惠州市2015届高三第一次调研考试(文科数学)

数学试题(文科）（含答案）

（本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．）

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式：锥体的体积公式V1Sh，其中S为柱体的底面积，h为锥体的高． 3一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）

i（其中i为虚数单位）的虚部是 （ ） 1i1111 A. B.i C. D.i

22221．复数Z2．已知集合Axylgx3，Bxx2，则AB（ ） A. (3,2] B.(3,) C.[2,) D.[3,) 3．下列函数在定义域内为奇函数的是（ ） A. yx1 B. yxsinx C. yx1 D. ycosx x4.命题“若x1,则-1x1”的逆否命题是（ ）

22A.若x1,则x1,或x1 B.若1x1，则x1

2C.若x1或x1，则x1 D.若x1或x1，则x1 5．若向量BA(1,2),CA(4,5),则BC

A.(5,7) B.(3,3) C.(3,3) D.(5,7)

22惠州市2015届高三第一次调研考试（文科数学） 第1页 共11页

6．若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下：

f(1)2 f(1.5)0.625 f(1.25)0.984 f(1.375)0.260 f(1.4375)0.162 f(1.40625)0.054 那么方程x3x22x20的一个最接近的近似根为（ ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

7．执行如图所示的程序框图,若输入n的值为7,则输出的s的值为（ ） A．22 B．16 C．15 D．11

y2-π3O5π12x

（7题） （8题）

8．函数f(x)（ ） A．2,

2sin(x)(xR,0,2)的部分图象如图所示，则,的值分别是

3 B.2,6 C.4,6 D. 4,3

x2y29．若双曲线221的离心率为3，则其渐近线的斜率为（ ）

abA.2 B.2 C.12 D. 222x2x,x0,若f(a)f(a)2f(1),则实数a的取值范围是 10．已知函数f(x)2x2x,x0

二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.） （一）必做题（11～13题）

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A.1,0 B.0,1 C.1,1 D.2,24 3 3 2 11. 计算log318log32 ．

2xy2x2y212．变量x、y满足线性约束条件，

x0y0则目标函数zxy的最大值为 .

正视图

3 侧视图 13．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 俯视图

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。 14．（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：

x33cos，（为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：y13sincos0，则圆C截直线所得弦长为 . 6DC15．（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，

BC是圆O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，

若OB3，OC5，则CD . 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设函数f(x)AOB31cosxsinx1 22（1）求函数f(x)的值域和函数的单调递增区间; （2）当f()922)的值. ,且时,求sin(2563317．(本题满分12分)

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

男生 女生 合计

惠州市2015届高三第一次调研考试（文科数学） 第3页 共11页

喜爱打篮球 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50 （1）用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽６人，其中男生抽多少人？ （2）在上述抽取的６人中选２人，求恰有一名女生的概率. 18．（本小题满分14分）

如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，

ED面ABCD,BAD3E．

F（1）求证:平面BCF//平面AED.

DCB（2）若BFBDa,求四棱锥ABDEF的体积。 19．（本小题满分14分）

A已知等差数列an的首项a11,公差d0,且a2,a5,a14分别是等比数列bn的b2,b3,b4. （1）求数列an和bn的通项公式； （2）设数列cn对任意正整数n均有20.（本题满分14分）

c1c2b1b2cn求c1c2an1成立，

bnc2014的值.

x2y26已知椭圆C1:221(ab0) 的离心率为e，过C1的左焦点F1的直线

ab3l:xy20被圆C2:(x3)2(y3)2r2(r0)截得的弦长为22. （1）求椭圆C1的方程；

a2（2）设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足PF12PF2,若存在，指出有

b几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由. 21.（本小题满分14分）

已知函数f(x)lnxax1a1(aR) x（1）当a1时，求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程； （2）当a1时，讨论f(x)的单调性. 2

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广东省惠州市2015届高三第一次调研考试

数学试题(文科）答案

题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 D 5 B 6 C 7 B 8 A 9 B 10 C 1. 【解析】化简得z2．C【解析】

111i，则虚部为，故选C

222Axylgx3xx3，Bxx2，所以AB[2,),

故选C.

3．【解析】根据奇函数的定义可知A正确。

24．【解析】由逆否命题的变换可知，命题“若x1，则1x1” 的逆否命题是“若x1或x1，则x1”，故选D. 5．【解析】BCBAAC3,3

6．【解析】因为f1.40625 －0.0540，f1.4375  0.1620，由零点存在定理知，最接近的近似根为1.4.

7．【解析】程序执行过程中，i,s的值依次为i1,s1；s1,i2；s11,i3；

2s112,i4；s1123,i5；s11234,i6；

s112345,i7，输出s的值为16.

35πTπ+.54123π时取到最大值2，且最小正周期T满足8．【解析】由图知f(x)在x

1232π3π,2,A2,4故

2sin(25π5π)2sin()1,612，

5ππππ2kπ,2kπ,kf(x)2sin(2x).3 623Z.所以5πf(π)2f(x)2sin(2x).3 或由12逐个检验知惠州市2015届高三第一次调研考试（文科数学） 第5页 共11页

bca2b2b29．【解析】试题分析：双曲线的离心率e123，所以2，其渐

aaaa近线的方程为ybx，其斜率为2，故选B. a10.【解析】 由偶函数定义可得f(x)是偶函数，故f(a)f(a)，原不等式等价于

f(a)f(1)，又根据偶函数定义，f(a)f(a)f(1)，函数f(x)在(0,)单调递增，

a1，a[1,1]．或利用图象求a范围．选C.

4 13. 24 14. 42 15. 4 318log392 11. 【解析】log318log32log3211. 2 12.

y212xy2x2y212. 【解析】作出不等式组所表示的可行域如图所示，

x0y0联立2x+y=2Ax+2y=2x21l:z=x+y2xy222得A,，作直线l:zxy，则z为直线l33x2y2224. 333111345(34)324 232O在x轴上的截距，当直线l经过可行域上的点A时，直线l在x轴上的截距最大，此时z取最大值，即zmax13．【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个 小三棱锥得到的，如图V

14．【解析】圆C:3 2

3 4

第6题图

x33cos（为参数）表示的曲线是以点

y13sin3,1为圆心，以3为半径

的圆，将直线cos0的方程化为直角坐标方程为3xy0，圆心63,1到直线

惠州市2015届高三第一次调研考试（文科数学） 第6页 共11页

3xy0的距离d331321，故圆C截直线所得弦长2321242.

1215．【解析】由于OC//AD，BOCBAD，而ODOA，因此ODABAD， ODABOC，OC//AD，CODODA，CODBOC，ODOB，OCOC，BOCDOC，故CDBC，由于BC切圆O于点B，易知OBBC，由勾股定理可得BCOC2OB252324，因此CDBC4. 16．解：依题意f(x)31cosxsinx1sin(x)1 „„„2分

322（1） 函数f(x)的值域是0,2； „„„4分 令22kx322k，解得52kx2k „„„7分 6652k,2k](kZ). „„„8分 6649（2）由f()sin()1,得sin(),

353523,所以,得cos(), „„„10分 因为63233524432sin(2+)sin2()2sin()cos()2 „„„12分

2533553361 17.解：（1）在喜欢打蓝球的学生中抽６人，则抽取比例为

3051∴男生应该抽取204人 „„„„„„„„„„４分

5所以函数f(x)的单调增区间为[（2）在上述抽取的6名学生中, 女生的有2人，男生4人。女生2人记A,B；男生4人为c,d,e,f，

(A,c)、(A,d)、(A,e)、(A,f)、(B,c)、(B,d)、则从6名学生任取2名的所有情况为:(A,B)、

(c,d)、(c,e)、(d,e)、(B,e)、(B,f)、(c,f)、(d,f)、(e,f)共15种情况，„„„„„„„„8

分

其中恰有1名女生情况有：(A,c)、(A,d)、(A,e)、(A,f)、(B,c)、(B,d)、(B,e)、(B,f)，共8种情况， „„„„„„„„„„10分

惠州市2015届高三第一次调研考试（文科数学） 第7页 共11页

故上述抽取的６人中选２人，恰有一名女生的概率概率为P

18．证明：（1）由ABCD是菱形 BC//AD

8. „„„„„„„12分 15EFBC面ADE,AD面ADE

DBC//面ADE„„„„„„„„„„„„3分

由BDEF是矩形BF//DE

OBCABF面ADE,DE面ADE BF//面ADE

BC面BCF,BF面BCF,BC（2）连接AC，ACBFB„„„„„6分

BDO

由ABCD是菱形，ACBD

由ED面ABCD,AC面ABCD EDAC

ED,BD面BDEF,EDBDD

AO面BDEF，„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

则AO为四棱锥ABDEF的高 由ABCD是菱形，BAD3，则ABD为等边三角形，

由BFBDa；则ADa,AO3aSBDEFa2， 2，

1333VABDEFa2aa„„„„„„„„„„„„„„„14分

326

19.解：（1）∵a21d,a514d,a14113d，且a2,a5,a14成等比数列，

2 ∴(14d)(1d)(113d)，即d2， „„„„„2分

∴an1(n1)22n1. „„„„„„„„4分

又∵b2a23,b3a59,∴q3,b11,bn3.„„„„„„6分

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n1 （2）∵

c1c2b1b2cnan1， ① bncn1an(n2)， ② bn1∴

c1c1c2，又a2，即c1ba312b1b1b2①②得

cnan1an2 „„„„„„„„„„„„„„„„„9分 bn∴cn2bn23n1(n2)，∴cn则c1c2(n1)3，„„„„„„„„„„„„11分 n123(n2)c20143231232232014132(313232013)

3(132013)32014. „„„„„„14分 321320.解：因为直线l的方程为l:xy20，令y0，得x2，即F1(2,0)„„1分

∴c2 ，又∵ec62222，∴ a6 ， bac2 a3x2y21.„„„„„„„„„„„„„„„４分 ∴ 椭圆C1的方程为C1:62a2（2）存在点P，满足PF12PF2

b∵ 圆心C2(3,3)到直线l:xy20的距离为d33222，

22又直线l:xy20被圆C2:xy6x6y3m10截得的弦长为22，

∴由垂径定理得rld2()2222，

222故圆C2的方程为C2:(x3)(y3)4.„„„„„„„„„„„„８分

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a2设圆C2上存在点P(x,y)，满足PF12PF2即PF13PF2，

b且F1,F2的坐标为F1(2,0),F2(2,0)，

222222则(x2)y3(x2)y， 整理得(x)y5295，它表示圆心在C(,0)，半42径是

3的圆。 2∴ CC2(3)(30)故有2522237„„„„„„„„„„„„„„„１２分 233CC22，即圆C与圆C2相交，有两个公共点。 22a2∴圆C2上存在两个不同点P，满足PF12PF2.„„„„„„„„„１４分

b1,x(0,) 21.解：（1）当a－1时，f(x)lnxx－1212,f(2)ln22,f'(2)1,所以切线方程为：yxln2 „„6分 xx1a1， （2）因为f(x)lnxaxxf'(x)1a1ax2x1a所以f'(x)a2 x(0,)， 2xxx2令g(x)axx1a,x(0,),„„„„„„„„8分

2x（i）当a=0时，g(x)－x1, x(0,)

' 所以当x(0,1)时g(x)>0, f(x)0此时函数f(x)单调递减，

'x∈（1 ，∞）时，g(x)<0,f(x)0此时函数f(x)单调递增。

,

（ii）当a0时，由f(x)=0，解得：x11,x21－„„„„„„„„10分 ①若a1a1,函数f(x)在(0,+)上单调递减，„„„„„„„„11分 2惠州市2015届高三第一次调研考试（文科数学） 第10页 共11页

②若0a111)单调递减，在(1, －1)上单调递增. ，在(0,1), (－1，2aa③ 当a<0时，由于1/a-1<0,

x∈(0,1)时，g(x)>0,此时f'(x)0,函数f(x)单调递减； x∈（1 ，∞）时，g(x)<0 ,f'(x)0,此时函数f(x)单调递增。 综上所述：

当a≤ 0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减; 函数f(x)在 (1, +∞) 上单调递增

当a12时,函数f(x)在(0, + ∞)上单调递减 当0a12时，函数f(x)在(0,1), (1a－1，)上单调递减； 函数 f(x)在(1, 1a－1)上单调递增；„„„14分

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