不等式专题

主要知识点 均值不等式 a2b21.（1）若a,bR，则ab2ab (2)若a,bR，则ab（当且仅当ab时取“=”） 22. (1)若a,bR*，则abab (2)若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”） 222ab (当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab） 2*23.若x0，则x取“=”） 112 (当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x2 (当且仅当x1时xx若x0，则x12即x12或x1-2 (当且仅当ab时取“=”） xxx4.若ab0，则ab2 (当且仅当ab时取“=”） ba若ab0，则ababab） 2即2或-2 (当且仅当ab时取“=”bababaab2a2b25.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”） )22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 11（1）y＝3x 2＋2x 2 （2）y＝x＋x 解题技巧： 技巧一：凑项 1

例1：(2)y2x 变式：已知x1,x3。 x35，求函数y4x21的最大值 44x5 。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求yx(82x)的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 3变式：1、设0x，求函数y4x(32x)的最大值。并求此时x的值 2 2．已知0x1，求函数yx(1x)的最大值.； 3．0x2，求函数y3x(23x)的最大值. 技巧三： 分离 x27x10(x1)的值域。 例3. 求yx1 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。 2

(t1)27(t1）+10t25t44y=t5 ttt4当,即t=时,y2t59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。 t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用A不等式求最值。即化为ymg(x)B(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均g(x)值不等式来求最值。 变式 x23x1,(x0) (1) yx 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x单调性。 例：求函数ya的xx25x42的值域。 1t(t2) tx2412解：令x24t(t2)，则yx5x24x2411因t0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。 tt15因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。 t25所以，所求函数的值域为,。 2 条件求最值 1.若实数满足ab2，则3a3b的最小值是 . 变式：若log4xlog4y2，求

11的最小值.并求x,y的值 xy3

技巧六：整体代换： 192：已知x0,y0，且1，求xy的最小值。 xy 。 变式： （1）若x,yR且2xy1，求11的最小值 xy(2)已知a,b,x,yR且ab1，求xy的最小值 xy y 2技巧七、已知x，y为正实数，且x＋ ＝1，求x1＋y 2 的最大值. 2 1技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ab 的最小值. 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 abab（a,bR）点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由2 2已知不等式aba2b30出发求得ab的范围，关键是寻找到ab与ab之间的关（a,bR）系，由此想到不等式abab（a,bR），这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得2ab的范围. 变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值. 4

a＋ba 2＋b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ≤ ，本题很简单 22 3x ＋2y ≤2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝2 3x＋2y ＝25 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 W＞0，W2＝3x＋2y＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W≤20 ＝25 变式: 求函数y2x152x(1x5)的最大值。 22 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 应 应用二：利用均值不等式证明不等式 111例6：已知a、b、cR，且abc1。求证：1118 abc 变式： 1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：abcabbcca 2222、正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 应用三：均值不等式与恒成立问题 19例：已知x0,y0且1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。 xy解：令xyk,x0,y0,119xy9x9y10y9x1，1.1 xykxkykkxky1032 。k16 ，m,16 kk课堂练习 1：添加项 5

【例1】已知x 2:配系数 32，求yx的最小值. 22x3【例2】已知0x 3:分拆项 3，求yx(32x)的最大值. 2x23x6【例3】已知x2，求y的最小值. x2 4:巧用”1”代换 【例4】已知正数x,y满足2xy1,求 【例5】已知正数x,y,z满足xyz1，求 5:换元 【例6】已知abc,求w 【例7】已知x1,求y 7:直接运用化为其它 【例9】已知正数a,b满足abab3,求ab的取值范围. 6

12的最小值. xy149的最小值. xyzacac的最小值. abbcx1的最大值. 2x5x8课后练习 111、（1）、已知x0，y0，满足x2y1，求的最值； xy 28（2）、若x0，y0，且1，求xy的最值； xy x22x2（3）、若-4＜x＜1,求的最大值. 2x2 x2 2、函数f(x)=4(x≠0)的最大值是 ；此时的x值为 x2_______________． 3、（2010 山东理）若对任意x＞0，xa恒成立，则a的取值范围是 ． 2x3x112的最小值为 . mn4、若点A(2,1)在直线mxny10上，其中mn0,则5、（1）、已知x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为 . （2）、若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值 . 286、已知两个正数a,b满足ab4，求使m恒成立的m的范围. ab 7．函数y=loga(x+3)－1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，11求的最小值为。 mn 8．(2010年合肥模拟)已知x1·x2·„·x2009·x2010＝1，且x1，x2，„，x2009，x2010都是正数，则(1＋x1)(1＋x2)„(1＋x2010)的最小值是________． 7

9．已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为________． y210．(2008年江苏卷改编)若x、y、z∈R，x－2y＋3z＝0，求xz的最小值． ＋ 11．已知A(0,9) B(0,16)是y轴正半轴上的两点，C(x,0)是x轴上任意一点，求当点C在何位置时，ACB最大？ 1a12.已知不等式(xy)()9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为 xy

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