专题8-数轴穿根法

“数轴穿根法”又称“数轴标根法”

第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）

例如： (x-2)(x-1)(x+1)>0

第二步：将不等号换成等号解出所有根。

例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2

第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。

第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。

例如：

若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。

因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-12。 穿根法的奇过偶不过定律： “奇穿过，偶弹回”。

还有关于分式的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0

专项训练：

1、解不等式(2x1)(x1)(x3)0

解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。

2）因式(2x1)、(x1)、(x3)的根分别是1、1、3。在数轴上把2它们标出（如图1）。

13 x 1

2图1

3）从最大根3的右上方开始，向左依次

穿线（数轴上方有线表示数轴上方有函数

图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实图象）。

4）数轴上方曲线对应的x的取值区间，为(2x1)(x1)(x3)0的解集，数轴下方曲线对应的x的取值区间，为(2x1)(x1)(x3)0的解集。

1不等式(2x1)(x1)(x3)0的解集为(,1)(3,)。

2在上述解题过程中，学生存在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正；为什

1

么从最大根的右上方开始穿线；为什么数轴上方曲线对应的x的集合是大于零不等式的解集，数轴下方曲线对应x的集合是小于零不等式的解集。

2、解不等式(x2)(x1)(x3)0

解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。

2）因式(x2)、(x1)、(x3)的根分别为2、2、3，在数轴上把它们标出（如图2）。

3）从最大根3的右上方开始向左依次穿线，次数为奇数的因式的根一次性穿过，次数为偶数的因式的根穿而不过。

4）数轴上方曲线对应的x的取值区间，为(x2)(x1)(x3)0的解集，数轴下方曲线对应的x的取值范围，为(x2)(x1)(x3)0的解集。 12231223122312231(x2)(x1)2(x3)30的解集为(2,2)(2,3) 2

2 －图2

2 3x

数轴标根法、分式不等式、绝对值不等式

一、数轴标根法解不等式 例1.解下列不等式

1.（x-1）（x-2）(x+3)>0 2. （x-1）（x-2）(x+3)<0

3. （1- x）（x-2）(x+1)0 4.（x- 1）（x-2） (x+1)0

二． 分式不等式

x3思考 （1）0与x3x20解集是否相同，为什么

x2x3（2）0与x3x20解集是否相同，为什么

x2解：方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。 方法2：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。

2

2

3

通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）： （1）

fxfxgx0 0fxgx0 （2）fx0gxgxgx0例2.解下列不等式

1.x30 2.11 3.2x11

x32xx

2xx34.x3x20 5.20 6.0x11

9xx22x3x

三、含绝对值的不等式的解法

|x|>a(a>0)________________ |x|0)________________ 例3:解下列不等式

1. 2x13 2. x1(x1)0

3.|x-2x|>x 2. 4.x1(x1)0

2

巩固练习

23x11. 解不等式2x23x10 2. 解不等式1

3x7x23x

3.不等式2x1x2x1的解集是

x4 .（2012 山东理）若不等式kx42的解集为x1x3，则实数k__________. 5. 解不等式（2x- 1）（x-2） (x+1)0 6. 解不等式（3- x）（x-2）(x+1)0

3

2

7

2

3



不等式解法15种典型例题

典型例题一

32例1 解不等式：（1）2xx15x0；（2）(x4)(x5)(2x)0．

23分析：如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)0（或

f(x)0）

可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：（1）原不等式可化为x(2x5)(x3)0 把方程x(2x5)(x3)0的三个根

5x10,x2,x33顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集

2如下图的阴影部分．∴原不等式解集为

5xx0或x3

2（2）原不等式等价于 (x4)(x5)(x2)0

23x5x50(x4)(x2)0x4或x2 ∴原不等式解集为

xx5或5x4或x2

说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图．

典型例题二

x24x1321 例2 解下列分式不等式：（1）； （2）213x7x2x2x2分析：当分式不等式化为

f(x)0(或0)时，要注意它的等价变形 g(x)f(x)g(x)0f(x)f(x)0f(x)g(x)0； ② ① 0g(x)g(x)0g(x)（1）解：原不等式等价于

3x3x0x2x2x2x24

3(x2)x(x2)x25x600

(x2)(x2)(x2)(x2)(x6)(x1)(x2)(x2)0(x6)(x1) 0(x2)(x2)(x2)(x2)0用“穿根法”

∴原不等式解集为(,2)1,26,。

2x23x10 （2）解法一：原不等式等价于 23x7x2222x3x102x3x1022(2x3x1)(3x7x2)0 2 或23x7x203x7x201111x或x1或x2，∴原不等式解集为(,)(,1)(2,)。

3232解法二：原不等式等价于

(2x1)(x1)0(2x1)(x1)(3x1)(x2)0

(3x1)(x2)用“穿根法”∴原不等式解集为(,)(,1)(2,)

典型例题三

例3 解不等式x24x2

分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义a1312a(a0)；二是根据绝对值的性质：xaaxa,x.axa或

a(a0)22x40x402或2x4x24xx2xa，因此本题有如下两种解法．

解

法

一

：

原

不

等

式

，

即

x2或x22x2或 2xxx2或x1∴2x3或1x2，故原不等式的解集为x1x3． 解法二：原不等式等价于 (x2)x4x2

22x3x4x2故1x3． 即2 ∴x1或x2x4(x2)25

典型例题四

x26x5例4 解不等式0． 2124xx分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x二次式的商，由商的符号法则，它等

22x6x50x6x50价于下列两个不等式组：或，所以，原不等式的解集是

22124xx0124xx0上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．

22,x6x50　x6x50,解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：或

22124xx0124xx0x1,或x5,1x5,(x1)(x5)0,(x1)(x5)0,或或 ；(x2)(x6)0;(x2)(x6)0;2x6x2,或x61x5,或x2或x6．∴原不等式解集是{xx2，或1x5，或x6}．

解法二：原不等式化为

(x1)(x5)0．画数轴，找因式根，分区间，定符号．

(x2)(x6)(x1)(x5)符号

(x2)(x6)∴原不等式解集是{xx2，或1x5，或x6}．

说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．

典型例题五

x22x2x． 例5 解不等式232xx分析：不等式左右两边都是含有x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．

(x2)(x2x1)0． 解：移项整理，将原不等式化为

(x3)(x1)由x2x10恒成立，知原不等式等价于

(x2)0．

(x3)(x1)解之，得原不等式的解集为{x1x2或x3}．

6

说明：此题易出现去分母得x22x2x(32xx2)的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．

典型例题六

例6 设mR，解关于x的不等式m2x22mx30． 分析：进行分类讨论求解．

解：当m0时，因30一定成立，故原不等式的解集为R． 当m0时，原不等式化为(mx3)(mx1)0； 若m0时，解得3113x；若m0时，解得x． mmmm31综上：当m0时，原不等式的解集为xx；

mm13x． 当m0时，原不等式的解集为xmm说明：解不等式时，由于mR，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当

原不等式化为30，此时不等式的解集为R，所以解题时应分m0与m0两m0时，

种情况来讨论．

3131，x2后，认为，这也是易出mmmm3131现的错误之处．这时也应分情况来讨论：当m0时，；当m0时，．

mmmm典型例题七

在解出m2x22mx30的两根为x1例7 解关于x的不等式2axa21x(a0)．

分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．

2axa20,2xa20,解：原不等式(1)1x0,或(2)

1x0.222axa(1x);ax,a2x,由a0，得：(1)x1, (2)2

22x1.x2(a1)xa10;由判别式4(a1)24(a21)8a0，故不等式x22(a1)xa210的解是

a12axa12a．

7

当0a2时，

aa12a1，a12a1，不等式组(1)的解是2a12ax1，不等式组(2)的解是x1．当a2时，不等式组(1)无解，(2)的解是

xa． 2综上可知，当0a2时，原不等式的解集是a12a,；当a2时，原不等

a式的解集是,．

2说明：本题分类讨论标准“0a2，是依据“已知a0及(1)中‘xa2”(2)中‘xa，x1’，2a，x1’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年2高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式

的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式2axa2(1x)．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．

典型例题八

例8 解不等式4x210x33．

分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可． 解答：去掉绝对值号得34x210x33， ∴原不等式等价于不等式组

5x0或x,2x(2x5)034x10x34x10x02 222(x3)(2x1)01x3.4x10x334x10x6022215∴原不等式的解集为xx0或x3．

22说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等

价转化为不等式组，变成求不等式组的解．

典型例题九

例9 解关于x的不等式x2(aa2)xa30．

分析：不等式中含有字母a，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程x2(aa2)xa30的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a，故需比较两根的大小，从而引出讨论．

解：原不等式可化为(xa)(xa2)0．

8

(1)当aa2（即a1或a0）时，不等式的解集为：xxa或xa2； (2)当aa2（即0a1）时，不等式的解集为：xxa2或xa； (3)当aa2（即a0或1）时，不等式的解集为： xxR且xa． 说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根x1a，x2a2，因此不等式的解就是x小于小根或x大于大根．但a与a2两根的大小不能确定，因此需要讨论aa2，

aa2，aa2三种情况．

典型例题十

例10 已知不等式axbxc0的解集是

2xx(0)．求不等式

cx2bxa0的解集．

分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c的正负，然后求出方程

cx2bxa0的两根即可解之．

解：(解法1)由题可判断出，是方程ax2bxc0的两根，

bc，．又ax2bxc0的解集是xx，说明a0． aacba而0，000c0，∴cx2bxa0x2x0．

acc∴11bb,ca cc1(1)(1),aa∴x2111111bax0，即x2()x()()0， 即(x)(x)0．

cc又0，∴

111111，∴(x)(x)0的解集为xx． (解法2)由题意可判断出，是方程ax2bxc0的两根，

c．又ax2bxc0的解集是xx，说明a0． ac而0，000c0．

a∴9

对方程cx2bxa0两边同除以x2得a()2b()c0． 令t∴

1x1x1，该方程即为at2btc0，它的两根为t1，t2， x111111，．∴x1，x2，∴方程cx2bxa0的两根为，．

x1x2∵0，∴

1111．∴不等式cx2bxa0的解集是xx． 说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程

的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式系数a，b，c的关系也用，表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．

典型例题十二

xaxb1的解为(，)(1，)，求a、b的值． 223xx1xx1分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于a、b式子．

1313解：∵x2x1(x)20，x2x1(x)20，

2424例12 若不等式

2ab05a1ab2．2，∴∴原不等式化为(2ab)x(ab)xab0．依题意

2ab33b4ab22ab3说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来

解．

典型例题十三

例13 不等式的解集为x1x2，求a与b的值．

分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为x1x2，不等式

ax2bx20需满足条件a0，0，ax2bx20的两根为x11，x22．

解法一：设ax2bx20的两根为x1，x2，由韦达定理得：

bbxx1212aa 由题意： xx221212aa∴a1，b1，此时满足a0，b24a(2)0．

10

解法二：构造解集为x1x2的一元二次不等式：(x1)(x2)0，即

x2x20，此不等式与原不等式ax2bx20应为同解不等式，故需满足：

ab2 ∴a1，b1． 112说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．

典型例题十四

例14 解关于x的不等式ax2(a1)x10．

分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．

解：分以下情况讨论

(1)当a0时，原不等式变为：x10，∴x1 (2)当a0时，原不等式变为：(ax1)(x1)0 ①

11．

aa1②当a0时，①式变为(x)(x1)0． ②

a11a111∵1，∴当0a1时，1，此时②的解为1x．当a1时，1，aaaaa1此时②的解为x1．

a说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：

①当a0时，①式变为(x)(x1)0，∴不等式的解为x1或xa0a0aR0a1 a0a0a1a1分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论a0时，解一元二次不等式ax2(a1)x10应首选做到将二次项系数变为正数再求解．

典型例题十五

例15 解不等式x23x108x．

分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，

f(x)g(x)可转化为f(x)g(x)或f(x)g(x)，而f(x)g(x)等价于：

11

f(x)0f(x)0或g(x)0． g(x)0f(x)[g(x)]2解：原不等式等价于下面两个不等式组：

8x08x0①2 ②x23x100

2x3x1002x3x10(8x)x8x874由①得，∴x8由②得∴x5或x2 x8，

x5或x21374x13.7474x8或x8，即为xx所以原不等式的解集为x． 1313说明：本题也可以转化为

f(x)g(x)型的不等式求解，注意：

f(x)0， f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]2 这里，设全集U{xx23x100}{xx2或x5}，Axx3x108x，

则所求不等式的解集为A的补集A7413，由

8x0x23x108xx23x100x222x3x10(8x)74Axx2或5x，∴原不等式的解集是

13

或5x．即

74Axx．

1312