2020-2021学年八年级下期中考试数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若m＞n，则下列不等式正确的是（ ） A．m﹣4＜n﹣4
B．
𝑚4
＞ 4
𝑛
C．4m＜4n D．﹣2m＞﹣2n
【解答】解：∵m＞n，
∴m﹣4＞n﹣4；m＞4n；4m＞4n，﹣2m＜﹣2n．
41
1
故选：B．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC
D．AB＝2BD
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点 ∴∠B＝∠C，（故A正确） AD⊥BC，（故B正确） ∠BAD＝∠CAD（故C正确） 无法得到AB＝2BD，（故D不正确）． 故选：D．
2𝑥−4≤03．不等式组{的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）
𝑥+2＞0A．C．
B．D．
2𝑥−4≤0①
【解答】解：{，
𝑥+2＞0②由①得x≤2，由②得x＞﹣2， 故此不等式组的解集为：故选：C．
4．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l
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为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（ ）
A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线 C．l是线段FH的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线 【解答】解：如图：
A．∵直线l为线段FG的垂直平分线， ∴FO＝GO，l⊥FG， ∵EF＝GH， ∴EF+FO＝OG+GH， 即EO＝OH，
∴l为线段EH的垂直平分线，故此选项正确；
B．∵EO≠OQ，
∴l不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误；
C．∵FO≠OH，
∴l不是线段FH的垂直平分线，故此选项错误；
D．∵l为直线，EH不能平分直线l，
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∴EH不是l的垂直平分线，故此选项错误； 故选：A．
5．已知a＜b，则下列不等式不成立的是（ ） A．a﹣1＜b﹣1
B．＜ 2
2𝑎
𝑏
C．a﹣b＜0 D．
1−𝑎3
＜1−𝑏3
【解答】解：∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，a＜b，a﹣b＜0，
21
121−𝑎3
＞1−𝑏3
．
故选：D．
6．如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是（ ）
A．12cm
B．16cm
C．18cm
D．20cm
【解答】解：∵△ABE的周长＝AB+BE+AE＝10（cm），由平移的性质可知，BC＝AD＝EF＝1（cm），AE＝DF，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD＝10+1+1＝12（cm）． 故选：A．
7．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
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C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确
【解答】解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：A．
8．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣ab＝a（a﹣b） D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为：a2﹣b2； 拼成的长方形的面积为：（a+b）×（a﹣b）， 所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：D．
9．已知一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（﹣2，0），则不等式ax＞b的解集为（ ） A．x＞﹣2
B．x＜﹣2
C．x＞2
D．x＜2
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，则函数y随x的增大而
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增大， ∴a＞0．
把点（﹣2，0），代入即可得到：﹣2a+b＝0．即2a﹣b＝0． 不等式ax＞b的解集就是求函数y＝ax﹣b＞0， 故当x＞2时，不等式ax＞b成立． 则不等式ax＞b的解集为x＞2． 故选：C．
10．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为（ ）
A．14
B．13
C．12
D．10
【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P， 则此时，EP+PF的值最小， ∵∠B＝60°，∠BFG＝90°， ∴∠G＝30°， ∵BF＝7， ∴BG＝2BF＝14， ∴EG＝8， ∵CE＝CG＝4， ∴AC＝BC＝10， 故选：D．
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二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．化简：a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝ （a+1）100 ． 【解答】解：原式＝（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98] ＝（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97] ＝（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96] ＝…
＝（a+1）100． 故答案为：（a+1）100．
12．已知a+b+c＝0，a＞b＞c，则的取值范围是 ﹣2＜𝑎＜−2 ．
𝑎𝑐
𝑐
1
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴a＞0，c＜0 ① ∴b＝﹣a﹣c，且a＞0，c＜0 ∵a＞b＞c
∴﹣a﹣c＜a，即2a＞﹣c② 解得＞−2，
𝑎𝑐
将b＝﹣a﹣c代入b＞c，得﹣a﹣c＞c，即a＜﹣2c③ 解得＜−，
𝑎
2
𝑐
1
∴﹣2＜＜−． 故答案为：﹣2＜𝑎＜−2．
13．若关于x的不等式组{2𝑥−𝑘＞0有且只有五个整数解，则k的取值范围是 ﹣6≤k＜﹣
𝑥−2≤04 ．
【解答】解：解不等式2x﹣k＞0得x＞2， 解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，
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𝑐𝑎12𝑐1
𝑘
∵不等式组有且只有5个整数解， ∴﹣3≤＜−2， 解得﹣6≤k＜﹣4， 故答案为：﹣6≤k＜﹣4．
14．如图，是由边长为1个单位长度的小正方形的网格，在格点中找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有 6 个．
𝑘2
【解答】解：AB=√5，
以B为顶点，BC＝BA，这样的C点有4个； 以A为顶点，AC＝AB，这样的C点有2个；
以C为顶点，CA＝CB，这样的点不存在，但与前面的重合； 所以使△ABC的等腰三角形，这样的格点C的个数有6个． 故答案为6．
15．如图所示，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，2），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是 y＝2x﹣8 ．
【解答】解：∵A（4，0），B（0，2）， ∴OA＝4，OB＝2， 过点C作CD⊥x轴于点D，
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∵∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠CAD， ∴∠ABO＝∠CAD， 在△ACD和△BAO中 ∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐶𝐴𝐷{∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐶𝐷𝐴， 𝐴𝐵=𝐴𝐶
∴△ACD≌△BAO（AAS） ∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝4， ∴C（6，4）
4𝑘+𝑏=0
设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入得{，
6𝑘+𝑏=4𝑘=2∴{， 𝑏=−8
∴直线AC的解析式为y＝2x﹣8． 故答案为：y＝2x﹣8．
三．解答题（共7小题，满分63分，每小题9分） 16．（9分）（1）分解因式：ax2﹣2ax+a；
𝑥+3≤2(𝑥+2)（2）解不等式组：{𝑥，并写出所有非负整数解． 3𝑥−1
+1＞34【解答】解：（1）ax2﹣2ax+a＝a（x2﹣2x+1）＝a（x﹣1）2； 𝑥+3≤2(𝑥+2)①
（2）{𝑥， 3𝑥−1
+1＞②34解不等式①得，x≥﹣1， 解不等式②得，x＜3
将两个不等式的解集在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3：
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∴非负整数解有：0，1，2．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣1，1）
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；平移△ABC，若A对应的点A2坐标为（﹣4，﹣5），画出△A2B2C2；
（2）若△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，直接写出旋转中心坐标 （﹣1，﹣2） ．
（3）在x轴上有一点P使得PA+PB的值最小，直接写出点P的坐标 （−4，0） ．
13
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．
（2）如图所示，点Q即为所求，其坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，﹣2）；
（3）如图所示，点P即为所求， 设直线A′B的解析式为y＝kx+b，
将点A′（﹣4，﹣1），B（﹣1，3）代入，得：
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−4𝑘+𝑏=−1{， −𝑘+𝑏=3𝑘=
3， 解得：{13𝑏=3∴直线A′B的解析式为y=x+当y＝0时，x+3=0，
3解得x=−4， ∴点P的坐标为（−故答案为：（−
13
，0）． 4134
13
4313， 34
13
，0）． 418．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、点D，∠A＝36°．求证：AD＝BC．
【解答】证明：∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、点D， ∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形； ∵∠A＝36°，
∴∠ABD＝∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°， ∴∠C＝∠BDC， ∴BD＝BC， ∴AD＝BC．
19．（9分）（1）已知3m＝6，9n＝2，求32m
﹣2n+1
的值；
（2）已知a+b＝6，ab＝8，求a2+b2与（a﹣b）2的值． 【解答】解：（1）∵3m＝6，9n＝2，
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∴32m
﹣2n+1
＝（3m）2÷9n×3＝36÷2×3＝54；
（2）将a+b＝6平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36， 把ab＝8代入得：a2+b2+16＝36，即a2+b2＝20； ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝20﹣16＝4．
20．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数； （2）若AB＝10，AC＝8，DE=
20√3，求S△ABC． 9
【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝60°
∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=2∠𝐵𝐴𝐶=30° ∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°
∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60° （2）过点D作DF⊥AC于点F．
1
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DF＝DE=
20√3， 9又AB＝10，AC＝8， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×10×
1
20√3120√3+×8×=20√3 929第 11 页 共 13 页
21．（9分）随着夏季的来临，某公司决定购买10套设备生产电风扇，现有甲、乙两种型号
的设备，其中每套的价格、日生产量如表：
价格（万元/套） 生产量（台/日）
甲型 m 120
乙型 n 100
经调查：购买两套甲型设备比购买一套乙型设备多6万元，购买一套甲型设备和购买三套乙型设备共需10万元． （1）求m，n的值；
（2）经预算，该公司购买生产设备的资金不超过26万元，且每日的生产量不低于1020台，为了节约资金，请你为公司设计一种最省钱的购买方案． 𝑚−𝑛=6
【解答】解：（1）根据题意知{，
𝑚+3𝑛=10𝑚=7
解得：{；
𝑛=1
（2）设购买甲型设备x台、乙型设备（10﹣x）台， 7𝑥+10−𝑥≤26
根据题意，得：{，
120𝑥+100(10−𝑥)≥1020解得：1≤x≤3， ∵x为整数， ∴x＝1或x＝2， 即有两种购买方案：
方案一：购买1台甲型设备、9台乙型设备，购买总费用为1×7+9×1＝16万元； 方案二：购买2台甲型设备、8台乙型设备，购买总费用为2×7+8×1＝22万元； 所以购买1台甲型设备、9台乙型设备最省钱．
22．（9分）如图，△ABC中，AB＝30cm，AC＝20cm，以BC为边作等边△BCD，连接AD，求AD的最大值，最小值分别是多少？
8
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【解答】解：∵△BCD为等边三角形， ∴DC＝DB，∠BDC＝60°，
把△DAC绕点D逆时针旋转60°得到△DEB，如图，连接AE， ∴DA＝DE，∠ADE＝60°，BE＝AC＝20， ∴△DAE为等边三角形， ∴AD＝AE，
∵AB+BE≥AE或AB﹣BE≤AE（当且仅当A、B、E共线时取等号）， ∴AE的最大值为30+20＝50，AE的最小值为30﹣20＝10．
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