房山2020高三期末数学及答案

高三数学

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

（1）已知集合Ax1≤x≤2，B0,1,2,3，则AIB （A）0,1 （C）0,1,2 （2）已知复数z（B）1,0,1 （D）1,0,1,2

i，则z的虚部为 2i（B）（A）

1 31 32 32 3（C）（D）（3）等差数列{an}中，若a1a4a76，Sn为{an}的前n项和，则S7

（A）28 （C）14

（B）21 （D）7

（4）从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高

中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E， 各等级人数所占比例依次为：现 C等级30%，A等级15%，B等级40%，D等级14%，E等级1%．采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为

（A）55 （B）80 （C）90 （D）110 （5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

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12正（主）视图112侧（左）视图俯视图

2 3（C）2

（A）（6）若点M(cos4 3（D）4

（B）

5π5π,sin)在角的终边上，则tan2 66（B）（A）

3 33 3（C）3

2（D）3

y21，点P，Q分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ的斜率的 （7）已知双曲线C的方程为x4取值范围是 （A）(2,2)

（C）(,2)U(2,)

（8）设a，b均为单位向量，则“a与b夹角为

（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

（B）(,)

（D）(,)U(,)

11221212π”是“|ab|3”的 3（B）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

（9）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为棱AB的中点，动点P在平面BCC1B1及其边界上运动，

总有APD1M，则动点P的轨迹为

D1A1B1C1DACMB

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（A）两个点 （C）圆的一部分 （B）线段

（D）抛物线的一部分

（10）已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1

所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．

表1 田径综合赛项目及积分规则 项目 积分规则 100米跑 以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分 跳高 以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分 掷实心球 以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分 表2 某队模拟成绩明细 姓名 甲 乙 丙 100米跑（秒） 跳高（米） 掷实心球（米） 13.3 12.6 12.9 1.24 1.3 11.8 11.4 1.26 11.7 11.6 丁 1.22 13.1 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是： （A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（11）已知点M(2,0)，N(0,2)，以线段MN为直径的圆的方程为___________． （12）若函数f(x)(x1)(xa)是偶函数，则f(2)___________．

（13）已知数列{an}满足an1an，且其前n项和Sn满足Sn1Sn，请写出一个符合上述条件的数列的

通项公式an __________． （14）已知f(x)cos(2x+)(0ππ)，若f(x)的最小正周期为___________，若f(x)≤f()对

122任意的实数x都成立，则____________.

2x,x1,（15）已知函数f(x)

x2a, x≤1.①当a1时，函数f(x)的值域是__________；

②若函数f(x)的图象与直线y1只有一个公共点，则实数a的取值范围是__________． （16）已知矩形ABCD中AB2，AD1，当每个i(i1,2,3,4,5,6)取遍1时，

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uuuruuuruuuruuuruuuruuur最大值是___________． |1AB2BC3CD4DA5AC6BD|的最小值是___________，

三、解答题共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（17）（本小题13分）

如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，AB33，CD3，sinDBC（Ⅰ）求sinBDC的值；

（Ⅱ）求BD，AD的值.

（18）（本小题13分）

某贫困县在“精准扶贫”的指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业．该县农科所为了 对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：

A：41.3，47.3，48.1，49.2，51.2，51.3，52.7，53.3，.2，55.3，56.4，57.6，58.9，59.3，

BCA33，C. 143D59.6，59.7，60.6，60.7，61.1，62.2；

B：46.3，48.2，48.3，48.9，49.2，50.1，50.2，50.3，50.7，51.5，52.3，52.5，52.6，52.7，

53.4，.9，55.6，56.7，56.9，58.7；

（Ⅰ）从A，B两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于55的概率；

（Ⅱ）从B品种茶叶的亩产数据中任取2个，记这两个数据中不低于55的个数为X，求X的分布列及

数学期望；

（Ⅲ）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B？说明理由． （19）（本小题14分）

如图，在四棱锥PABCD中，CD平面PAD，△PAD为等边三角形，AD // BC，

ADCD2BC2，E，F分别为棱PD，PB的中点．

（Ⅰ）求证：AE平面PCD；

（Ⅱ）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值； （Ⅲ）在棱PC上是否存在点G，使得DG //平面AEF？

若存在，求

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PEFDCPG的值，若不存在，说明理由． PCBA

（20）（本小题14分）

x2y2已知椭圆E：221(ab0)的右焦点为(2,0)，且经过点(0,2)．

ab（Ⅰ）求椭圆E的方程以及离心率；

（Ⅱ）若直线ykxm与椭圆E相切于点P，与直线x4相交于点Q．在x轴是否存在定点M，

使MPMQ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

（21）（本小题13分）

已知函数f(x)(2x1)lnxx1.

（Ⅰ）求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求证：f(x)1.

（22）（本小题13分）

设n为给定的不小于5的正整数，考察n个不同的正整数a1，a2，L，an构成的集合

P{a1,a2,L,an}，若集合P的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合P为“差

异集合”．

（Ⅰ）分别判断集合A{1,3,8,13,23}，集合B{1,2,4,8,16}是否是“差异集合”；（只需写出结论）

i1（Ⅱ）设集合P{a1,a2,L,an}是“差异集合”，记biai2(i1,2,L,n)，求证：数列{bi}的前k项

和Dk≥0(k1,2,L,n)；

（Ⅲ）设集合P{a1,a2,L,an}是“差异集合”，求

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111L的最大值． a1a2an房山区2019-2020学年度第一学期期末检测答案

高三数学

一、选择题（每小题5分，共40分）

题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 A 6 D 7 A 8 C 9 B 10 B 二、填空题（每小题5分，共30分，有两空的第一空3分，第二空2分） （11）(x1)(y1)2 （12）3 （13）(1)()（14）；

2212n1或1（答案不唯一） n 6（15）(,1]；(1,1] （16）0；217

三、解答题（共6小题，共80分）

（17）（本小题13分） 解：

（Ⅰ）∵sinDBC∴cosDBC3322，sinDBCcosDBC1,0DBC 14213 14在△BDC中，C=,DBCCBDC 3∴sinBDCsin(DBCC)sinDBCcosCcosDBCsinC

331133431421427

（Ⅱ）在△BDC中，由正弦定理得

3BDCDBD，即sinDBCsinC333142

解得BD7 ∵ABDDBC2，sinDBC33， 14∴cosABD33 14第6页

在△ABD中，AB33，根据余弦定理，

AD2AB2BD22ABBDcosABD

(33)27223373349 14解得AD7

（18）（本小题13分） 解：

（Ⅰ）从A种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有11个，

从B种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个， 设“所取两个数据都不低于55”为事件A，则

P(A)=（Ⅱ）X的所有可能取值为0,1,2

20C16C460P(X0)=2=，

C209511C16C432P(X1)=2=，

C209502C16C43P(X2)=2=，

C209511411 =2020100X的分布列为

X 0 1 2 12 P 19123232期望E(X)012

199595532 953 95（Ⅲ）如果选择A，可以从A的亩产数据的中位数或平均值比B高等方面叙述理由．

如果选择B，可以从B的亩产数据比A的方差小，比较稳定等方面叙述理由． （19）（本小题14分） 解：

（Ⅰ）因为CD平面PAD，AD平面PAD，AE平面PAD

所以CDAD，CDAE．

又因为△PAD为等边三角形，E为PD的中点， 所以PDAE．

所以AE平面PCD．

（Ⅱ）取AD的中点O，连结OP,OB，则易知OB // CD，OBAD，OBOP．

因为△PAD为等边三角形，所以OPAD．

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以O为原点，以OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴如图建系，

A(1,0,0),E(1z2,0,332),F(0,1,2),B(0,2,0)

PuEAEuur(33uuur12,0,2)，EF(2,1,0)

FD设平面AEF的法向量rn(x,y,z)，则：

OBruuur33Axz0xnAE0，即ruuurnEF022， 12xy0令x2，得平面AEF的一个法向量rn(2,1,23)

易知平面PAD的一个法向量为uOBuur(0,2,0)

cosuOBuur,runOBuururnOBuurr2n241121717 所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为1717． PC上存在点G，使得DG //平面AEF，且

设PGuuuruuPC,0,1，则PGPCur， P(0,03),C(1,2,0),D(1,0,0)，uPCuur(1,2,3)，则G(,2,33)

uDGuur(1,2,33)

要使得DG //平面AEF，则uDGuurrn222660，得4

5

，

所以线段PC上存在点G，使得DG //平面AEF，

PGPC45． 20）（本小题14分）

c2，b2，a2b2c28

椭圆E的方程为x2y2841 离心率为eca22 第8页

Cy（Ⅲ）假设棱（（Ⅰ）由已知得，（Ⅱ）在x轴存在定点M，M为(2，0)使MPMQ

证明：

设直线方程为ykxm

x2y21得x22(kxm)28，化简得(2k21)x24kmx2m280 代入84由(4km)4(2k1)(2m8)0，得8k24m20，m28k24，

222x2km8k 22k1m8km28k248k8k4m，则P(,) 设P(x0,y0)，则x0，y0kx0mkmmmmmm设Q(4,y1)，则y14km，则Q(4,4km)

uuuruuuurMPMQ(x02,y0)(2,y1)2(x02)y0y1

2(8k416k42)(4km)4(4km)0 mmmm所以在x轴存在定点M2，0使MPMQ．

解法二：由椭圆的对称性不妨设P(x0,y0)(y00)与M(x,0)．

xx2y2x21得y21得k0．

2y0848切线方程为yy0x0(xx0)，令x4得2y02(x02)x04x0x022y022x04)． ，Q(4,y1(4x0)y0y02y02y0y0uuuruuuur2(x02)0． 所以，MPMQ(x02,y0)(2,y1)2(x02)y0y0所以在x轴存在定点M2，0使MPMQ． （21）（本小题13分）

（Ⅰ）由f(x)(2x1)lnxx1，得f'(x)2lnx13 xf(1)2，f(1)0

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则切线方程为y2x2. （Ⅱ）证法1：f'(x)2lnx令h(x)2lnx13,x(0,)， x13,x(0,)， x212x1h'(x)220，故h(x)在(0,)上单调递增.

xxx1e又h(1)20,h()1ln4ln0，又h(x)在(0,)上连续，

241x0(,1)使得h(x0)0，即f'(x0)0，

22lnx0130.（*） x0f'(x),f(x)随x的变化情况如下：

x f'(x) f(x) (0,x0)  ↘ x0 (x0,)  ↗ 0 极小值 f(x)minf(x0)(2x01)lnx0x01.

13，代入上式得 2x021313f(x)minf(x0)(2x01)()x012x0.

2x022x02131令t(x)2x,x(,1)，

2x221(12x)(12x)1t(x)，故在t'(x)220(,1)上单调递减. 22x2x2由（*）式得lnx0t(x)t(1)，又t(1)1，.

即f(x0)1f(x)1.

证法2：f(x)(2x1)lnxx12xlnxlnxx1,x(0,)， 令h(x)2xlnx,t(x)lnxx1,x(0,)，

1h'(x)2(lnx1)，令h'(x)0得x.

eh'(x),h(x)随x的变化情况如下：

x 1(0,) e 1 e0 1(,) e 第10页

h'(x) h(x) ↘ 极小值 ↗ 2112h(x)minh()，即2xlnx，当且仅当x时取到等号.

eeeex1t'(x)，令t'(x)0得x1.

xt'(x),t(x)随x的变化情况如下：

x t'(x) t(x) (0,1)  ↘ 1 0 极小值 (1,)  ↗ t(x)mint(1)0，即x1lnx0，当且仅当x1时取到等号.

22xlnx(lnxx1)1.

e即f(x)1. （22）（本小题13分）

（Ⅰ）集合A不是，因为1233813，即子集{1,23}与子集{3,8,13}元素之和相等； 集合B是，因为集合B的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等. （Ⅱ）由集合P是“差异集合”知：

{a1,a2,a3,L,ak}的2k1个非空子集元素和为互不相等的2k1个正整数，

k于是a1a2Lak21，

所以

Dk(a120)(a221)L(ak2k1)k (a1a2Lak)(21)0（Ⅲ））不妨设a1a2a3Lan，考虑

1111111(1)()()L(n1)

a12a24a32an

an2n1a11a22a34 Ln1a12a24a32anDDDDD1D3D212Lnn1n1 a12a24a32an1111111D1()D2(2)LDn1(n2n1)Dnn10

a12a22a22a32an12an2an11111111L2n1 而1Ln12n1，所以a1a2an224221111n1L2n1； 当P{1,2,4,L,2}时，a1a2an21111L的最大值为2n1. 综上，a1a2an2

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