匀变速直线运动公式推论推导及规律总结

（１）平均速度v=

s t

１．基本公式 （２）加速度a=

vtv0v （１）加速度a=ttt （３）平均速度v=

v0vt1 （２）平均速度v=vt

22 （４）瞬时速度vtv0at （３）瞬时速度vtat

初速度v0=0 （５）位移公式sv0t121at （４）位移公式sat2 22２．导出公式 vvtvt （５）位移公式stt （６）位移公式s0222 （７）重要推论2asvt2v0 （６）重要推论2asvt2

注意：基本公式中（１）式适用于一切变速运动，其余各式只适用于匀变速直线运动。

二.匀变速直线运动的推论及推理

对匀变速直线运动公式作进一步的推论，是掌握基础知识、训练思维、提高能力的一个重要途径，掌握运用的这些推论是解决一些特殊问题的重要手段。

vvt推论1 做匀变速直线运动的物体在中间时刻的即时速度等于这段时间的平均速度，即vtS0

t22 推导：设时间为t，初速v0,末速为vt，加速度为a，根据匀变速直线运动的速度公式vv0at

tvva0t2  vv0vt 2 得： t2t2vvatt22推论2 做匀变速直线运动的物体在一段位移的中点的即时速度vs22v0vt2 2推导：设位移为S，初速v0,末速为vt，加速度为a，根据匀变速直线运动的

S22vv2as022  v2 速度和位移关系公式vt2v02as得：s2v2v22aSts222v0vt2 2推论3 做匀变速直线运动的物体,如果在连续相等的时间间隔t内的位移分别为S1、S2、 S3……Sn，加速度为a,则SS2S1S3S2……SnSn1at2

推导：设开始的速度是v0

12at， 21232 经过第二个时间t后的速度为v22v0at，这段时间内的位移为S2v1tatv0tat

221252 经过第三个时间t后的速度为v23v0at，这段时间内的位移为S3v2tatv0tat

22 经过第一个时间t后的速度为v1v0at，这一段时间内的位移为S1v0t …………………

2 经过第n个时间t后的速度为vnnv0at，这段时间内的位移为Snvn1tatv0t122n12at 2 则SS2S1S3S2……SnSn1at2

点拨：只要是匀加速或匀减速运动，相邻的连续的相同的时间内的位移之差，是一个与加速度a与时间“有关的恒量”．这也提供了一种加速度的测量的方法： 即aS，只要测出相邻的相同时间内的位移之差S和t，就容易测出加速度a。 2t2推论4 初速度为零的匀变速直线运动的位移与所用时间的平方成正比，即t秒内、2t秒内、3t秒内……nt秒内物体的位移之比S1 ：S2 ：S3 ：… ：Sn=1 ：4 ：9… ：n

12at在t秒内、2t秒内、3t秒内……nt 212111222 秒内物体的位移分别为： S1at、S2a(2t)、S3a(3t) ……Sna(nt)

2222推导：已知初速度v00，设加速度为a，根据位移的公式S 则代入得 S1 ：S2 ：S3 ：… ：Sn=1 ：4 ：9… ：n

推论4变形: 前一个s、前二个s、……前n个s的位移所需时间之比：

2t1:t2:t3…:tn=1::

推导：因为初速度为0，所以x=V0t+2=2

S=a

2

, t1= 2S=a

2

t2= 3Sa

2

t3=

t1:t2:t3……:tn==1::……

推论5 初速度为零的匀变速直线运动,从开始运动算起，在连续相等的时间间隔内的位移之比是从1开始的连续奇数比，即S1 ：S2 ：S3 ：… ：Sn=1 ：3 ：5…… ：(2n-1)

推导：连续相同的时间间隔是指运动开始后第1个t、第2个t、第3个t……第n个t，设对应的位移分别为S1、S2、S3、……Sn，则根据位移公式得

12at 2112322 第2个t的位移为S2a(2t)atat

222115222 第3个t的位移为S3a(3t)a(2t)at

222 第1个t的位移为S1……

第n个t的位移为Sn112n12a(nt)2a[(n1)t]2at 222代入可得： S1:S2:S3::Sn1:3:5:(2n1)

推论6 初速度为零的匀变速直线运动,从开始运动算起，物体经过连续相等的位移所用的时间之比为t1：t2 ：

t3…… ：tn =1 ：(21) ：(32)…… ：(nn1)

推导：通过连续相同的位移是指运动开始后，第一个位移S、第二个S、第三个S……第n个S，设对应所有的时间分别为t1、t2、t3tn, 根据公式

第一段位移所用的时间为t1S12at 22S a第二段位移所用的时间为运动了两段位移的时间减去第一段位移所用的时间

t24Sa2S2S (21)aa 同理可得：运动通过第三段位移所用的时间为 t36Sa4S2S

(32)aa 以此类推得到tn2nSa2(n1)S2S (nn1)aa代入可得t1:t2:t3tn1:(21):(32):(nn1)

推论7: 初速度为零的匀加速直线运动第一个s末、第二个s末、……第n个s末的速度之比：

v1:v2::vn1:2:3::n

推导：因为初速度为0，且Vt2-V02=2αx，所以Vt2 =2αx

Vt12=2αs Vt1=Vt22=2α(2s) Vt2=Vt32=2α(3s) Vt3=Vtn2=2α(ns) Vtn=Vt1：Vt2：Vt3：…….Vtn=

:

从以上推导可知解决这些问题主要要理解：连续的时间内、连续相等的时间内、连续相等的位移的含义、要克服存在的思维障碍。

利用匀变速直线运动的推论解题，常可收到化难为易，简捷明快的效果。 三．自由落体运动和竖直上抛运动： （１）平均速度v=

vt 2 （２）瞬时速度vtgt １．自由落体运动1 （３）位移公式s=gt2

2 （４）重要推论2gsvt2

总结：自由落体运动就是初速度v0=0，加速度a=g的匀加速直线运动。 （１）瞬时速度vtv0gt ２．竖直上抛运动 （２）位移公式sv0t12gt 22 （３）重要推论2gsvt2v0

总结：竖直上抛运动就是加速度ag的匀变速直线运动。

作为匀变速直线运动应用的竖直

上抛运动，其处理方法有两种：其一是分段法。

上升阶段看做末速度为零，加速度大小为g的匀减速直线运动;

下降阶段为自由落体运动(初速为零、加速度为g的匀加速直线运动)；

其二是整体法。把竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段看成整个运动的两个过程。整个过程初速为v0、加速度为g的匀减速直线运动。