别为a，b，c，

则长方体的外接球的半径为5，即长方体的体对角线长度为10， ∴

＝2r＝10，即a+b+c＝100．

2

2

2

且长方体的表面积为156，所以2（ab+bc+ac）＝156， 这个长方体的所有棱长之和为4＝4故填：．

16．【解答】解：由题意，

小赵说：只要不是B就行，故排除B； 小张说：B，C，D，E都行，故排除A；

小李说：我喜欢D，但是只要不是C就行，故排除C； 小刘说：除了E之外，其他的都可以，故排除E； 故他们四人可以共同看的影片为：D． 故答案为：D．

三、解答题本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第17～21题为必考题每道试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分

17．【解答】（本题满分为12分）

＝4×16＝，

4（a+b+c）＝4

＝

解：（1）∵．

∴由余弦定理可得：∴可得：∴可得：

＝，…2分

，…3分

sinAcosB＝cosBsinC+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，

，

∴可得：cosB＝∴B＝

．

（2）∵由余弦定理：b＝a+c﹣2accosB，可得：1＝a+c﹣∴1＝a+c﹣可得：ac≤

2

2

22222

ac，…7分

ac≥2ac＝

ac，…9分 ，…10分

，可得△ABC面积的最大值

．…12分

∴S△ABC＝acsinB≤

18．【解答】解：（1）这100零件的性能指标值的样本平均数：

＝100×0.002×10+110×0.009×10+120×0.022×10+130×0.033×10+140×0.024×10+150×0.008×10+160×0.002×10＝130．

样本方差s＝（100﹣130）×0.02+（110﹣130）×0.09+（120﹣130）×0.22+（130﹣130）×0.33+（140﹣130）×0.24+（150﹣130）×0.08+（160﹣130）×0.02＝150． （2）在性能指标值落在区间[115，125），[125，135），[135，145）的三组零件中， 用分层抽样的方法抽取158个零件，

则性能指标值在[125，135）的零件应抽取：158×19．【解答】（1）证明：取CD的中点E，连接PE，AE， ∵∠ACD＝45°，CD＝2，AC＝∴AD＝

，

＝

，

＝66（个）．

2

2

2

2

2

2

2

2

∴△ACD是等腰直角三角形，AD＝AC， ∴AE⊥CD，

又PA⊥CD，PA∩AE＝A，

∴CD⊥平面PAE，又PE⊂平面PAE， ∴CD⊥PE．

∴PE＝

2

2

2

＝1，又AE＝CD＝1，PA＝，

∴PE+AE＝PA，∴PE⊥AE，

又AE⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，CD∩AE＝E， ∴PE⊥平面ABCD，又PE⊂平面PCD， ∴平面PCD⊥平面ABCD．

（2）当M为PB的中点时，PD∥平面MAC． 证明：连接BD交AC于O，连接OM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点，又M是PB的中点，

∴OM∥PD，又OM⊂平面MAC，PD⊄平面MAC， ∴PD∥平面MAC．

20．【解答】（1）解：由△AF1F2为等腰直角三角形，得a＝又O到直线AF2的距离为则椭圆C的标准方程为

，∴b＝c＝1，则a＝

；

，

，

（2）证明：当直线l的斜率不存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1＝x2，y2＝﹣y1， 由

，得x1＝1，此时直线方程为x＝1；

当直线l的斜率存在时，设直线l方程：y＝kx+m， 由

，得（1+2k）x+4kmx+2（m﹣1）＝0．

2

2

2

，，

依题意：kAM+kAN＝∵y1＝kx1+m，y2＝kx2+m， ∴

＝2，

＝2，

∴

m＝﹣k+1．

，则

∴直线l方程为：y＝kx+m＝kx﹣k+1＝k（x﹣1）+1，过定点（1，1）． 综上，直线l恒过定点（1，1）．

21．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝（x﹣1）e． ∴f′（x）＝e+（x﹣1）e＝xe， 由f′（x）＝xe＝0时，x＝0，

由f′（x）＞0，得x＞0，∴f（x）的增区间为[0，+∞）， 当f′（x）＜0时，x＜0，∴f（x）的减区间为（﹣∞，0]， 由f（x）＝（x﹣1）e＝0，得x＝1， ∴函数f（x）的零点是x＝1．

（2）∵f（x）≥ax﹣e恒成立，即y＝f（x）的图象恒不在y＝ax﹣e的图象下方， 当它们相切时，设切点（x0，y0）， ∴xe

＝a，且a＝

，联立解得x0＝1，

x

xx

x

x

x

∴a＝e，由图可知0≤a≤e a的取值范围[0，e]

（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程] 22．【解答】解：（1）由由

2

x+y+a＝0得

2

2

ρcosθ+ρsinθ+a＝0；

消去参数θ得x+y﹣2y﹣8＝0，

∴ρ﹣2ρsinθ﹣8＝0． （2）θ＝

的直角坐标方程为y＝

x，

联立得M（﹣a，﹣a），

直线y＝x的参数方程为（t为参数）代入x+（y﹣1）＝9，

22

整理得：t﹣（1+a）t+a+设A，B对应的参数为t1，t2， 则t1+t2＝1+a，

22

﹣8＝0，

因为M为AB的中点，所以t1+t2＝0，∴1+a＝0，∴a＝﹣1 [选修4-5：不等式选讲]

23．【解答】解：（1）当a＝1 时，|x+1|+|x|＜3⇔解得：﹣2＜x＜1，

所以不等式f（x）＜3的解集为（﹣2，1）．

（2）∵f（x）＝|x+a|+|x|≥|x+a﹣x|＝|a|，即f（x）min＝|a|， 又f（x）＜3有解等价于f（x）min＜3，|a|＜3，∴﹣3＜a＜3．

或

或

，

所以a的取值范围是﹣3＜a＜3．