函数的平移伸缩变换口诀之再优化

函数的平移伸缩变换口诀之再优化

关键词：靠近原则，逆向原则。

在教授三角函数yAsin(x)的图象这部分内容的时候碰到的平移、伸缩变换问题，学生频繁出现失误，加减乘除总是放到了本不应该出现的位置。于是我思考着：是否有一个更好地方法，更标准的规则，让学生易记不易错呢？

我们知道，对于函数的平移，有口诀：“左加右减，上加下减。”如：

例1.将函数ysinx图象先向上移1个单位长度，再右移3个单位长度，求所得图象的函数解析式？

ysin(x)13答案：

其实以上平移口诀的前提是：左右是针对x的平移，加或减都在x的附近进行；而上下是针对y的平移，在原函数式的最后进行加减，其实这个数也可以移到y的一侧，直接在y附近加减。也就是说上

y1sin(x)3。 面的式子我们也可以写成：

通过这个式子，我发现了两个平移的规律：

一、靠近原则。

确定变化的位置，针对哪个变量变换，就在那个变量最近的位置上变换。这里我再次强调“最近”两个字。其实就是运算先后的问题。如：

例2.将函数ysin2x的图象左移3个单位长度，求所得图象的函数解析式？

ysin(2x)3。 错解：

错在3并不是离x最近的，因为2离x更近，那么要让2远离，可采用加括号的办法。

ysin2(x)3。 正解：

二、逆向原则。

y1sin(x)3的形式，发现在靠近原则的前提下针对x平移仍然我们看如果把例1的答案写成：

是左加右减；针对y的平移变成了上减下加，与原口诀相反，这都是移项造成的。其实平面直角坐标系中，图象不管是往y轴正方向还是往x轴正方向平移，相应的y、x就要减去相应的数，反之则加上相应的数。我把这一特点称为：“逆向原则”。下面我来证明它的正确性：

将函数yf(x)的图象先向向上移b个单位长度，再左平移a个单位长度。

设P(x0,y0)为函数yf(x)图象上任意一点，它经向上移b个单位长度，再向左平移a个单位长度

x0axx0xay0by(x,y)后变为Q点，则有： 解得：y0yb

又因为P(x0,y0)在函数yf(x)图象上，则有y0f(x0)

代入得：ybf(xa)

所以将函数yf(x)的图象先向上移b个单位长度，再向左平移a个单位长度所得的函数为

ybf(xa)。下移与右移可以类比证明。

综上，平移的规则是：1、靠近原则（注意要最近，也就是能最先计算）；

2、逆向原则（即左加右减，上减下加）

经过不断地实践，我还发现，不仅平移变换服从这两个原则，伸缩变换也是服从的。如：

1例3.将函数ysinx图象纵坐标伸长为原来的3倍。横坐标缩短为原来的2倍，求所得的解析式？

分析：伸缩变换在靠近原则的前提下，逆向原则即是除相应的变化倍数（即乘以相应变化倍数的倒

yxsin113ysin2x2， 即 3数）。原解析式应变为：。

我们习惯写成y3sin2x

由此可见，函数的平移伸缩都服从这两个原则，即

1、靠近原则，（注意要最近，也就是能最先计算）；

2、逆向原则（即平移：左加右减，上减下加；伸缩：函数图象伸长为原来的k倍，相应的变量乘

11以k，函数图象缩短为原来的k倍，相应的变量乘以k）。

我们来看一道高考题，检验我们的两个原则对函数的平移伸缩是否有效：

（2013福建理20）.已知函数f(x)sin(wx)(w0,0)的周期为，图象的一个对称中心为

,04，将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平

移个2单位长度后得到函数g(x)的图象。

（1）求函数f(x)与g(x)的解析式

20,2,0T解：由题周期为T，，又因为函数图象的一个对称中心为4，0。故

f()sin(2)0442。所以f(x)cos2x。 ，解得

将函数f(x)cos2x图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变可得ycosx的图象，再将ycosx的

g(x)cos(x)2，即g(x)sinx 图象向右平移2个单位长度后得到

以上例题是基于三角函数来说明的，但是靠近原则与逆向原则也可以应用到其他类型，函数的平移伸缩当中。这两个原则便于学生缕清平移伸缩变换的本质，进一步认识到图像变换与函数解析式的变换联系。