高中数学抛物线焦点弦的有关结论附答案

[很全]抛物线焦点弦的有关结论

知识点1：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦。设Ax1,y1,Bx2,y2，则

p2（1）x1x2；（2）y1y2p2

4证明：如图，

（1）若AB的斜率不存在时，

p2p依题意x1x2,x1x2

42y x o F A B p若AB的斜率存在时，设为k,则AB:ykx，与y22px联立，得

2pk2p22222kx2pxkxk2px0

242p2p2x1x2. 综上：x1x2.

44yy22（2）x11,x22，y1y2p4y1y2p2,

2p2p但y1y20,y1y2p2 （2）另证：设AB:xmyp与y22px联立，得y22pmyp20,y1y2p2 222知识点2：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦。设Ax1,y1,Bx2,y2，则（1）ABx1x2p;（2）设直线AB的倾斜角为，则AB证明：（1）由抛物线的定义知

ppAFx1,BFx2,

222p。 2siny o F A ABAFBFx1x2p （2）若900,则x1x2p2p ,由（1）知AB2p22sinB p若900,设AB:ykx,与y22px联立，得

2每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，

都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

pk2p2222kx2pxkxk2px0

2422pk222pk21x1x2,ABx1x2p，而ktan，

k2k22p1tan22pAB 22tansin知识点3：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

y 证明：过点A、B分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为 A A1、B1,过AB中点M向准线引垂线，垂足为N, 设以AB为直径的圆的半径为r,

2rABAFBFAA1BB12MNMNr.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

o F B

知识点4：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦。过点A、B分别向抛物线y A 0的准线引垂线，垂足分别为A1、B1,则A1FB190。

证明借助于平行线和等腰三角形容易证明

o F B 知识点5：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦，抛物线的准线与x轴相交于点K，则AKFBKF.

y 证明：过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为A1、B1. A AA1//KF//BB1

AKAF1而AFA1A,BFB1B B1KFBK o F B A1KA1AAKBK 11，而AA1KBB1K900 B1KB1BA1AB1BAA1K∽BB1K A1KAB1KB AKFBKF

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，

都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

知识点6：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦，o为抛物线的顶点，连接

AO并延长交该抛物线的准线于点C,则BC//OF.

证明：设Ax1,y1,Bx2,y2，则

y A py1py1AB:yx,C, x122x1y1py1pp2 yC22x1yy1212po F C B p2y2 BC//OF 由知识点1知y1y2p yC2py22逆定理：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦，过点B作BC//OF交抛物线准线于点C,则A、C、O三点共线。

证明略

知识点7：若AB是过抛物线y22pxp0的焦点F的弦，设AFm,BFn,则 112. mnpy A F 证法：（1）若ABx轴，则AB为通径，而AB2p,

mnp 112. mnpo B p（2）若AB与x轴不垂直，设Ax1,y1,Bx2,y2，AB的斜率为k，则l:ykx与

2pk2p222222y2px联立，得kx2pxkxk2px0

242pk22p2x1x2,x1x2. 24k由抛物线的定义知mAFx1pp,nBFx2 22每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，

都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

11mnmnmnx1x2p2 2pppx1x2x1x224知识点8：已知抛物线y22pxp0中，AB为其过焦点F的弦，AFm,BFn,则

SAOBp24nmmn y A F 证明：设AFx,则

o SAOBSAOFSBOF

B 1p1pmsinsin22 22

pmnsin4ppp2p2而m ,n,mn,sin21cos1cosmnsinSAOBpp2p2nm. mn4mn4mn逆定理：已知抛物线y22pxp0中，AB为其弦且与x轴相交于点M，若

AMm,BMn,且SAOBp24nmmn,则弦AB过焦点。 证明：设Ax1,y1,Bx2,y2，AMx,Mt,0，则

111SAOBSAOMSBOM=tmsintnsinmntsin

222而siny1m,siny2n, sin2y1y2 mnsiny1y2y1y21mn1 SAOBmntty1y2 mn2mn2mnnp2m1mnp2mn2mn2 ty1y22① 而SAOBp24每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

又可设

l:xayt2y2pay2pt0 y1y22pt② 2y2pxpp AB恒过焦点,0 22由①②得t例1、过抛物线y24x的焦点做直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，如果x1x26，那么AB_________. 8

变式：过抛物线y24x的焦点做直线交抛物线于A,B两点，如果AB8，O为坐标原点，则OAB的重心的横坐标是_________. 2

例2、直线l经过抛物线y22px(p0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，由A,B分别向准线引垂线AA',BB'，垂足分别为A',B'，如果A'B'a，Q为A'B'的中点，则QF _________.（用a表示）

a 2变式：直线l经过抛物线y22px(p0)的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，由A,B分别向准线引垂线AA',BB'，垂足分别为A',B'，如果ARa,BFb，Q为A'B'的中点，

a2b2则QF_________.（用a,b表示）

2例3、设坐标原点为O，过焦点的直线l交抛物线y24x于A,B两点，OAOB -3 例4、过抛物线yax(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p,q，则

114_____. pqaB´(x2,y2)2yA´(x1,y1)

x小结：

（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；

（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！