【知识要点】
1. 进一步掌握直角三角形的性质，并能够熟练应用；
2. 通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证；
3. 证明要合乎逻辑，能够应用综合法熟练地证明几何命题。
【 概念回顾 】
1. 全等三角形的性质：对应边（ 线（
），对应中线（
），对应角（ ）对应高 ）。
）。
），对应角的角平分线（
ABC中，∠ C=90°A=30°2. 在 Rt△ ，∠ ，则 BC：AC：AB=（
【例题解析】
【 题1】已知在 ΔABC中，
A 108 ， AB＝ AC， BD平分 ABC ．求证：
BC＝AB＋CD．
【 题2】如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ 的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ .
A
D E
F
【 题3】如图， AD 为 ΔABC 的角平分线且
B
C
BD＝CD．求证： AB＝AC.
A
E
G
B
D
C
【 题4】已知：如图，点 B、F、 C、E 在同一直线上， BF=CE， AB
∥ED， AC ∥FD，证明 AB=DE ， AC=DF.
【 题 5】已知：如图，△ ABC是正三角形， P 是三角形内一点， PA＝ 3， PB＝ 4， PC＝5． 求：∠ APB的度数．
A
P
B
C
【 题 6】如图：△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC，AE 是 BC边上的中
线，过 C作 CF⊥ AE，垂足是 F，过 B作 BD⊥ BC交 CF的延长线于 D。
（ 1） 求证： AE=CD;
（ 2） 若 AC=12㎝，求 BD的长 .
【题 7】 等边三角形 CEF于菱形 ABCD边长相等 .
求证：（ 1）∠ AEF=∠AFE (2)
角 B 的度数
【 题 8】如图，在△ ABC中，∠ C=2∠B， AD是△ ABC的角平分线，
∠ 1=∠ B，求证： AB=AC+CD.
【题 9】如图，在三角形 ABC中， AD是 BC边上的中线， E 是 AD的
中点， BE的延长线交 AC于点 F.
求1 AF= FC 证： 2
【题 10】如图，将边长为 1的正方形 ABCD绕点 C旋转到 A'B'CD' 的位
置，若∠ B'CB=30度，求 AE的长 .
【题 11】AD,BE分别是等边△ ABC中 BC,AC上的高。 M,N分别在 AD,BE
的延长线上，∠ CBM∠= ACN.求证 AM=BN.
【题 12】已知：如图， AD、BC相交于点 O，OA=OD，OB=OC，点 E、 F在 AD上，且 AE=DF，∠ ABE＝∠ DCF.
E BE‖CF. 求证：
A
B
O
C
D
F
【 巩固练习 】
【 练 1】 如图，已知 BE 垂直于 AD ， CF 垂直于 AD ，且 BE=CF.
（ 1）请你判断 AD 是三角形 ABC 的中线还是角平分线？请证明你的 结论。
（ 2）链接 BF,CE，若四边形 BFCE 是菱形， 则三角形 ABC 中应添加 一个什么条件？
【练 2】在等腰直角三角形 ABC 中， O 是斜边 AC 的中点， P 是斜
边上的一个动点，且 PB=PD， DE 垂直 AC，垂足为 E。
（ 1）求证： PE=BO
（ 2）设 AC=3a，AP=x ，四边形 PBDE 的面积为 y，求 y 与 x 之间的 函数关系式。
【 练3】已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD ＝BC， M、N 分别是
AB 、 CD 的中点， AD，BC的延长线叫 MN与 E、F 求证∠ DEN=∠F.
【 练4】如图，若 C在直线 OB上，试判断△ CDM形状 。
【练 5】 已知△ ABC，AD是 BC边上的中线，分别以 AB边、 AC边为直 角边向形外作等腰直角三角形。求证：
EF=2AD
如图，等边三角形 1、 【练 6】
ABC的边长为 2，点 P 和点 Q分别是
从 A和 C两点同时出发，做匀速运动，且他们的速度相同，点 P 沿射 线 AB运动，Q点沿点 C 在 BC延长线上运动。 设 PQ与直线 AC相交 于点 D，作 PE⊥ AC于点 E，当 P 和 Q运动时，线段 DE的长度是否 改变？证明你的结论。
【提示】
【 题 1】分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得 ΔBAD≌
108 BED DBE 18 ， A ， Δ BED． 由 已 知 可 得 ： ABD
C ABC 36 ．∴ DEC EDC 72 ，∴ CD＝ CE，∴ BC＝AB＋CD． 【 题 2】 分析：将 ΔABF视为 ΔADE绕Ａ顺时针旋转 90 即可． ∵ FAB BAE EAD BAE 90 ．∴ FBA EDA ．
ADE．（ＡＳＡ）∴ 又∵ FBA EDA 90 ，ＡＢ＝ＡＤ．∴ ΔABF≌Δ
ＤＥ＝ＤＦ． 【 题 3】分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ． 易证 ΔABD≌Δ ECD．∴ ＥＣ＝ＡＢ．
∵ BAD CAD ．∴ E CAD ．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．
【 题 4】 本题比较简单，难点在 BF+CF=CE+C这F，一般刚接触三角形 证明的人会在这失手。 证明：∵ BF=CE
又∵ BF+CF=BC CE+CF=EF ∴BC=EF
∵AB∥ DE， AC∥ FD
∴∠ B=∠E，∠ DFE=∠BCA
又∵ BF=CE
∴△ DEF≌△ ABC（ASA）
∴AB=DE， AC=DF
0
【 题 5】 顺时针旋转△ ABP 60 ，连接 PQ ，则△ PBQ是正三角形。 可得△ PQC是直角三角形。
0
所以∠ APB=150 。
【题 6】解析：如果遇到这类题，有时在图形中隐藏着一些不明显的
条件，你就先试试一个角加公共角等于 共角是否能等于 90°，能说明它俩相等。
证明：（1）∵ BD⊥BC，CF⊥ AE
90°，再试其它角加这个公
∴∠ DBC=∠ACB=∠ EFC=90°
∵∠ D+∠BCD=9°0
∠ FEC+∠BCD=9°0
∴∠ D=∠FEC
又∵∠ DBC=∠ACE=90°， AC=BC
∴△ DBC≌△ ACE（ HL）
∴AE=CD
（ 2）由（ 1）可知 △BDC≌△ ACE
∴BC=AC=12㎝， BD=CE
∵AE是 BC边上的中线
∴ BC=61 ㎝BE=EC= 2 ∵BD=CE
∴BD=6㎝
【 题 7】解：
∵CB=CE,CD=CF
∴∠ B=∠ CEB，∠ D=∠CFD
∵∠ B=∠ D(菱形的对角相等）
∴∠ CEB=∠CFD
∵∠ CEF=∠CFE=60°
∠CEB+∠CEF+∠ AEF=180°
∠CED+∠CFE+∠ AFE=180°
∴∠ AEF=∠AFE
(2) 设∠ B=X,则∠ A=180°— X， ∠CEB=X
∵∠ AEF=∠AFE,∠ A=∠ AEF+∠AFE=180°
∴ (180 °－ X ) +2 ∠AEF=180°
∴∠ AEF=X/2
∵∠ CEB+∠CEF+∠ AEF=180°
∴X+60° +X/2=180°
∴X=80°
∴∠ B=80°
【 题 8】解析：这种类型的题，一般是一条长的线段被分为两段， 只能证 AC、CD这两条线段与 AB这条线段平分的两条线段 相等，从而证明出来。
证明：∵∠ AED是△ EDB的一个外角 又
∵∠ 1=∠ B
AE、BE
∴∠ AED=∠2 B
∴∠ AED=∠C=2∠ B
∵AD是△ ABC的角平分线
∴∠ CAD=∠DAE
又∵∠ AED=∠C，AD=DA
∴△ ACD≌△ AED（ AAS）
∴AC=AE，CD=DE
∵∠ 1=∠ B
∴DE=BE
∴CD=BE
∵AB=AE+BE 又∵ AC=AE，CD=BE ∴AB=AC+CD
【 题 9】 解析：作 CF的中点 G，连接 DG，则 FG=GC
又∵ BD=DC
∴DG∥BF
∴AE∶ED=AF∶ FG
∵AE=ED
∴AF=FG
AF 1 ∴ = FC 2
∴1 AF= 即 FC 2
【题 10】提示：证明三角形 ABD和三角形 CAF全等。 AEBD四点共
圆。
四边形 EDCF是平行四边形。（一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形）
【题 11】
证明：因为△ ABC为等边三角形， AD垂直于 BC、BE垂直于
AC，
所以 ∠BAM∠= CBN，
又因为∠ CBM∠= ACN 所以∠ ABM∠= BCN
在△ ABM和△ BCN中，有 AB=BC
∠BAM∠= CBN
∠ABM∠= BCN
由三角形全等的判定 ASA得
△ABM和△ BCN全等 所以 AM=BN
【题 12】分析： 要证明 BE‖CF，只要证明∠ E＝∠ F；已知∠ ABE
＝∠ DCF，又由三角形的外角性质可知∠ E＝∠ BAO﹣∠ ABE，∠ F＝∠ CDO﹣∠ DCF，因此只要证明∠ BAO＝∠ CDO.
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